分式方程应用题的常见类型

小专题(十九) 分式方程应用题的常见类型

类型1 工程问题

1．某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队再单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独

完成此工程需要x 天，可列方程为520＋45x

＝1． 2．(十堰中考)甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？

解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(x ＋5)个字，由题意，得

1 000x ＋5

＝900x ，解得x ＝45. 经检验，x ＝45是原方程的解．

答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．

3．(广东中考)某工程队修建一条1 200 m 的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，结果提前4天完成任务．

(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

(2)在这项工程中，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x 米，得

1 200x ＝ 1 200（1＋50%）x

＋4，解得x ＝100. 经检验，x ＝100是原方程的解．

答：这个工程队原计划每天修建100 m .

(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，可得

1 200100＝ 1 200100＋100y%

，解得y ＝20. 经检验，y ＝20是原方程的解．

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．

4．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．

(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天．根据题意，得

1x ＋11.5x ＝112

，解得x ＝20， 经检验，x ＝20是方程的解且符合题意．

1．5x ＝30.

答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司需30天．

(2)设甲公司每天的施工费为y 元，则乙公司每天的施工费为(y －1 500)元，根据题意，得 12(y ＋y －1 500)＝102 000，解得y ＝5 000.

甲公司单独完成此项工程所需的施工费为

20×5 000＝100 000(元)；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费为

30×(5 000－1 500)＝105 000(元)．

∴甲公司的施工费较少．

类型2 行程问题

5．(娄底中考)甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，

乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12

，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．

(1)求乙骑自行车的速度．

(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

解：(1)设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12

x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/

分钟，根据题意，得

60012x ＋3 000－6002x ＝3 000x －2， 解得x ＝300.

经检验，x ＝300是方程的解．

答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．

(2)300×2＝600(米)．

答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．

6．从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h ．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．

解：设特快列车的平均速度为x km /h ，根据题意可列出方程为

1 800x ＝8602.5x

＋16，解得x ＝91. 检验：当x ＝91时，2.5x ≠0.

所以x ＝91是方程的解．

答：特快列车的平均速度为91 km /h .

类型3 销售问题

7．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用的文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？

解：设九年级学生有x 人，根据题意，得

1 936x ×0.8＝1 936x ＋88

， 整理得0.8(x ＋88)＝x ，解得x ＝352.

经检验，x ＝352是方程的解．

答：这个学校九年级学生有352人．

8．华昌中学开学初在金利源商场购进A 、B 两种品牌足球，购买A 品牌足球花费了2 500元，购买B 品牌足球花费了2 000元，且购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元．

(1)求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元；

(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A 、B 两种品牌足球共50个．恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？

解：(1)设购买一个A 品牌足球需x 元，则购买一个B 品牌足球需(x ＋30)元，根据题意，得 2 500x ＝2 000x ＋30

×2，解得x ＝50. 经检验，x ＝50是原方程的解．

则x ＋30＝80.

答：购买一个A 品牌足球需50元，购买一个B 品牌足球需80元．

(2)设本次购买a 个B 品牌足球，则购进A 品牌足球(50－a)个，根据题意，得

50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a ≤3 260，

解得a ≤3119

. ∵a 取正整数，∴a 最大值为31.

答：此次华昌中学最多可购买31个B 品牌足球．

9．(常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．

(1)这两次各购进这种衬衫多少件？

(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 985元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？