高三第一轮复习指数与指数函数

零的 n 次 方根是零 负数没有 偶次方根
2.两个重要公式 n为奇数， a ， n n a （a≥0）， (1) a ＝ n为偶数； |a|＝ －a （a＜0）， (2)( a) ＝ a (注意 a 必须使 a有意义)． n
n
n

二、有理数指数幂



2．有理数指数幂的性质 r＋s as (1)ara ＝ (a>0，r，s∈Q)； rs as r (2)(a ) ＝ (a>0，r，s∈Q)； rbr a (3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．


3 ．已知函数 f(x) ＝ 4 ＋ ax － 1 的图象恒过定 点P，则点P的坐标是 ( ) A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0) A [当x＝1时，f(x)＝5.]



4 ．若函数 y ＝ (a2 － 3a ＋ 3)·ax 是指数函数， 则实数a的值为________． 解析 ∵ a2 － 3a ＋ 3 ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 或 a ＝ 1(舍)． 答案 2
2t y＝3 是单调递减的，
因此 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． 答案 (－∞，0] [0，＋∞)
[互动探究] 9 在本例条件下，若 f(x)的最大值等于4，则 a＝______． 解析 9 9 2－2 由于 f(x)的最大值是4，且4＝3 ，
x
所以选 D. 答案 D
[规律方法] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究， 往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往 往利用相应的指数型函数图象数形结合求 解．

[跟踪训练] 2．(1)(2014·杭州模拟)函数y＝a|x|(a＞1)的 图象是 ( )

B
x a （x≥0）， |x| [y＝a ＝ －x a （x＜0）.
当 x≥0 时，与指数函数 y＝ax(a＞1)的图象相同； 当 x＜0 时，y＝a x 与 y＝ax 的图象关于 y 轴对称，
－
由此判断 B 正确．]
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________． 解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函 数图象(如图)． 由图象得只有一个交点， 因此该方程只有一个解． 答案 1


[跟踪训练]

1．计算：
指数函数的图象及应用
[典题导入] 1 (2012· 四川高考)函数 y＝a －a(a>0，且 a≠1)的图象可能是
x
(
)
[听课记录]
1 解法一：当 0<a<1 时，函数 y＝a －a是减函数，且
x x
1 其图象可视为是由函数 y＝a 的图象向下平移a个单位长度得到 的，结合各选项知选 D. 1 解法二：因为函数 y＝a －a(a>0，且 a≠1)的图象必过点(－1，0)，

指数函数的性质及应用
[典题导入] 已知函数
2 |x|－a f(x) ＝ 3 . 则函数
f(x) 的单调递增区间为
________，单调递减区间为________．
[听课记录]
令 t
不论 a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又

[基础自测自评] 1．(教材习题改编)化简[(－2)6] －(－1)0的 结果为 ( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9 B [原式＝(26) －1＝7.]




2 ． (2014· 洛阳模拟 ) 函数 y ＝ lg(1 － x) 的定 义域为A，函数 y＝3x的值域为B，则A∪B＝ ( ) A．(0，1) B．(1，3) C． R D． ∅ C [A ＝ {x|x ＜ 1} ， B ＝ {y|y ＞ 0} ， ∴A∪B＝R.]

指数式的化简与求值

[典题导入] 化简下列各式(其中各字母均为正

数) ．
[规律方法] 指数式的化简求值问题，要注意与其他代 数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相 乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进 行，一般情况下，宜化负指数为正指数， 化根式为分数指数幂．对于化简结果，形 式力求统一．

三、指数函数的图象和性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1
图象
图象特 征
在x 轴
上方
(0，1)
，过定点
R 定义 域 (0，＋∞) 值域 增函数 减函数 单调 y＝1 性 性 质 y>1 0<y<1 函数 当x＝0时， 0<y<1 y>1 当x<0 当x<0 值变 ； ； 时， 化规 时， 当x>0时， 律 当x>0时，
第七节
指数与指数函数

[主干知识梳理]
一、根式 1．根式的概念

根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a ， n＞1且 那么x叫做a的n n∈N* 次方根
当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是 一个 正数 ，负数的 n 次方根是一 个 负数 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有 两个 ，这两个数互为 相反数 n ± a(a>0) n a
5．若函数 y＝(a2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a 的取 值范围是________． 解析 由题意知 0<a2－1<1，即 1<a2<2，
得－ 2<a<－1 或 1<a< 2. 答案 (－ 2，－1)∪(1， 2)



[关键要点点拨] 1．分数指数幂与根式的关系： 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利 用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂 的运算，从而简化计算过程． 2．指数函数的单调性是由底数 a的大小决定 的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1 进行分类讨论．
所以 g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2， 从而 a＝2. 答案 2
[规律方法] 求解与指数函数有关的复合函数问题，首 先要熟知指数函数的定义域、值域、单调 性等相关性质，其次要明确复合函数的构 成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断， 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加 以解决．