含绝对值不等式的解法课件

??x<1或x>3，
即?x≤9，
? ?
x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为 {x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为 {x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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【解】 ∵A＝{x||2 －x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}； B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或 x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a ，或 x≤－ a －3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
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?－a－3≥－3， a 应满足??3－a≤7. ∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}． 【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
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(2)分段讨论法： | ax ＋b|≤c(c>0)? ?ax＋b≥0 ?ax＋b<0 ??_a_x_＋__b_≤__c___或__??_－____a_x_＋__b___≤__c__._____
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3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__ ( 课本上叫做图象法、几 何法)．
学习目标 1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的 几何意义求解单向或双向的绝对质不等式； 2．在进行含有参数的不等式的求解问题时， 要学会分类讨论 . 3.掌握常见不等式 |x－c|＋|x－b|≥a的解 法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法 来求解．
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1 ．若 a>0 ，且 |x|>a ，则 _x_>_a_或__x_<_－__a__ ；若 a >0，且 |x|<a ，则 __－__a_<_x_<_a____. 2．|ax ＋b|> c(c>0) 型不等式的解法： (1)换元法：令 t＝ax＋b，则|t|>c，故 __t>__c或__t_<_－__c__ ，即_a_x_＋__b_>_c_或_a_x_＋__b_<__－__c， 然后再求 x，得原不等式的解集．
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形如 |x＋ m|±|x＋n |<( 或 >)a 的不等式的求解
例4 解不等式 |x－1|＋|x－2|>2. 【思何意义求解．
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【解】 法一：令 x－1＝0，∴x＝1. 令 x－2＝0，∴x＝2. ∴当 x<1 时，原不等式可化为 1－x＋2－x>2，∴x<12， ∴原不等式解集为 x<12. 当 1≤x<2 时，原不等式可化为 x－1＋2－x>2 不成立．
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变式训练2 解不等式1<|x－2|≤3. 解：原不等式等价于不等式组 ?|x－2|>1， ??|x－2|≤3 ， 即???x－<11≤或xx≤>35，， 解得－1≤x<1 或 3<x≤5， 所以原不等式的解集为 {x|－1≤x<1 或 3<x≤5}．
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含参数的绝对值不等式 例3 已知集合 A＝{x||2 －x|<5}，B＝{x||x＋ a |≥ 3}，且 A∪B＝R ，求 a 的取值范围． 【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求 a.
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(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， ?x2－3x＋1>－5，
即??x2－3x＋1<5. ?x∈R，
∴??－1<x<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
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变式训练1 解不等式|2x－1|<2－3x. 解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x，
?2x－1<2－3x， 即??2x－1>3x－2， 得???5xx<<13，，
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形如 |x＋ m|±|x ＋n |<( 或 >)x＋p的不等式的解法
例5 解不等式 |x－1|＋|2－x|>3＋x. 【解】 原不等式变为 |x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为 x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为 x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈? ；
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单向的绝对值不等式
例1 解下列不等式． (1)|2x＋5|<7. (2)|2x＋5|>7＋x. (3)|x2－3x＋1|<5.
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【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|<a的解集形式． 【解】 (1)原不等式等价为 －7<2x＋5<7. ∴－ 12<2 x<2， ∴－ 6<x<1， ∴原不等式解集为 {x|－6<x<1}． (2)由不等式 |2x＋5|>7＋x， 可得 2x＋5>7 ＋x或2x＋5<－ (7＋x)， ∴x>2或x<－4. ∴原不等式解集为 {x|x>2或x<－4}．
原不等式解集为{x|x<35}．
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双向的绝对值不等式 例2 解不等式 1<|2－x|≤7. 【思路点拨】 利用|x|>a与|x|<a的解法来转 化该不等式．
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?|2－x|>1， 【解】 法一：原不等式可转化为 ??|2－x|≤7，
??2－x>1或2－x<－1， ∴?2－x≥－7，
??2－x≤7，
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变式训练1 解不等式： |x＋2|－|x－1|<2x. 解：原不等式可化为： ?x>1 ??x＋2－?x－1?<2x ① 或 ?－2≤x≤1 ??x＋2＋?x－1?<2x ②
?x<－2 或??－?x＋2?＋?x－1?<2x ③.
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解①得：x>32，解②得：x∈?，解③得： x∈?. ∴原不等式的解集是{x|x>32}．
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当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x>52. 综上，原不等式解集为{x|x<12或 x>52}． 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
??－2x＋3 ∴y1＝???12x－?13≤x?<x≥2?2?
?x<1? .
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其图象如图．
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∴原不等式的解集为{x|x<12或 x>52}． 【名师点评】 法一关键是找零点，法二关 键是正确作出图象．