数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)

第十九章 含参量积分 2含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法
概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞
c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞
c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.
定义1： 若含参量反常积分⎰+∞
c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M
c Φ-⎰<ε, 即⎰+∞
M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛.
定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰2
1
),(A A dy y x f <ε.
定理19.8：含参量反常积分⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：
+∞
→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰
+∞
∈A
I
x dy y x f ),(sup .
例1：证明含参量反常积分⎰+∞
0sin dy y
xy
在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.
解：令u=xy, 则⎰+∞
A dy y xy
sin =⎰+∞Ax du u
u sin (A>0). ∵⎰+∞
Ax
du u
u
sin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'
A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δ
M
时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞
+Ax
du u
u
sin <ε, 即⎰∞
+A
dy y xy
sin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim )
,(δ=0, 由定理19.8知 ⎰
+∞
sin dy y
xy
在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰
∞
++∞∈A
x dy y
xy
sin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰
∞
+0
sin du u u =2
π
. ∴⎰+∞
0sin dy y
xy
在(0,+∞)上不一致收敛.
注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.
定理19.9：含参量反常积分⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数
∑⎰
∞
=+1
1
),(n A A n n
dy y x f =∑∞
=1)(n n x u 在I 上一致收敛.
证：[必要性]若⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'
''A A dy y x f ),(<ε.
又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有
|u n (x)+…+u m (x)|=⎰
⎰+++⋯+1
1
),(),(n n
m m
A A A A
dy y x f dy y x f =⎰+1
),(m n
A A
dy y x f <ε.
∴∑∞
=1
)(n n x u 在I 上一致收敛.
[充分性]若∑∞
=1
)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,
则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰'
'''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰2
1
),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有
A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-n
n A A
n dy y x f 21
2),(≥ε0.
由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞
→n lim A n =+∞, 而对级数
∑∞
=1
)(n n
x u
=∑⎰
∞
=+1
1
),(n A A n n
dy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,
只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-n
n A A
n dy y x f 21
2),(≥ε0,
与级数∑∞
=1
)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛.
魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞
c dy y g )(收敛, 则
⎰
+∞
c
dy y x f ),(在I 上一致收敛.
狄利克雷判别法：设
(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰N
c dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰N
c dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量
x, g(x,y)一致收敛于0.
则含参量反常积分⎰+∞
c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.
阿贝尔判别法：设
(1)⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛.
(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.
则含参量反常积分⎰+∞
c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.
例2：证明含参量反常积分⎰+∞
+02
1cos dx x
xy
在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有
21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021x
dx
收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞
+02
1cos dx x xy
在(-∞,+∞)上一致收敛.
例3：证明含参量反常积分⎰+∞
-0sin dx x
x
e xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞
sin dx x
x
收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞
-0sin dx x
x
e xy 在[0,+∞)上一致收敛.
例4：证明含参量积分⎰+∞
+1
2
1sin dy y xy
y 在(0,+∞)上内闭一致收敛.
证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],
⎰
N
a
xydy sin =N
a
x xy
cos -
≤a 2. 又'
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()
222
11y
y +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 2
1y
y
+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞
+1
2
1sin dy y xy
y 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰
+∞
+1
2
1sin dy y
xy
y 在(0,+∞)上内闭一致收敛.
二、含参量反常积分的性质
定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞
=+11
),(n A A
n n
dy y x f =∑∞
=1
)(n n x u 在I 上一致收敛.
又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.
推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.
注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：
⎰
+∞
→c
x x dy y x f ),(lim
0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞
→c
x x dy y x f ),(lim 0
.
定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞
c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞
c x dy y x f ),(.
证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1
),(n n
A A dy y x f .
由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1
),(n n
A A x dy y x f .
由⎰+∞
c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数
∑∞='1
)(n n x u =∑⎰
∞
=+1
1
),(n A A x n n
dy y x f 在I 上一致收敛.
根据函数项级数的逐项求导定理，即得：
φ’(x) =∑∞
='1
)(n n
x u =∑⎰∞
=+1
1
),(n A A
x n n
dy y x f =⎰
+∞
c
x dy y x f ),(.或写作
⎰+∞
c dy y x f dx
d ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.
