高速滚动轴承_转子系统的动力学特性研究_张玉言0000000000000
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式中，ψj 为滚动体的位置角。 当接触变形 δj 大于 0 时滚动体与套圈接触的油膜力为，
( ) Q
N jl
= k jlδ jl
+ c jlδjl
l = 1, 2
(6)
式中，l=1, 2 分别表示左、右侧支撑轴承。 根据 Lagrange 方程，可得平衡转子系统的运动微分方
程为，
⎧⎪mr ⎪mr
x y
Fig.1 Rolling bearing-rotor system (a) and vibration model of the bearing (b)
图 1 滚动轴承-转子系统(a)及轴承振动模型(b) 1.1 滚动体-滚道弹流接触副的刚度阻尼公式拟合
在轴承-转子系统的动力学分析中，需要计算每一时刻 的刚度系数和阻尼系数。然而，如果在每次求解中均使用 文献 6 中的方法来计算的话，则运算量将是非常大的。因 此，本文对不同参数下刚度系数和阻尼系数的计算结果进 行数值拟合，得到相应的计算公式，以便直接将计算公式 引入到系统的动力学分析中，使系统运动微分方程的求解 成为可能。为便于拟合，本文采用无量纲参数 M、L、G、η0 ， 以及椭圆率 κ 作为变量，拟合得到的计算公式为，
求得wij, woj, uij, uoj等参数
利用刚度系数和阻尼系数的拟合公式计算
kijl, kojl和cijl, cojl（方程(1),(2)），得到综
合刚度系数kjl和阻尼系数cjl（方程
(3),(4)），并求解得到油膜承载力
Q
N jl
t=t+Δt
根据油膜力结果，使用四阶R-K方法求解 轴心位移和速度（方程组(7)）
⎪ ⎪
4.4346 ×10−4 L3) + (0.5589 − 0.1765L +
( ) ⎪
⎪
0.02236L2
− 8.7953×10−4 L3) ⋅
1 − 0.9e−4η0
( ) ⎪
⎪
e ( ) ]κ − 0.20369−0.05745L+0.0042L2 M 2
1 − 0.0013G0.74
,
⎪
现代技术的发展对航空发动机的主轴转速、可靠性等 要求不断提高，为了优化和提升发动机的特性，需要考虑 实际工作状态，准确预测其关键部件滚动轴承-转子系统的 动态性能。在航空发动机中，滚动轴承通常运转在高速、 重载及润滑工况下。在过去的几十年中，虽然大量学者研 究了滚动轴承-转子系统的动力学特性，分析了变刚度振动 1、轴承游隙 2、转速 3、表面缺陷 4、转子不平衡力 1 和轴向 预紧力 5 等所带来的非线性效应。然而，他们的模型均忽略 了弹流润滑油膜的影响，刚度系数和非线性轴承力由 Hertzian 接触理论得到，而阻尼系数则直接由经验取为常 数，无法描述轴承的刚度系数和阻尼系数在运转过程中的 变化以及弹流油膜对转子系统动力学特性的影响。Zhang 等 6 利用非稳态弹流模型和单自由度线性系统的振动模型 相结合的方法预测了单个滚动体-滚道弹流接触副的等效刚 度系数和阻尼系数，但是没有将结果引入到轴承-转子系统 的动力学分析中。
uoj 和接触载荷 wij、woj 通过拟静力学方法得到，具体过程见 文献 7。当已知 uij、uoj 和 wij、woj 后，代入公式(1)-(2)可以 得到滚动体与内、外圈接触的刚度系数 kij、koj 和阻尼系数 cij、coj。于是，滚动体与内、外圈接触的综合刚度系数和阻 尼系数可表示为，
( ) k j = kijkoj kij + koj
将二阶运动微分方程组(7)转化为一阶方程组，采用四 阶 R-K 方法进行求解，得到每一时刻的轴心运动位移和速 度，具体的计算流程如图 2 所示。
开始
输入轴承和转子参数
t ，假设轴心位移和速度的初始值为
计算t时刻滚动体的位置角ψj
使用拟静力学方法分别对该瞬时的轴承1 和2进行分析，通过Newton-Raphson方法
Technology, Beijing 100081 * xiaoli_wang@bit.edu.cn Abstract: The influence of elastohydrodynamic lubrication film between the rolling element and raceways is considered, and the dynamic behaviors of a high speed balanced rotor supported by rolling bearings are analyzed. The computational formulas of stiffness and damping coefficients of a single contact pair between the rolling element and raceways are fitted numerically on the basis of transient