江苏省南京市、盐城市2015届高三一模数学试卷

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a i
z i
+=（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－1
3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：
65
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3
解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线2
2
2
(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2
4y x =的焦点重合，则a = ▲ .
答案：
2
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42
解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2x y
+的最大值为 ▲ .
答案：8
8．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ .
9．若函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=+
>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
2
π
，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2
x π
∈，则0x = ▲ .
答案：512
π
2i 第6题图
10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22
x y x y
+-的最小值为 ▲ .
答案：4
11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1
tan 2
θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分
12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆2
2
2
(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足53
44
OC OA OB =+，则r = ▲ .
13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x
f x =-，函数
2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值
范围是 ▲ .
答案：[5,2]--
14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}
2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .
答案：(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21
,3
21,3
n n
n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数
）
二、解答题：
15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，
将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2
π
后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；
（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
若()f C =
a =1c =，求
b .
解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2
y y π
ααα==+
=， ………4分
所以()sin cos )4
f π
αααα=+=
+， ………………6分
因为(0,)2πα∈，所以3(,
)444
πππ
α+∈
，故()f α∈. ……………8分 （2
）因为()sin()4f C C π=
+=(0,)2C π∈，所以4
C π
=，……10分
第15题图
第17题图
在ABC ∆中，由余弦定理得222
2cos c a b ab C =+-
，即2
122
b =+-， 解得1b =. ………………14分
（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）
16．(本小题满分14分)
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE . 证明（1）：连接1BC ，设1
1BC B C F =，连接OF ， ………2分
因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且1
2
OF
DC =，
又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且1
2
EB DC =
， 从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，
所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，
所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，
所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分
而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分
17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右
准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F 三点共线时，试确定直线的斜率. 解：（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分
∴右焦点F =
，1a c ∴-=， ……………4分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24
a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，2
3b ∴=，B
A
C
D B 1
A 1
C 1
D 1 E
F O
B
A
C
D
B 1
A 1 C 1 D 1 E
第16题图
O B A
C
D B 1
A 1
C 1
D 1
E
第16题图
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +
=； ……………6分 （2）由（1
）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF
的方程为1)y x =-， ………8分
联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
，解得85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩
，即8(,55P -，………12分∴
直线的斜率0(5825
k -=
=-. ………14分 其他方法：
方法二: 由（1
）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF
的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然
直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-
，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
，解得x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，代
入椭圆解得：k =
或k =，
又由题意知，0y =>得0k >
或k <
所以k =方法三：由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，得()
2222
431616120k x k x k +-+-=，2
2
1643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,2
1243P k
y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，
即22212438643
k
k k k -+=-+
，解得2k =
或2k =-
，又由题意知，0y =>得0k >
或
k <
2
k =.
18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其
设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线
BC 是抛物线2
50(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E
的
半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.
（1）若要求30CD =米，AD =a 的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围； （3）若1
25
a =
，求AD 的最大值.
（参考公式：若()f x =
()
f x '=）
解：（1）因为5030CD t =-=，解得20t =. …………… 2分
此时圆222
:(20)30E x y +-=，令0y =，得AO =
所以OD AD AO =-==，将点C 代入2
50(0)y ax a =-+>中，解
得1
49
a =
. ……… 4分
（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在2
50y ax =-+中令50y t =-，得OD =
则由题意知5075FD t =-+≤对(0,25]t ∈恒成立， ……… 8分
≤=25t =取最小值10，
10，解得1100a ≥. ………… 10分
（3）当125
a =时，OD =又圆E 的方程为222
()(50)x y t t +-=-，令0y =，得x =±
所以AO =，
从而()25)AD f t t ==<≤， ………… 12分
又因为()5(
f t '==
()0f t '=，得5t =， 14分 当(0,5)t ∈时，f '，f 单调递增；当时，()0f t '<，()f t 单调递减，从而当5t =
时，()f t 取最大值为
答：当5t =米时，AD 的最大值为. …………16分 （说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）
19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --+++
+
13246n n +=⋅--，
且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭
中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围. 解：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴2
15364a a a ==，38a ∴=，
又
5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分
（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，
1121,2
4m k l k ----⎧=⎪
∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分
②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，
综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，
则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，
所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--+++
+=⋅--，
即123
112122223246n n n n n b b b b n +--+++
+=⋅--，（*）
∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----+++
+=⋅--，（**）
则（**）式两边同乘以2，得234
1123122223284n n n n n b b b b n +---+++
+=⋅--，（***）
∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，
又当1n =时，2
1232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分
212n n n b n a -∴
=，111212352222n n n n n
n n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，
110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，11
0n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
单调递减， 又1112b a =，
2234b a =，3358b a =，447
16b a =，71162
λ∴<≤. ……………16分 20．已知函数()x
f x e =，()
g x mx n =+.
