面板分位数

分位数回归（Quantile Regression）的思想最早是由科恩克和巴塞特（1978）提出的，它是对古典条件均值模型为基础的最小二乘的拓展。普通最小二乘法（OLS）是利用因变量的条件均值来建模，通过使残差平方和达到最小值来获得对回归参数系数的估计值；分位数回归则利用因变量的条件分位数来建模，通过最小化加权的残差绝对值之和来估计回归参数，它又可以称之为“加权的最小一乘回归法”。两种方法相比较，分位数回归模型具有多方面的优势：首先分位数模型特别适合存在异方差性的模型；其次在对条件分布的刻画方面更为细致，能给出条件分布的大体特征；在模型假设方面，OLS法要求满足经典假设的多个条件，而分位数回归法只要求符合扰动项e_i~F_i的条件下F_i^(-1) (τ)=0；在估计方法上，不同于OLS方法通过使残差平方和最小得到参数估计，QR法通过使加权误差绝对值之和最小得到参数估计，这种方法得到的结果不易受异常值影响，决定了其估计具有较强的稳键性。

分位数可按如下定义：设随机变量Y的分布函数为F(y)=P(Y≤y)，则Y的τ分位数为

F^(-1) (τ)=inf⁡{y:F(y)≥τ}

以下再以数学公式的形式简要介绍分位数的回归思想。对于Y的一组随机样本{y_(1,) y_(2,)…,y_n }，样本均值是min∑_(i=1)^n▒(y_i-μ)^2 的最优解。样本中位数是最小化残差绝对值和的解，即

F^(-1) (1⁄2)=arg⁡min┬(τ∈R)⁡∑_(i=1)▒〖|y_i-τ|〗

对于其他的第θ分位数,我们可以求解下式，我们可以通过求解以下表达式得到：

〖min〗_(β∈R^p ) [∑_(i∈{i:y_i≥τ})▒〖θ|y_i-τ|+〗∑_(i∈{i:y_i<τ})▒(1-θ)|y_i-τ| ]

上式可等价表示为：

min┬(τ∈R)⁡∑_(i=1)▒〖ρ_θ (y_i-τ) 〗

其中ρ_θ (z)=θzI_*0,∞)┤(z)-(1-θ)zI_((-∞,0) ) (z)，该式中I(∙)为示性函数。对于一般线性条件均值函数E(Y|X=x)=x^' β，通过求解β=arg⁡min┬(β∈R^p )⁡∑_(i=1)^n▒(y_i-x_i^' β)^2 得到模型的参数估计值。而一般线性条件分位数函数为Q(θ|X=x)=x^' β(θ)，使用具体方法和工具进行求解得到模型的参数估计值

β(θ)=arg⁡min┬(β∈R^p )⁡∑_(i=1)^n▒〖ρ_θ (y_i-x_i^' β) 〗

对于任意的θ∈(0,1)，估计β(θ)即称为第θ分位数下的回归系数估计。根据已有文献归纳，常见的分位数回归参数估计方法主要有：单纯形算法(Simplex Method)，内点算法(Interior Point Method)，平滑算法(Smoothing Method)和其他算法如adaptive method等。

面板数据分位数回归是指将分位数回归方法应用于面板数据实证分析的参数估计当中，这利益于科恩克（2004）的研究成果，他成功的将分位数回归估计思想和方法扩展运用于面板数据固定效应模型的估计中。这一方法的创新对于面板数据的估计有着重要意义，通过引入分位数回归方法，可以更好的控制个体差异，在此前提下被解释变量条件分布在不同分位点上与各种解释变量的关系能够得到更完美的分析。常见的面板数据模型主要有固定效应模型、随机效应模型和混合估计模型，其中混合估计模型一般被当作普通最小二乘模型进行估计；随机效应模型中不可观测的因素往往与解释变量存在相关性，所以在估计时通常采用广义最小二乘估计法。固定效应模型的典型特点是不同的横截面或者时间序列对应着不同的截距，因此在具体估计时可通过在分位数回归中加入虚拟变量的方法得到参数估计值。本部分将以面板数据分位数模型实证分析金融因素及其他主要变量对处在不同分位点的我国对外直接投资的影响情况。