elastohydrodynamic lubrication theory, and the equation of motion for the rotor-bearing system is established. The response of the system is obtained by numerical integration. The influences of speed and radial load on the nonlinear dynamic properties of the system under lubricated and non-lubricated conditions are compared. The results suggest that the stiffness and damping coefficients between the rolling element and raceways are time-dependent variables and rely on the variations of speed and load. These characteristics of stiffness and damping increase the nonlinearity of the motion and make the system exhibit different dynamic behaviors under various speeds and loads. Keywords: rolling bearing-rotor system, nonlinear dynamics, elastohydrodynamic lubrication
是否小于给定的时间步
否
是 舍去前面100个周期的结果以保证精度，
输出之后50个周期的结果
结束
Fig.2 Flow chart for the dynamic simulation of rotor-bearing system
θz，轴承的径向游隙为 Pd，则滚动体沿接触法线方向的变 形量 δj 可以表示为，
δ j = x sinαij + y sinψ j cosαij + z cosψ j cosαij − Pd cosαij (5) + 0.5Dm cosψ j sinαij ⋅θ y − 0.5Dm sinψ j sinαij ⋅θz
(3)
( ) c j = cijcoj cij + coj
(4)
1.2 轴承-转子系统运动微分方程的建立 假设当转子受到的外载荷为 Fx、Fy、Fz、My 和 Mz 时，
两边轴承 1 和 2 受到的载荷分别为 Fx1、Fy1、Fz1、My1、Mz1 和 Fx2、Fy2、Fz2、My2、Mz2。设轴心位移为 x、y、z、θy 和
( )( ) ⎪
⎪
1 − 0.0013G0.74
1 − 0.9e−4η0
,
⎪ ⎪
when 600 ≤ M < 12000, L < 6.0713
⎪⎪[5.2793×10−4 + (0.17145 − 0.031615L
⎪ ⎪
+ 0.001867L2 ) ⋅ e (− 0.04161−0.00994L+6.12154×10−4 L2 )M ] ⋅
⎪ when M < 600, L ≤ 7.4127
⎪⎪[10−4 × (8.1671 −1.1139L) + (−0.008439
⎪⎪ + 0.01224L − 0.003350L2 + 2.6291×10−4 L3) ⋅ (2) ⎨⎪ e ( ) ]κ ⋅ − −0.00103+0.00295L−8.85785×10−4 L2 +7.14214×10−5 L3 M 2
( ) ( ) E´为等效弹性模量 E' = 2 ⎡⎣ 1 −υ12 E1 + 1 − υ22 E2 ⎤⎦ ，E1、
E2 和υ1、υ2 分别为两个表面的弹性模量和泊松比；Uf 为无
( ) 量纲拟合速度参数 Uf = η0ru E'Rx ；αl 为润滑剂的粘压系
数；η0r 为参考粘度 η0r=0.1。 在拟合公式中滚动体与内、外圈接触的卷吸速度 uij、
为准确预测航空发动机的振动响应，本文建立润滑接 触下高速轴承-转子系统的动力学分析模型，重点分析弹流 润滑油膜对系统振动特性的影响。为研究润滑接触条件下 各种非线性因素对系统响应的影响提供理论基础，为高速 轴承的设计和运转过程中相关参数的控制提供依据。 1 数学模型
假设转子由两个对称分布的滚动轴承 1 和 2 支撑，滚 动轴承的外圈固定，内圈与转轴一起旋转，如图 1(a)所示。 将滚动轴承中的滚动体-滚道接触副视为弹簧-阻尼系统，如 图 1(b)所示。
1
Session 1
第十一届全国摩擦学大会‐兰州
k = E'Rx ×10−4 ×
( ) (1.6399 + 11.1589L) M κ 0.34 0.38 1-0.035e-7.2η0 ,
(1)
when M < 12000, L ≤ 7.4127
