误差理论与测量平差基础
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误差理论与测量平差基础
山东科技大学 资源与土木工程系
误差理论教与材测内量容平差基础
第一章 绪论 第二章 误差分布与精度指标 第三章 协方差传播律及权 第四章 平差数学模型与最小二乘原理 第五章 条件平差 第六章 附有参数的条件平差 第七章 间接平差 第八章 附有限制条件的间接平差
第九章 概括平差函数模型 第十章 误差椭圆 第十二章 近代平差概论
9
3
1
P1
12
10 4
6
D
2 11 5
a
6
A
如图： 条件平差：
2 1
n6
t 244 4
34
c r 642
其中： 1236180
其它条件如何列？
a
6 5
7
设未知参数X1
n6
2 1
t 244 4
u 1
34
c nu t r u 213
1
2
3
6
180
4
5
X1
180
sin(
3
4 ) sin(
第 六 章 附有参数的条件平差
第一节 附有参数的条件平差原理 第二节 精度评定
a
3
一、测量平差方法回顾
（1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，
条件方程个数c。 AVW0 cnn1 c1
在最小二乘原则下有：
AT Q K W A 0K (AT Q ) 1 W A
VQTA K
cnn1 cuu1 c1
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数
由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
a
5
设定未知参数的目的：
（1）为了方便列立条件。
（2）为了在条件平差过程中，直接估计一
些量以及其精度。如：
C
16 15 7
P2
B
18
17 14 13 8
VTPV2KT(AVBxW)min
K T[ka kb kc]T
a
10
求其一阶偏导数，并令其为0：
2VTP2KTA0
V
2kTB0
x
PVATK BTK0 VP1ATKQT A K
联立 BATVKB0xW 0 V QAT K
AQTAKBxW0 BTK0
即为法方程式
a
11
将法方程写成矩阵的形式：
AQAT BK W
2 ) sin(
X 1)
1
sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( 4 )
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条
件进行线性化，可形成基础方程a。
9
二、 基础方程和它的解
基础方程：
AVB xW0
cnn1 cuu1 c1
VTPV最小 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
2 ) sin(
X1)
1
sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( a 4 )
6 X1 5
8
u2
2 1
6 X1
c nut ru
22 4
X2
1
2
3
6
180
34
5
4
5
X1
180
2
6
X 1
X2
180
特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。
sin(
3 4 ) sin(
a
15
完毕
a
16
BT
0
x
0
0
P Q1
K AQAT
x
BT
B1 W
0
0
也可分别求解：
Fra Baidu bibliotek
K(AQT)A 1(WBx)Na1a(WBx)
x(BTNa1aB)1BTNaa1W a Nb1bBTNa1W a 12
V QATNa1a(WBx)
X X0 x
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
0
VT PV r
2 0
VTPV r
LLV
a
4
（2） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量 作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条 件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模 型，称为附有参数的条件平差法。
AB xW0
a
13
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
(L, X)
线性化：
ddL dX )F TdL F x TdX
L X
Q F T Q L L F F T Q L X F x a F x T Q X L F F x T Q X X F x T 14
四、附有参数的条件平差的计算步骤
山东科技大学 资源与土木工程系
误差理论教与材测内量容平差基础
第一章 绪论 第二章 误差分布与精度指标 第三章 协方差传播律及权 第四章 平差数学模型与最小二乘原理 第五章 条件平差 第六章 附有参数的条件平差 第七章 间接平差 第八章 附有限制条件的间接平差
第九章 概括平差函数模型 第十章 误差椭圆 第十二章 近代平差概论
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P1
12
10 4
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D
2 11 5
a
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A
如图： 条件平差：
2 1
n6
t 244 4
34
c r 642
其中： 1236180
其它条件如何列？
a
6 5
7
设未知参数X1
n6
2 1
t 244 4
u 1
34
c nu t r u 213
1
2
3
6
180
4
5
X1
180
sin(
3
4 ) sin(
第 六 章 附有参数的条件平差
第一节 附有参数的条件平差原理 第二节 精度评定
a
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一、测量平差方法回顾
（1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，
条件方程个数c。 AVW0 cnn1 c1
在最小二乘原则下有：
AT Q K W A 0K (AT Q ) 1 W A
VQTA K
cnn1 cuu1 c1
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数
由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
a
5
设定未知参数的目的：
（1）为了方便列立条件。
（2）为了在条件平差过程中，直接估计一
些量以及其精度。如：
C
16 15 7
P2
B
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17 14 13 8
VTPV2KT(AVBxW)min
K T[ka kb kc]T
a
10
求其一阶偏导数，并令其为0：
2VTP2KTA0
V
2kTB0
x
PVATK BTK0 VP1ATKQT A K
联立 BATVKB0xW 0 V QAT K
AQTAKBxW0 BTK0
即为法方程式
a
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将法方程写成矩阵的形式：
AQAT BK W
2 ) sin(
X 1)
1
sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( 4 )
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条
件进行线性化，可形成基础方程a。
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二、 基础方程和它的解
基础方程：
AVB xW0
cnn1 cuu1 c1
VTPV最小 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
2 ) sin(
X1)
1
sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( a 4 )
6 X1 5
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u2
2 1
6 X1
c nut ru
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X2
1
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4
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X1
180
2
6
X 1
X2
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特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。
sin(
3 4 ) sin(
a
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完毕
a
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BT
0
x
0
0
P Q1
K AQAT
x
BT
B1 W
0
0
也可分别求解：
Fra Baidu bibliotek
K(AQT)A 1(WBx)Na1a(WBx)
x(BTNa1aB)1BTNaa1W a Nb1bBTNa1W a 12
V QATNa1a(WBx)
X X0 x
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
0
VT PV r
2 0
VTPV r
LLV
a
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（2） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量 作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条 件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模 型，称为附有参数的条件平差法。
AB xW0
a
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二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
(L, X)
线性化：
ddL dX )F TdL F x TdX
L X
Q F T Q L L F F T Q L X F x a F x T Q X L F F x T Q X X F x T 14
四、附有参数的条件平差的计算步骤