八年级数学第二学期5月份月考测试卷含答案

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连接BE ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论：①OG ＝12
AB ；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A 、B 、D 、E 为项点的四边形是菱形；④ S 四边形ODGF ＝ S △ABF ．其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．①③④
C ．①②③
D ．②②④
2．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
3．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，在ABCD 中，已知6AB =，8AD =，60B ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF ∆的面积是（ ）
A．83B．123C．143D．183
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )
A．4 B．4.5 C．5 D．6
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作
DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是( )
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
7．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )
A．6B．10 C．12 D．16
8．已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于1
2
CD长为半径作弧，
两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误
．．的是（）
A ．∠ABC =60°
B ．如果AB =2，那么BM =4
C ．BC =2CM
D ．2ABM ADM S S =△△
9．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）
A ．先增大，后减小
B ．先减小，后增大
C ．始终等于2.4
D ．始终等于3
10．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH=14
BC ，③BF=2OD ，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
12．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
13．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．
14．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．
15．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
16．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边
上运动，当BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为______，
18．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A 旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_____．
19．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=5，则BC的长为_______．
20．在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD的长为___________．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
22．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．
23．已知正方形ABCD ．
（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．
①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．
②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．
（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当
13
AE CF =时．请直接写出HC 的长________．
24．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，
GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．
25．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
26．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
27．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．
①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．
28．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；
②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
29．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，
(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；
(2)如图1，若DF=
3
，求AE的长；
(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转α（090
α
<<）,点C,F的对应点分别为1C、1F，
连接
1
AF、
1
BC，点G是
1
BC的中点,连接AG，试探索
1
AG
AF是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
30．（问题情境）
在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：
PD+PE=CF．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）
（变式探究）
当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l1：y=
4
4
3
x
-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别
交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12 CD=12
AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出
△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12
AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；④不正确；即可得出结果.
【详解】
解：四边形ABCD 是菱形，
,//,,,,AB BC CD DA AB CD OA OC OB OD AC BD
BAG EDG ABO BCO CDO AOD CD DE
AB DE
∴=====⊥∴∠=∠∆≅∆≅∆=∴= 在△ABG 和△DEG 中，
BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABG ≌△DEG （AAS ），
∴.AG=DG ，
∴OG 是△ACD 的中位线，
∴OG=
12CD=12
AB ，①正确； ∵AB//CE ，AB=DE ，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，
∴AB=BD=AD ，∠ODC=60°，
∴OD=AG ，四边形ABDE 是菱形，③正确；
∴AD ⊥BE ，
由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，
在△ABG 和△DCO 中，
60OD AG ODC BAG AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴△ABG≌△DCO
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，则②不正确。

∵O B=O D，AG=DG，
∴O G是△ABD的中位线，
∴O G∥AB，O G=1
2 AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△G O D的面积=1
4
△ABD的面积，△ABF的面积=△O GF的面积的4倍，AF:OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；④不正确；
故答案为：A.
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.
【详解】
解：如图：∵△ABC ，△DCE 是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD 是等边三角形
∴AD=AC=BC ，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴BD 、AC 互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE 故四边形ACED 是菱形，即③ 正确
∵四边形ABCD 是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD 是菱形
∴AC ⊥BD ，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD ⊥DE ，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.
4．A
解析：A
【分析】
根据平行四边形的性质得到6AB CD ==，8AD BC ==，求出BE 、BF 、EF ，根据()BFE CHE ASA 得出2CH =，23EH ，根据三角形的面积公式求DFH ∆的面积，即可求出答案． 【详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
8AD BC ∴==，//AB CD ，6AB CD ==，
E 为BC 中点，
4BE CE ∴==，
60B ∠=︒，EF AB ⊥，
30FEB ∴∠=︒，
2BF ∴=，
由勾股定理得：EF =，
//AB CD ，
B ECH ，
在BFE ∆和CHE ∆中，
B
ECH BE
CE BEF CEH ，
()BFE CHE ASA ， 23EF EH ，2CH BF ， ∴111622323163222DHF S
DH FH DC CH FE HE ， 1832DEF DHF S S ．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，
∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，
∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12
DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．
∴当点N 与点A 重合时，FP=
12BN =12BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，
∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，
∴AQ=8-5=3，
∴4==，
∴当点N 与点Q 重合时，EF=11222
DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=
12×4×2=4． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【详解】
如图，连结CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB22
AC BC
5.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的长最小，
此时，S△ABC＝1
2
BC·AC＝
1
2
AB·CD，
即1
2
×4×3＝
1
2
×5·CD，
解得CD＝2.4，∴EF＝2.4.
故选B.
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
7．B
解析：B
【分析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最
小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解】
PQ=
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，85
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
()22
CQ=-=
85816.