c = wRx × au
⎧[(−0.01935 + 0.02063L − 0.005435L2 +
Session 1
第十一届全国摩擦学大会‐兰州
高速滚动轴承-转子系统的动力学特性 研究
张玉言，王晓力*，闫晓亮 北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081
* xiaoli_wang@bit.edu.cn
摘要：考虑滚动体与滚道间的弹流润滑油膜，研究了高速 滚动轴承平衡转子系统的动力学特性。在非稳态弹流润滑 计算的基础上数值拟合了单个滚动体-滚道接触副的刚度系 数和阻尼系数计算公式，建立了转子系统的动力学微分方 程。通过数值积分的方法获得了的系统响应，对比了考虑 和不考虑润滑时转速和径向载荷对转子系统非线性动力学 特性的影响。结果表明，在弹流润滑油膜的作用下，滚动 体与滚道间的刚度系数和阻尼系数表现出时变性和随转 速、载荷变化的特性，使系统的非线性增强，在不同的转 速和载荷下表现出与不考虑润滑时不同的运动状态。 关键词：滚动轴承-转子系统，非线性动力学，弹流润滑
+ +
QxN1 QyN1
+ +
QxN2 QyN2
= =
Fx Fy
⎪ ⎨mr
z
+
QzN1
+ QzN2
=
Fz
(7)
⎪ ⎪
I
yrθy
−
I zrωiθz
+
M
N y1
+
M
N y2
=
My
⎪ ⎩
I
zrθz
−
I yrωiθy
+
M
N z1
+
M
N z2
=
Mz
式中，mr 和 Iyr、Izr 分别表示转子系统的质量和转动惯量，ωi 为内圈的角速度 ωi=nπ/30，n 为内圈转速。 1.3 数值解法
( )( ) ⎪
⎪
κ2
Байду номын сангаас
1 − 0.0013G0.74
1 − 0.9e−4η0 ,
⎪⎩ when 600 ≤ M < 12000,6.0713 ≤ L ≤ 7.4127
式中，M
=
W
(
2U f
)−3
4
，L
=
1000U
1 f
4
，G=αl
E
'
，η0
= η0
η0r
。
( ) W 为无量纲载荷 W = w E'Rx2 ，Rx 为 x 方向的等效半径；
Dynamic Analysis of High Speed Rotor-Rolling Bearing System
Zhang Yu-yan, Wang Xiao-li*, Yan Xiao-liang School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of
( ) Q
N jl
= k jlδ jl
+ c jlδjl
l = 1, 2
(6)
式中，l=1, 2 分别表示左、右侧支撑轴承。 根据 Lagrange 方程，可得平衡转子系统的运动微分方
程为，
⎧⎪mr ⎪mr
x y
Fig.1 Rolling bearing-rotor system (a) and vibration model of the bearing (b)
图 1 滚动轴承-转子系统(a)及轴承振动模型(b) 1.1 滚动体-滚道弹流接触副的刚度阻尼公式拟合
在轴承-转子系统的动力学分析中，需要计算每一时刻 的刚度系数和阻尼系数。然而，如果在每次求解中均使用 文献 6 中的方法来计算的话，则运算量将是非常大的。因 此，本文对不同参数下刚度系数和阻尼系数的计算结果进 行数值拟合，得到相应的计算公式，以便直接将计算公式 引入到系统的动力学分析中，使系统运动微分方程的求解 成为可能。为便于拟合，本文采用无量纲参数 M、L、G、η0 ， 以及椭圆率 κ 作为变量，拟合得到的计算公式为，
求得wij, woj, uij, uoj等参数
利用刚度系数和阻尼系数的拟合公式计算
kijl, kojl和cijl, cojl（方程(1),(2)），得到综
合刚度系数kjl和阻尼系数cjl（方程
(3),(4)），并求解得到油膜承载力
Q
N jl
t=t+Δt
根据油膜力结果，使用四阶R-K方法求解 轴心位移和速度（方程组(7)）
⎪ ⎪
4.4346 ×10−4 L3) + (0.5589 − 0.1765L +
( ) ⎪
⎪
0.02236L2
− 8.7953×10−4 L3) ⋅
1 − 0.9e−4η0
( ) ⎪
⎪
e ( ) ]κ − 0.20369−0.05745L+0.0042L2 M 2
1 − 0.0013G0.74
,
⎪
现代技术的发展对航空发动机的主轴转速、可靠性等 要求不断提高，为了优化和提升发动机的特性，需要考虑 实际工作状态，准确预测其关键部件滚动轴承-转子系统的 动态性能。在航空发动机中，滚动轴承通常运转在高速、 重载及润滑工况下。在过去的几十年中，虽然大量学者研 究了滚动轴承-转子系统的动力学特性，分析了变刚度振动 1、轴承游隙 2、转速 3、表面缺陷 4、转子不平衡力 1 和轴向 预紧力 5 等所带来的非线性效应。然而，他们的模型均忽略 了弹流润滑油膜的影响，刚度系数和非线性轴承力由 Hertzian 接触理论得到，而阻尼系数则直接由经验取为常 数，无法描述轴承的刚度系数和阻尼系数在运转过程中的 变化以及弹流油膜对转子系统动力学特性的影响。Zhang 等 6 利用非稳态弹流模型和单自由度线性系统的振动模型 相结合的方法预测了单个滚动体-滚道弹流接触副的等效刚 度系数和阻尼系数，但是没有将结果引入到轴承-转子系统 的动力学分析中。
