分层介质格林函数

分层介质格林函数

1 混合势积分方程

如图1所示的分层介质示意图中，我们令所有的分层都是平行于Y X -平面的。在上述的结构中，我们假

设辐射体部分占据了共p 层，表示为{}p l l l L ...,,21=。

图1 分层介质示意图

在第m 层的辐射体表面，可以得到如下的边界条件：

()()r E n r E n inc m m s

m m ⨯=⨯-^

^

（1） 其中的()r E inc m 和()r E s

m 分别代表第m 层中的入射场和散射场，而后者取决于整个辐射体表面的感应电流。

如果用i 表示源点所在的层，m 代表场点所在的层，则可以从（1）式中得到：

()()()[]

∑∈∇+=-L

i mi mi s

m j r r A r E ϕω （2）

其中mi A 表示第m 层中的矢量磁位，它的源是来自于第i 层中的J ，并满足：

()()()⎰∙=i

S mi

A mi dS '''|r J r r G r A （3）

我们可以按照类似的定义来解释（2）式中的标量电位mi ϕ，它与矢量磁位mi A 之间满足洛伦茨规范：

()()r A r mi m

mi k j ∙∇=2ω

ϕ （4）

其中m m m k μεω22

=。运用上述（1）~（4）式，可以得到：

(

)()()()r E n r J r r G n inc m m L

i S mi A m

m m

i

dS k k j ⨯=∙+∙∇∇⨯∑⎰

∈^

2

^2

'''|ω，r on m S , L m ∈ （5）

上式就是一般所谓的EFIE ，在线问题中这样的式子是十分有价值的。但是在任意形状的面问题中，特别当我们考虑分层介质这样的情况下，算子∙∇∇会引起很大的麻烦。此时，我们可以考虑将散度算子放入积分内，这等于将式标量电位表示为：

()()()⎰∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∇=

i S mi A m

mi dS k j '''|2r J r r G r ω

ϕ （6） 下面工作的目标是把（6）式中的散度算子消除，因为后面的()'|r r G mi

A 是一个并矢。我们想规避对于并矢的哈密顿算子计算，把它转换为针对矢量或者标量的哈密顿算子计算。有人很直观地想把对于这个并矢的计算转换为：

()()'|'1'|2

r r r r G mi

mi

A m

G j k j ϕ

ω

ω

∇=

∙∇ （7）

但是Krzystof 曾经证明，在分层介质情况下满足上式的标量位mi

G ϕ在数学上是不存在的，同时给出了可能存在

的情况为：

()()()'|'|'1'|2

r r P r r r r G mi mi

mi

A m

j K j k j ωω

ω

ϕ

+∇=

∙∇ （8） 把上式代入式（6），并运用到式（5）中，我们便可以得到满足要求的混合势积分方程（Mixed Potential Integral Equations, MPIE ）：

()()()()∑⎰⎰∈⎩

⎨⎧∇+∙⨯L i S mi S mi

A m i

i

dS q K dS r j '''|'''|^

r r r J r r K n ϕω

()()⎥⎦⎤⎢

⎣⎡+∇+⎰⎰--''11dC C f dC C f j i i C i C i ω()r E n inc m m ⨯=^, r on m S , L m ∈ （9） 其中

()()()'|'|'|r r P r r G r r K mi mi

A mi

A ∇+= （10）

式（10）中的mi

A K 和之前定义的mi K ϕ共同表征了分层介质中的格林函数。

式（9）中的两个封闭曲线积分与源点层上下边界有关，形式十分繁琐且在具体计算时非常困难。为此，Krzystof 针对图1所示结构，给出了mi

A G 和mi P 的一种特殊构成法。这种方法构成的MPIE 被称为C 类MPIE （Formulation-C Mixed Potential Integral Equation ），此时式（9）中的两个封闭曲线积分项可以被略去。

2 C 类MPIE 下的分层介质格林函数（这一节的原理不是很明白）

我们重写（4）式如下：

()()()⎰∙=i

S mi

A mi dS '''|r J r r G r A （4）

上式中的()'|r r G mi

A 代表第m 层中的并矢格林函数，它的源是存在于第i 层中的任意朝向的单位电流极子。 这个()'|r r G mi

A 可以通过解亥姆霍兹方程得到：

()

()()''|2

2

r r I r r G --=+∇

δμm mi

A m k （11）

其中的I 是一个单位矩阵，它取决于场量切向分量所满足的边界条件。众所周知，对于一个x 朝向的极子，矢位的两个分量必须满足边界条件。一般来说，我们选择的是x 和z 的分量，这样我们可以得到()'|r r G mi

A 如下的

表达式：

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mi zz mi zy

mi zx

mi xx mi xx

mi A

G G G G G G 0000

（12） 同时，对于式（10）中的mi P 我们选择：

mi z mi

P ^

z P

= （13）

这样的选择被称为C 类MPIE 下的分层介质格林函数，并且可以消去式（9）中的两个环线积分。

在上述前提下，我们对式（8）两端做傅里叶变换，便可以得到相应的谱域标量方程：

~

~~21mi x mi zx mi xx x m K k G z G jk k j ϕωω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+- （14） ~~~21mi y mi zy mi xx y m K k G z G jk k j ϕωω=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+- （15）