周期信号的频谱的特点

周期信号的频谱的特点

一、 周期信号的频谱

一个周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。

描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。

1

单边频谱

若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即

∑ ∞

=+Ω+=1

0)cos()(n n n t n A A t f ϕ (3-24)

则对应的振幅频谱n A 和相位频谱n ϕ称为单边频谱。

例3-3 求图3-4所示周期矩形信号)(t f 的单边频谱图。 解 由)(t f 波形可知， )(t f 为偶函数，其傅里叶系数

⎰==

2/0021

)(4T dt t f T a

⎰=Ω=

2/0)4/sin(2cos )(4T n n n tdt n t f T a ππ

0=n b

故

∑∑∞=∞

=Ω+=Ω+=110cos )4/sin(241cos 2)(n n n t

n n n t n a a t f ππ

因此

410=A , ππn n A n

)4/sin(2=

即

45.01=A , 32.02≈A , 15.03≈A , 04=A , 09.05≈A , 106.06≈A ┅

单边振幅频谱如图3-5所示。

t

f(t)

图 3 - 4

τ

τττ4 2/ 0 2/ 4--1

图 3 - 5

0.250.45

0.32

0.15

0.09

0.106

Ω

ΩΩΩΩΩΩ7 6 5 4 3 2 0A n

2双边频谱

若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即

25)-(3 )(∑∞

-∞

=Ω=

n t

jn n

e

F t f

则n F 与Ωn 所描述的振幅频谱以及n F 的相位n n F θ=arctan 与Ωn 所描述的相位频谱称为双边频谱。

例3-4 画出图3-4所示矩形周期信号)(t f 的双边频谱图形。

解 由式(3-18)和图3-4可知

⎰-Ω-⨯

==2/2/4)4/sin(24

1)(1T T t jn n n n dt e t f T F ππ 41

0=

F ,225.01=±F ,159.02=±F ,075.03=±F

04=±F ,045.05-=±F ,053.06=±F …

故n F , n F arctan 的双边频谱图如图3-6所示。

图 3 - 6

ω

ω

从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指n n F A 2=与正n 值的关系，双边振幅频谱是指n F 与正负n 值的关系。应注意n n F F -=，所以将双边振幅频谱

n F n -围绕纵轴将负n 一边对折到n 一边，并将振幅相加，便得到单边振幅n A 频谱。

当n F 为实数，且)(t f 各谐波分量的相位为零或±π，图形比较简单时，也可将振幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例3-4中)(t f 的频谱可用n F 与Ω

n

关系图形反映，如图3-7所示。

0.25

ω

3 0 - 3- 4- ΩΩΩΩΩn

F Ω-Ω-5 7Ω

Ω7 5图 3 - 7

3周期信号频谱的特点

图3-7反映了周期矩形信号)(t f 频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱的普遍性质，这就是：

(1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线谱。

(2) 谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率

T π

2=

Ω的整数倍，而且

相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是Ω的整数倍。

(3) 收敛性。指谱线幅度随∞→n 而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性.

二、 周期信号的有效频谱宽度

在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。

图 3 - 8

图3-8所示信号)(t f 的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E ，重复周期为T ，重复

角频率为

T π2=

Ω。

若将)(t f 展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得

⎰--Ω-Ω==

2/2/)2

(1ττττn S T E Ee T F a t jn n (3-26)

在这里n F 为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。

ω

图 3 - 9

由此图可以看出：

(1) 周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为

T π

2=

Ω。

(2) 直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅E 和脉宽τ，反比于

周期T ，其变化受包络线x x

sin 的牵制。