uoj 和接触载荷 wij、woj 通过拟静力学方法得到，具体过程见 文献 7。当已知 uij、uoj 和 wij、woj 后，代入公式(1)-(2)可以 得到滚动体与内、外圈接触的刚度系数 kij、koj 和阻尼系数 cij、coj。于是，滚动体与内、外圈接触的综合刚度系数和阻 尼系数可表示为，
( ) k j = kijkoj kij + koj
将二阶运动微分方程组(7)转化为一阶方程组，采用四 阶 R-K 方法进行求解，得到每一时刻的轴心运动位移和速 度，具体的计算流程如图 2 所示。
开始
输入轴承和转子参数
t ，假设轴心位移和速度的初始值为
计算t时刻滚动体的位置角ψj
使用拟静力学方法分别对该瞬时的轴承1 和2进行分析，通过Newton-Raphson方法
Technology, Beijing 100081 * xiaoli_wang@bit.edu.cn Abstract: The influence of elastohydrodynamic lubrication film between the rolling element and raceways is considered, and the dynamic behaviors of a high speed balanced rotor supported by rolling bearings are analyzed. The computational formulas of stiffness and damping coefficients of a single contact pair between the rolling element and raceways are fitted numerically on the basis of transient elastohydrodynamic lubrication theory, and the equation of motion for the rotor-bearing system is established. The response of the system is obtained by numerical integration. The influences of speed and radial load on the nonlinear dynamic properties of the system under lubricated and non-lubricated conditions are compared. The results suggest that the stiffness and damping coefficients between the rolling element and raceways are time-dependent variables and rely on the variations of speed and load. These characteristics of stiffness and damping increase the nonlinearity of the motion and make the system exhibit different dynamic behaviors under various speeds and loads. Keywords: rolling bearing-rotor system, nonlinear dynamics, elastohydrodynamic lubrication
是否小于给定的时间步
否
是 舍去前面100个周期的结果以保证精度，
输出之后50个周期的结果
结束
Fig.2 Flow chart for the dynamic simulation of rotor-bearing system
θz，轴承的径向游隙为 Pd，则滚动体沿接触法线方向的变 形量 δj 可以表示为，
δ j = x sinαij + y sinψ j cosαij + z cosψ j cosαij − Pd cosαij (5) + 0.5Dm cosψ j sinαij ⋅θ y − 0.5Dm sinψ j sinαij ⋅θz
(3)
( ) c j = cijcoj cij + coj
(4)
1.2 轴承-转子系统运动微分方程的建立 假设当转子受到的外载荷为 Fx、Fy、Fz、My 和 Mz 时，
两边轴承 1 和 2 受到的载荷分别为 Fx1、Fy1、Fz1、My1、Mz1 和 Fx2、Fy2、Fz2、My2、Mz2。设轴心位移为 x、y、z、θy 和