推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞
c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞
c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞
c x dy y x f ),(.
定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞
c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且
⎰
⎰
+∞
c
b
a
dy y x f dx ),( =⎰⎰+∞b
a
c
dx y x f dy ),(.
证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞
=+11
),(n A A
n n
dy y x f =∑∞
=1
)(n n x u 在I 上一致收敛，且
各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有
⎰
Φb
a
dx x )(=∑⎰∞
=1
)(n b
a
n dx x u =∑⎰⎰
∞
=+11
),(n b
a
A A n n
dy y x f dx =∑⎰⎰
∞
=+1
),(1
n b
a
A A dx y x f dy n n
，即
⎰
⎰
+∞
c
b
a
dy y x f dx ),( =⎰⎰+∞
b
a
c
dx y x f dy ),(.
定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若
(1)⎰+∞
a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞
c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；
(2)积分⎰⎰+∞
+∞
c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞
+∞
a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则
⎰
⎰
+∞
+∞
c
a
dy y x f dx ),(=⎰
⎰+∞
+∞a
c
dx y x f dy ),(.
证：不妨设⎰⎰+∞
+∞
c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞
+∞
c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记J
d =|⎰⎰+∞
a d
c dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞
+∞
c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞
a d
c dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞
d
c a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞
+∞
d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：
J d =|⎰⎰+∞
+∞
d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞
d A
a dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞
+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞
+∞d A dy y x f dx |),(|<2
ε. 选定A 后，由⎰+∞
c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞
d dy y x f ),(|<
)
(2a A -ε
. ∴J d <2ε+2
ε=ε，即有+∞
→d lim J d =0，
∴⎰⎰+∞
+∞
c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞
+∞
a c dx y x f dy ),(.
例5：计算：J=⎰+∞
--0sin sin dx x
ax
bx e px (p>0,b>a). 解：∵
x
ax bx sin sin -=⎰b
a xydy cos ，∴
J=⎰⎰+∞-0cos b a px
xydy dx e =⎰⎰+∞-0cos b
a px xydy e dx .
由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞
-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，
含参量反常积分⎰+∞
-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.
又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0
cos xydx e dy px b
a =⎰
+b
a
dy y p p
2
2=arctan p b - arctan p a .
例6：计算：⎰+∞
sin dx x
ax
. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞
-0sin dx x
ax
e px
=arctan p a (p>0).
由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞
sin dx x
ax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2π
agn a. ∴⎰+∞0sin dx x
ax =2πagn a.
例7：计算：φ(r)=⎰+∞
-0.cos 2
rxdx e x .
解：∵|2
x e -cosrx|≤2
x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞
-02
dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞
-0cos 2
rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞
-'0)cos (2
dx rx e
r x =⎰+∞
--0
sin 2
rxdx xe x ，
∵|-x 2
x e -sinrx|≤x 2
x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞
-02
dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞
-'0)cos (2
dx rx e
r x 在(-∞,+∞)上一致收敛.
由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞
--0sin 2
rxdx xe
x =⎰
-+∞→-A
x A rxdx
xe
sin lim
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎰--+∞
→A x A
x A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22
=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 4
2
r e -
. 又φ(0)=⎰+∞
-02
dx e x =
2
π=c. ∴φ(r)=4
2
2πr e
-
.
概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰d
c dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰d
c dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.
定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-d
d dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰d
c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.
习题
1、证明下列各题 (1)⎰∞
++-1
2
222
2)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；
(2)⎰+∞
-02dy e
y
x 在[a,b] (a>0)上一致收敛；
(3)⎰+∞
-0sin dt t
at
e t
在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞
-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰1
0)ln(dy xy 在[b
1,b](b>1)上一致收敛；
(6)⎰1
p
x dx
(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1
011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.
证：(1)∵22222)(y x x y +-≤2222
2)
(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，
∴⎰∞
++-1
2
222
2)
(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，y
x e
2-=
y
x e
21≤
y
a e
21，且⎰+∞
1
2y
a e
dy 收敛，
∴⎰+∞
-02
dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.
