数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)

第十九章 含参量积分 2含参量反常积分

一、一致收敛性及其判别法

概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞

c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞

c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.

定义1： 若含参量反常积分⎰+∞

c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M

c Φ-⎰<ε, 即⎰+∞

M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛.

定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰2

1

),(A A dy y x f <ε.

定理19.8：含参量反常积分⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：

+∞

→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰

+∞

∈A

I

x dy y x f ),(sup .

例1：证明含参量反常积分⎰+∞

0sin dy y

xy

在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.

解：令u=xy, 则⎰+∞

A dy y xy

sin =⎰+∞Ax du u

u sin (A>0). ∵⎰+∞

Ax

du u

u

sin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'

A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δ

M

时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞

+Ax

du u

u

sin <ε, 即⎰∞

+A

dy y xy

sin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim )

,(δ=0, 由定理19.8知 ⎰

+∞

sin dy y

xy

在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰

∞

++∞∈A

x dy y

xy

sin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰

∞

+0

sin du u u =2

π

. ∴⎰+∞

0sin dy y

xy

在(0,+∞)上不一致收敛.

注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.

定理19.9：含参量反常积分⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数

∑⎰

∞

=+1

1

),(n A A n n

dy y x f =∑∞

=1)(n n x u 在I 上一致收敛.

证：[必要性]若⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'

''A A dy y x f ),(<ε.

又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有

|u n (x)+…+u m (x)|=⎰

⎰+++⋯+1

1

),(),(n n

m m

A A A A

dy y x f dy y x f =⎰+1

),(m n

A A

dy y x f <ε.

∴∑∞

=1

)(n n x u 在I 上一致收敛.

[充分性]若∑∞

=1

)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,

则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰'

'''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰2

1

),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有

A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-n

n A A

n dy y x f 21

2),(≥ε0.

由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞

→n lim A n =+∞, 而对级数

∑∞

=1

)(n n

x u

=∑⎰

∞

=+1

1

),(n A A n n

dy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,

只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-n

n A A

n dy y x f 21

2),(≥ε0,

与级数∑∞

=1

)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞

c dy y x f ),(在I 上一致收敛.

魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞

c dy y g )(收敛, 则

⎰

+∞

c

dy y x f ),(在I 上一致收敛.

狄利克雷判别法：设

(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰N

c dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰N

c dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量