（1）设()()()h x f x g x =-.
① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；
② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；
（2）设函数1()()()
nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 解：（1）由题意，得()(()())()x x
h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，
所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分
又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，
将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………4分
（2）方法一：当0n =，可得()()x
x
h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x
e e
>
， ①当1m e
≤
时，()0x
h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11
m e e
-≤≤. ……………6分
②当1m e
>时，由()0x
h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，
当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，
令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1
m e e
<<.
综上所述，1
[,)m e e ∈-. ……………10分
方法二：当0n =，x
e mx = ①当0x =时，显然不成立；
②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x
e y x
=，则()221x
x x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，当1x >时，0y '>，函数x
e y x
=
单调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1
[,)m e e
∈-.
（3）由题意，1114()()()4x x n x
nx x m r x n f x g x e e x x m
=+=+=+
++， 而14()14x x
r x e x =+
≥+等价于(34)40x e x x -++≥， 令()(34)4x
F x e x x =-++， ……………12分
则(0)0F =，且()(31)1x
F x e x '=-+，(0)0F '=，
令()()G x F x '=，则()(32)x
G x e x '=+，
因0x ≥， 所以()0G x '>， (14)
分
所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，
从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分
附加题答案
21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知点P 为Rt ABC ∆的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt ABC ∆的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若18PA =，6PC =，求线段CD 的长. 解：由切割线定理，得2
PC PA PB =⋅，解得2PB =，
所以16AB =，即Rt ABC ∆的外接圆半径8r =，……5分 记Rt ABC ∆外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥，
在Rt POC ∆中，由面积法得OC PC PO CD ⋅=⋅，解得24
5
CD =
. ………………10分
B 、（选修4—2：矩阵与变换）
求直线10x y --=
在矩阵22M -⎥=⎥⎥⎦
的变换下所得曲线的方程. 解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，
则222
2x y x x y y ''-=⎪''+=⎩
，
解得()2()2
x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩， ………………5分
代入10x y ''--=
))10x y y x +---=，
化简可得所求曲线方程为2
x =. (10)
分 C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13
π
ρθ+
=的距离.
解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2
2
20x y x +-=，圆心为(1,0)， ………………4分
又2sin()13
π
ρθ+
=
，即12(sin )122ρθθ+
=，
10y +-=， ………………8分
C
A
B D P
第21-A 题图
故所求的圆心到直线的距离d =
………………10分
D 、解不等式124x x ++-<.
解：当1x <-时，不等式化为124x x --+-<，解得3
12
x -
<<-； ………………3分 当12x -≤≤时，不等式化为124x x ++-<，解得12x -≤≤； ………………6分
当2x >时，不等式化为124x x ++-<，解得5
22
x <<； ………………9分
所以原不等式的解集为35
(,)22
-. (10)
分 22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，动点P 满足1(0)CP CC λλ=>，当1
2
λ=时，1AB BP ⊥. （1）求棱1CC 的长；
（2）若二面角1B AB P --的大小为3
π
，求λ的值. 解：（1）以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴，
建立空间直角坐标系，
设1CC m =，则1(3,0,)B m ，(3,0,0)B ，(0,4,)P m λ，
所以1(3,0,)AB m =，(3,4,)PB m λ=--，(3,0,0)AB =， ………………2分
当12λ=
时，有11
(3,0,)(3,4,)02AB PB m m ⋅=⋅--=
解得m =即棱1CC
的长为 ………………4分
（2）设平面PAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则由1100
AB n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得30340x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩
，即040x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，
令1z =
，则4y =-，所以平面PAB
的一个法向量为1(0,,1)4
n =-
，………………6分 又平面1ABB 与y 轴垂直，所以平面1ABB 的一个法向量为2(0,1,0)n =，
因二面角1B AB P --的平面角的大小为
3
π， C
A
B
P
B 1
C 1
A 1
第22题图
所以121cos ,2
n n ==0λ>，解得λ=. ………………10分 23．设集合{*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小
于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （1）求23,P P 的值；
（2）求n P 的表达式.
解：（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， ………………2分
当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；
若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ………………4分 （2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,
,1k -中任取若干个（包含不取）
，所以集合A 共有0
1
2
11
11112
k k k k k k C C C C ------+++
+=种情况， ………………6分 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个）
，所以集合B 共有123
2
1n k n k
n k n k n k n k C C C C ------+++
+=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时， 集合对(,)A B 共有1
112(21)22k n k n k -----=- 对， ………………8分 当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，
求和可得1012
21(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-+++
+=-⋅+. (10)
分。