(3)对任何N>0，∵⎰-N
t atdt e 0sin ≤⎰-N
t dt e 0≤1，即⎰-N
t atdt e 0sin 一致有界. 又t
1关于在(0,+∞)单调，且t
1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，
⎰
+∞
-0
sin dt t
at
e t
在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy
|≤be -ay
，且⎰+∞
0ay -be 收敛， ∴⎰+∞
-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=
2
1
e
<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰
-2
1
00A A y x dy e x =M
M y
x e 20-=21e e ->21e
=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞
-0dy xe xy =⎩⎨
⎧≤<=b
x x 0,10
,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，
由连续性定理知⎰+∞
-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.
(5)∵在[b
1
,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-1
0)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰1
0)ln(dy xy 在[b
1,b](b>1)上一致收敛.
(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1
，又⎰10b x
dx 收敛，
∴⎰1
p
x dx
在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.
(ii)当p=1时，⎰1
x
dx
发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰
1
p x
dx
在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1
01
1
)
1(dx x x
q p =⎰---210
1
1
)
1(dx x x
q p +⎰---1
2
111)1(dx x x q p =I 1+I 2.
对I 1在0≤x ≤2
1, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1
(1-x)q-1
|≤1
1
00)
1(---q p x x
且⎰---210
110
)1(dx x x q p 收敛，
∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1
011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.
2、从等式⎰-b
a xy
dy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0
dx x
e e by
ay (b>a>0). 解：∵⎰-b
a xy dy e
=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0
dx x
e e by
ay
=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰
+∞
-0
dx e xy 在[a,b]内一致收敛.
∴⎰∞
+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xy
b a =⎰b a dy y 1=ln a
b .
3、证明函数F(y)=⎰+∞
--0)(2
dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞
-02
dx e x =2
π
) 证：令x-y=u, 则F(y)=
⎰
+∞
-y
u du e
2
=⎰-0
2
y
u du e
+⎰+∞
-02
du e
u =⎰-0
2
y
u du e +
2
π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-0
2
y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞
--0
)(2
dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.
4、求下列积分： (1)⎰∞
+---0
2
2
22
2dx x e e x
b x
a
(提示：利用⎰+∞
-0
2
dx e
x =
2
π
)； (2)⎰+∞
-0
sin dt t xt e t
；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xy
e x . 解：(1)∵2
2
22
2x e e x
b
x
a
---=⎰-b
a x y dy ye 2
22，
∴⎰∞
+---0
2
2
22
2dx x e e x
b x
a
=
⎰
⎰+∞
-0
2
22b
a
x y dy ye dx ，
由M 判别法知⎰+∞
-02
22dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，
∴⎰∞
+---0
2
2
22
2dx x e e x
b x
a
=⎰⎰+∞
-0
2
22dx ye
dy x y b
a
=⎰⎰+∞
-0)(22
2xy d e
dy x y b
a =⎰
b
a
dy π=(b-a)π.
(2)利用例5结果：⎰+∞
--0sin sin dt t
at
bt e pt
=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).
当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞
-0sin dt t
xt
e t
=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞y
x dt x xt e dx 0
0sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是x
xt
e x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx x
xt
e x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有
2cos 1x xy e x
--=⎰⎰+∞-0
0sin dx x
xt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).
5、回答下列问题： (1)对极限⎰
+∞
-→+0
02
2lim
dy xye
xy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？
(2)对⎰⎰+∞
--1
32
)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？
(3)对F(x)=⎰+∞
-032
dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞
-02
2dy xye xy =⎩⎨
⎧=>0
,00
,1x x , ∴F(x)lim 0
+→x =1，但
⎰
+∞
-→+0
2
2lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，
∴对极限⎰
+∞
-→+0
02
2lim
dy xye
xy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.
注：⎰+∞
-02
2dy xye xy =⎰+∞
-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.