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
8．B
解析：B
【分析】
连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．
【详解】
如图，连接AC，
由题意知：EF垂直平分CD，
∴AC=CD ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB=BC=CD ，
∴AC=AD=CD=AB=BC ，
∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，
∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A 正确；
∵AM 垂直平分CD ，
∴∠CAM=∠DAM=30°，
∴∠BAM=90°，
∴S △ABM =S △ABC =S △ABD =2S △ADM ，故D 项正确；
∵AB=2，
∴AC=CD=2，
∴AM=AC ·cos30°=2，
∴B 项错误；
由AM 垂直平分CD 可得CM=
12CD ， 又∵BC=CD ，
∴CM=12
BC ，即BC=2CM ，故C 项正确； 故选：B ．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键．
9．C
解析：C 【分析】
在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134
AOD ABCD S S ==矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得
5AC =,则52OA OD ==，111()3222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF 的值．
【详解】
解：连接PO ，如下图：
∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，
∴12ABCD S AB BC ==矩形,
AO OC =，OB OD =，AC BD =，
225AC AB +BC ， ∴1112344
AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52
OA OD ==， 11115()()322222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=， ∴12 2.45
PE PF +=
=； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 10．B
解析：B
【分析】
①只要证明OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；
②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14
BC ，可得出结论； ③易证得△ODH 是等腰三角形，继而证得OD=
12BF ； ④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．
【详解】
解：∵EC=CF ，∠BCE=∠DCF ，BC=DC ，
∴△BCE ≌△DCF ，
∴∠CBE=∠CDF ，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH ，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=1
2
BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=1
2
BC，GH=
1
2
CF，
∵CE=CF，
∴GH=1
2
CF=
1
2
CE
∵CE＜CG=1
2 BC，
∴GH＜1
4
BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=1
2
BF；故③正确．
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
二、填空题
11．222
+
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=1
2
PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+
1
2
（CP+PD）
=1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值
最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=1
2 PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+1
2
（CP+PD）=
1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴2222
4442
CT CD DT
++=
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC ≥CT ，
∴PT+PC ≥42， ∴PT+PC 的最小值为42，
∴△PDC 的最小值为4+42，
∴C △CEF =12
C △CDP =222+． 故答案为：222+．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
12．200m
【分析】
如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】
如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M
由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形
∵∠A ＝∠B ＝60°
∴18060E A B ∠=-∠-∠=
∴△ABC 是等边三角形
∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m
故答案为：200m ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
13．5
【分析】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．证明QM ＝QK ，QG ＝DQ ，求出DQ ＋QM 的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM＝2222
+=+＝35，
63
AB AM
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥35，
∴△QGK的周长的最小值为3+35，
故答案为3+35．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
14．101
-
【分析】
探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，
∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），
如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），
如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=
DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），
∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．
101．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．6
【分析】
先证明△AEB ≌△FEB ≌△DEF ，从而可知S △ABE =
13
S △DAB ，即可求得△ABE 的面积． 【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB ≌△FEB
∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD 为矩形
∴DF=FB
∴EF 垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF 和△BEF 中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF≌△BEF
∴△AEB≌△FEB≌△DEF
∴
1
366
6
AEB FEB DEF ABCD
S S S S
∆∆∆
====⨯=
矩形
．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．
16．663
【分析】
通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE
==，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，=
∴NE=NK+KE=6+
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+
∴6
=+
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
17．6.5或8或18
【分析】
根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点
∴13BQ =
∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，
则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形
∴ 6.5AP BM ==
②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，
过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=
∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB ==
∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=
同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'=
==，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置
∴8AP =或18
∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．
18．25﹣2
【分析】
连接AF ，CF ，AC ，利用勾股定理求出AC 、AF ，再根据三角形的三边关系得到当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为25﹣2.
【详解】
解：如图，连接AF ，CF ，AC ，
∵长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，
∴AC ＝25，AF ＝2，
∵AF +CF ≥AC ，
∴CF ≥AC ﹣AF ，
∴当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为25﹣2，
故答案为：25﹣2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.
19．4
【分析】
过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得
EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=
12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．
【详解】
过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，
∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，
∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，
∴EM 是△AOD 的中位线，
又∵ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x ，
∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC 为等腰直角三角形，
∴EF=FC ，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF 为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=
12
BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，
则△BFP ≌△MEP （ASA ），
∴EP=FP=12EF=12FC=12
x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，
即：222
1(5)()2x x =+，
解得：2x =，
∴BC=2x =4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 20．4
【分析】
根据题意，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+23，由DM=
122
AD =，则BM=23，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD 为等边三角形，即可得到BD 的长度.
【详解】
解：如图：连接BD ，BM ，则AC 垂直平分BD ，则BN=DN ，
当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+3 ∵AD=AB=4，M 是AD 的中点，
∴AM=DM=122
AD =， ∴BM=3
∵2222223)16AM BM AB +=+==，
∴△ABM 是直角三角形，即∠AMB=90°；
∵BM 是△ABD 的中线，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=AD=4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD 是等边三角形.
三、解答题
21．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2326+【分析】
（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=62-，推出BN=62+，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】
解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．
理由：连接CG ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴A 、C 关于对角线BD 对称，
∵点G 在BD 上，
∴GA=GC ，
∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC 是矩形，
∴CF=GE ，
在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，
∴AG 2=GF 2+GE 2．
（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x ，MN=3x ，
在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，
∴1=x 2+（2x+3x ）2，
解得x=
62-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=
3266+．
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．
22．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出
△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，
∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
BE CD
BEM DCM EM CM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=10，AD=24，
∴2222
1024
AB AD
++=26，
∴21322DM BD =
=． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
23．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5．
【分析】
（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）①证明：
四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒
45APB ∠=︒，∴+180APB PAC ∠∠=︒，∴//PB AC
∴四边形APBC 是平行四边形； ②
四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，
AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，
∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=︒，90ADC QDT ∠=∠=︒，
∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠，
AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=︒，
AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=︒；
（3）CH=5，理由如下：。