江苏省南京市、盐城市2015届高三一模数学试卷

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a i

z i

+=（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－1

3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：

65

4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3

解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。 5．若双曲线2

2

2

(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2

4y x =的焦点重合，则a = ▲ .

答案：

2

6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42

解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

，则2x y

+的最大值为 ▲ .

答案：8

8．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ .

9．若函数()sin()(0)6

f x x π

ωω=+

>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

2

π

，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2

x π

∈，则0x = ▲ .

答案：512

π

2i 第6题图

10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22

x y x y

+-的最小值为 ▲ .

答案：4

11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1

tan 2

θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分

12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆2

2

2

(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足53

44

OC OA OB =+，则r = ▲ .

13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x

f x =-，函数

2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值

范围是 ▲ .

答案：[5,2]--

14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}

2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .

答案：(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21

,3

21,3

n n

n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数

）

二、解答题：

15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，

将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2

π

后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；

（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

若()f C =

a =1c =，求

b .

解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2

y y π

ααα==+

=， ………4分

所以()sin cos )4

f π

αααα=+=

+， ………………6分

因为(0,)2πα∈，所以3(,

)444

πππ

α+∈

，故()f α∈. ……………8分 （2

）因为()sin()4f C C π=

+=(0,)2C π∈，所以4

C π

=，……10分

第15题图

第17题图

在ABC ∆中，由余弦定理得222

2cos c a b ab C =+-

，即2

122

b =+-， 解得1b =. ………………14分

（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）

16．(本小题满分14分)

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE . 证明（1）：连接1BC ，设1

1BC B C F =，连接OF ， ………2分

因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且1

2

OF

DC =，

又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且1

2

EB DC =

， 从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，

所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，

所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，

所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分

而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分

17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右

准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F 三点共线时，试确定直线的斜率. 解：（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分

∴右焦点F =

，1a c ∴-=， ……………4分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24

a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，2

3b ∴=，B

A

C

D B 1

A 1

C 1

D 1 E

F O

B

A

C

D

B 1

A 1 C 1 D 1 E

第16题图

O B A

C

D B 1

A 1

C 1

D 1

E

第16题图