(2)∵⎰⎰+∞
--1
003
2
)22(dx e
xy y dy xy =⎰∞
+-1
22dy xye
xy =⎰1
0dy =0；
⎰⎰
-+∞
-1
03
2
)22(dy e
xy y dx xy =⎰
+∞
-0
1
2
2dx e
y xy =⎰-1
dx e x =1；
∴对⎰⎰+∞
--1
0032
)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.
注：⎰+∞
--032
)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞
--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2
My e -. 对ε0=1，
不论M 多大，总有y 0=M
1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2
)22(3=2M e 1
->1,
∴⎰+∞
--032
)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞
-032
dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但
y x e x x
23-∂∂=(3x 2-2x 4
y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞
-032
dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞
--04
2
2)23(dy e
y x x y
x =⎩
⎨⎧=≠0,00
,1x x ，
∴⎰+∞
--04
2
2)23(dy e
y x x y
x 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.
6、应用：⎰+∞
-02
dx e ax =2
1
2
π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞
-022
dt e t at
=23
4π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭
⎫
⎝⎛+--212
!)!12(2πn n a n .
证：(1)方法一：∵⎰+∞
-022
dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴
⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02
dt e da
d at =-⎰+∞-022dt
e t at . 又⎰+∞-02
dt e da d at =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21
2πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞
-02
2
dt e
t at =-⎰+∞-0221at tde
a =-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎰+∞
-∞
+-0
2
2
21dt e
te a at at
=⎰+∞-02
21dt e a
at =23
4π-a .
(2)方法一：∵⎰+∞
-022
dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，
∴⎰∞
+-0
2
dt e
da d at n
n
=⎰
∞
+-0
2dt e da d at n
n =(-1)n ⎰+∞-022
dt e t at n . 又⎰
∞
+-0
2
dt e da
d at
n
n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-212πa da
d n
n
=(-1)n ⎪⎭⎫
⎝⎛
+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞
-022
dt e t at
n =⎪⎭
⎫
⎝⎛
+--212!)!12(2πn n
a
n . 方法二：记I n =⎰+∞
-022
dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证
I 1=⎪⎭
⎫
⎝⎛
+--⨯2112
)112(2πa
=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞
-+0)1(22
dt e t at k =-
⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎰+∞
+-∞
+-+0120
122
2
21k at at k dt e e t a
=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =a
k 21
)1(2-+I k
=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=2
1
1
)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .
当n=k+1时，有I n =⎰+∞
-022
dt e t at n =21
)2(!)!12(2π--a a k n =
⎪⎭
⎫
⎝⎛+--212!)!12(2πn n
a n . 7、应用⎰+∞
+0
22a x dx =a
2π，求()
⎰+∞++01
2
2n a x dx
.
解：记A=a 2
, ∵()
⎰+∞
++0
1
2
n A
x
dx
在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，
∴⎰∞
++0
2A x dx dA d n
n =⎰∞+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n
=(-1)n
n!()
⎰+∞++012n A x dx . 又⎰
∞
++0
2A x dx dA
d n
n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)
n 2
1
2!)!12(2π---n n A n . ∴()
⎰+∞
++01
2
n A
x
dx
=21
2!!)!12(2π---n n A n n =1
2!
)!2(!)!12(2π---n a n n .
8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞
0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.
证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数
∑⎰
∞
=+1
1
),(n A A n n
dy y x f =∑∞
=1
)(n n x u .
∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞
=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而
∑⎰
∞
=+1
1
),(n A A n n
dy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰
+∞
),(在[a,b]上连续.
∴I(x)=dy y x f ⎰+∞
0),(=∑⎰∞
=∞
→+1
1
),(lim n A A
n n n
dy y x f [a,b]上一致收敛.
9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞
0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：
dx y x f ⎰
+∞
),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.
证：∵dx y x F ⎰+∞
0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，
∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有
⎰2
1
) , (
A A
dx
y
x
F<ε.
∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰2
1
) , (
A A
dx
y
x
f≤⎰2
1
)
,
(
A
A
dx
y
x
f≤⎰2
1
)
,
(
A
A
dx
y
x
F<ε，
∴dx
y
x
f
⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。