( )( ) ⎪
⎪
1 − 0.0013G0.74
1 − 0.9e−4η0
,
⎪ ⎪
when 600 ≤ M < 12000, L < 6.0713
⎪⎪[5.2793×10−4 + (0.17145 − 0.031615L
⎪ ⎪
+ 0.001867L2 ) ⋅ e (− 0.04161−0.00994L+6.12154×10−4 L2 )M ] ⋅
⎪ when M < 600, L ≤ 7.4127
⎪⎪[10−4 × (8.1671 −1.1139L) + (−0.008439
⎪⎪ + 0.01224L − 0.003350L2 + 2.6291×10−4 L3) ⋅ (2) ⎨⎪ e ( ) ]κ ⋅ − −0.00103+0.00295L−8.85785×10−4 L2 +7.14214×10−5 L3 M 2
( ) ( ) E´为等效弹性模量 E' = 2 ⎡⎣ 1 −υ12 E1 + 1 − υ22 E2 ⎤⎦ ，E1、
E2 和υ1、υ2 分别为两个表面的弹性模量和泊松比；Uf 为无
( ) 量纲拟合速度参数 Uf = η0ru E'Rx ；αl 为润滑剂的粘压系
数；η0r 为参考粘度 η0r=0.1。 在拟合公式中滚动体与内、外圈接触的卷吸速度 uij、
为准确预测航空发动机的振动响应，本文建立润滑接 触下高速轴承-转子系统的动力学分析模型，重点分析弹流 润滑油膜对系统振动特性的影响。为研究润滑接触条件下 各种非线性因素对系统响应的影响提供理论基础，为高速 轴承的设计和运转过程中相关参数的控制提供依据。 1 数学模型
假设转子由两个对称分布的滚动轴承 1 和 2 支撑，滚 动轴承的外圈固定，内圈与转轴一起旋转，如图 1(a)所示。 将滚动轴承中的滚动体-滚道接触副视为弹簧-阻尼系统，如 图 1(b)所示。
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Session 1
第十一届全国摩擦学大会‐兰州
k = E'Rx ×10−4 ×
( ) (1.6399 + 11.1589L) M κ 0.34 0.38 1-0.035e-7.2η0 ,
(1)
when M < 12000, L ≤ 7.4127
c = wRx × au
⎧[(−0.01935 + 0.02063L − 0.005435L2 +
Session 1
第十一届全国摩擦学大会‐兰州
高速滚动轴承-转子系统的动力学特性 研究
张玉言，王晓力*，闫晓亮 北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081
* xiaoli_wang@bit.edu.cn
摘要：考虑滚动体与滚道间的弹流润滑油膜，研究了高速 滚动轴承平衡转子系统的动力学特性。在非稳态弹流润滑 计算的基础上数值拟合了单个滚动体-滚道接触副的刚度系 数和阻尼系数计算公式，建立了转子系统的动力学微分方 程。通过数值积分的方法获得了的系统响应，对比了考虑 和不考虑润滑时转速和径向载荷对转子系统非线性动力学 特性的影响。结果表明，在弹流润滑油膜的作用下，滚动 体与滚道间的刚度系数和阻尼系数表现出时变性和随转 速、载荷变化的特性，使系统的非线性增强，在不同的转 速和载荷下表现出与不考虑润滑时不同的运动状态。 关键词：滚动轴承-转子系统，非线性动力学，弹流润滑
+ +
QxN1 QyN1
+ +
QxN2 QyN2
= =
Fx Fy
⎪ ⎨mr
z
+
QzN1
+ QzN2
=
Fz
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⎪ ⎪
I
yrθy
−
I zrωiθz
+
M
N y1
+
M
N y2
=
My
⎪ ⎩
I
zrθz
−
I yrωiθy
+
M
N z1
+
M
N z2
=
Mz
式中，mr 和 Iyr、Izr 分别表示转子系统的质量和转动惯量，ωi 为内圈的角速度 ωi=nπ/30，n 为内圈转速。 1.3 数值解法
( )( ) ⎪
⎪
κ2
Байду номын сангаас
1 − 0.0013G0.74
1 − 0.9e−4η0 ,
⎪⎩ when 600 ≤ M < 12000,6.0713 ≤ L ≤ 7.4127
式中，M
=
W
(
2U f
)−3
4
，L
=
1000U
1 f
4
，G=αl
E
'
，η0
= η0
η0r
。
( ) W 为无量纲载荷 W = w E'Rx2 ，Rx 为 x 方向的等效半径；
Dynamic Analysis of High Speed Rotor-Rolling Bearing System
Zhang Yu-yan, Wang Xiao-li*, Yan Xiao-liang School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of