用数学思维解决物理题目

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b e

i n g

a r 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．本讲中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．如下表：

名称内容

1.三角函数求极值：y (θ)=cos θ+μsin θ，y max =1+μ2

2.二次函数求极值：y =ax 2+bx +c ，y m =(a ＞0时，有y min ；a ＜0时，有y max )

4ac -b 2

4a 极限法

3.均值不等式：a +b ≥2( a ＞0 ,b ＞0), a +b +c ≥3( a ＞0 ,b ＞0, c ＞0)

ab 3

abc 1.对称点的性质、镜像对称2.两点间的直线距离最短

3.正弦定理： = = ；余弦定理：a 2=b 2+c 2+2bc cos αa

sin αb

sin βc

sin θ4.全等、相似三角形的特征

几何法

5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程1.直线型图象：y =kx +b 2.正(余)弦曲线型图象3.抛物线型图象

图象法

4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等，如闭合电路中各物理量间关系

1.等差数列：其和S n =

=na 1+

d (d 为公差)

n (a 1+an )2n (n -1)

2

数列法

2.等比数列：S n = ,a 1为首项，q 为公比，当q ＜1时，q n →0.a 1(1-qn )

(1-q )微元法无穷小等分，往往对其中的一个微元作处理.

数学归纳法对于一个复杂的过程由特殊到一般，归纳成某一通式，求解.

三角函数变换sin 2θ+cos 2θ=1，sin2θ=2sin θcos θ，cos2θ=2cos 2θ-1=1-2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ方程法

直线方程，一元二次方程的判别式，椭圆方程，二次函数，圆方程等

另外还有比值法、不等式法

O由静止沿直线

ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（θ＜π/4）。则F大小至少为

____________；若F＝mg tanθ，则质点机械能大小的变化情况是

______________________________。

某同学这样解第2问，若F＝mg tanθ时，正好F力的方向沿着x轴正方

向，因此外力F与运动位移方向成锐角，质点的机械能增加。

F的大小，而未给出该力的方向。F＝mg tanθ时，外力F的方向不仅仅为沿着x轴正方向，还可能有其它方向。为了能够严密的找出F＝mg tanθ时的所有可能性，需要运用力的矢量三角形定则。

mg和外力F，合力的方向沿着ON方向，将重

力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，

说明质点做匀加速直线运动，如图中显示当F力的方向为a方向（垂直于ON）时，F力

最小为mg sinθ；若F＝mg tanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运

动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，

故质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mg sinθ，增大、减小都有可能。

问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。矢量三角形的处理原则：

1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向，这点很重要，它直接确定了三角形的两个顶点和一个边；再比如墙壁上的弹力方向始终不变，这确定了动态三角形中的某个边的方向；

2、找到“变”量，往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化，有时候是边长变化、有时候是方向发生变化。

物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，

一题多变

物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？

该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含

有µ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不

同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分

析。

7-3，对物体受力分析，设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，－f=0①

N+F sinθ=G②

f=µN③

联立①②③解得：

)

sin

cos

cos

(sin

1

cos

sin2φ

θ

φ

θ

μ

μ

θ

θ

μ

μ

+

+

=

+

=

G

G

F

图7-1

图7-2

图7-3

F/ N

F

f

G

Φ

图7-4