第三章平面任意力系

解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188kN m
例3-6 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图； 求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
例3-10
已知: P=60kN, P1=20kN, P2=10kN, 风载F=10kN, 尺寸如图;
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0
解得
FBy 77.5kN
Fiy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0
Fix 0 FBx 0
M B 0 2P 4FAy 0 FAy 5kN
Fiy 0 FAy FBy P 0 FBy 5kN
取节点A，画受力图.
Fiy 0 FAy F1 sin 300 0
解得
F1 10kN (压)
Fix 0 F2 F1 cos 300 0
解得
解得
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
MD 0
8F ' E
4P1
2P2
0
解得
F ' 12.5kN
E
取右边刚架,画受力图.
MC 0 6FBy 10FBx 4P FE 0
解得 FBx 17.5kN 对整体图
Fix 0 FAx F FBx 0
解得 FAx 7.5kN
F1 300kN, F2 70kN;
求：力系的合力 FR 合力与OA杆的交点到点O的距离x，
合力作用线方程
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩
ACB arctan AB 16.70
AC
FR'x Fix F1 F2 coFra Baidu bibliotek 232.9kN
FR'y Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系的平衡方程（一般式） 平面任意力系的平衡方程有三种形式，
一般式 二矩式 三矩式
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
0
M A 0
二矩式
F x
0
M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
作用于简化中心上
MO MO (Fi )
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
cos(F
, i
)
F x
R
FR
cos(F , R
j)
F y
FR
MO Mo (Fi ) (Fix y Fiyx) (3 2)
(3 1)
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关
如何求出主矢、主矩?
FRx Fix Fix Fx
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 方向 作用点 主矩
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
cos(F 'R , i )
Fix FR
cos(F 'R ,
j)
Fiy FR
例3-11
已知: DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l, 450,
P, 各构件自重不计. 求:
A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
FA
2 2l P 5 l 0 2
解得
FA
52 8
P
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
5 FEx 8 P
Foy F
Mo 0 FA cos R M 0
解得 M FR
例3-8 已知: F=20kN, q=10kN/m, M 20kNm, L=1m;
求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
Mc 0
FB
sin
600
l
ql
l 2
F
cos
300
2l
0
解得 FB=45.77kN
取整体,画受力图.
第三章 平面任意力系
平面任意力系实例
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化 §3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题 §3-4 平面简单桁架的内力计算
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移 到任一点B，但必须同时附加一个力偶， 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩.
解: 取冲头B,画受力图.
解得
Fiy 0 F FB cos 0
FB
F
cos
Fl l2 R2
Fix 0
解得 FN F tan
取轮,画受力图.
FN FB sin 0
FR l2 R2
解得 解得
Fix 0 Fox FA sin 0
FR Fox l 2 R2
Fiy 0 Foy FA cos 0
F2 8.66kN(拉)
取节点C,画受力图.
Fix 0 F4 cos 300 F1' cos 300 0
解得 F4 10kN(压)
Fiy 0 F3 F1' F4 sin 300 0
解得 F3 10kN(拉)
取节点D,画受力图.
Fix 0 F5 F2' 0
解得 F5 8.66kN(拉)
关于平面桁架的几点假设： 1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接； 3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或均分布在节点上 在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆 节点法与截面法 1、节点法 2、截面法
例3-1 已知： P1 450kN, P2 200kN,
MB MB (F ) Fd
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
F1 F1 F2 F2
M1 M0 (F1)
M2 M0 (F2 )
Fn Fn
Mn M0 (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
FR 大小
FR'
2
F ix
2
F 709.4kN iy
方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
cos FR' , j
Fiy FR'
0.9446
主矩 Mo Mo F 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）、求合力及其作用线位置.
例3-13
已知: P1 10kN, P2 7kN, 各杆长度均为1m;
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例3-4
已知： P, q, a, M pa;
求： 支座A、B处的约束力.
解：取AB梁，画受力图.
F x
0
FAx 0
M A 0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得
FB
3 4
P
1 2
qa
Fy 0
解得
FAy q 2a P FB 0
Fiy 0 FEy P FA sin 450 0
解得
FEy
13 8
P
取DCE杆,画受力图.
MC 0 FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
解得
FDB
32 8
P
(拉)
例3-12 已知: P=10kN,尺寸如图； 求: 桁架各杆件受力.
解: 取整体，画受力图.
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 即 FR 0 Mo 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
F x
0
F y
0
(3 4)
M o 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选
例3-2（例2－1）
已知： AC=CB=l, P=10kN;
求：铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0
F y
0
FAx Fc cos 450 0 FAy Fc sin 450 F 0
M A 0 Fc cos 450 l F 2l 0
解： 取起重机，画受力图.
满载时，FA 0,
为不安全状况
MB 0
P3min 8 2P1 10P2 0
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0,
为不安全状况
M A 0 4P3max-2P1=0
解得
F3max=350kN
解得 解得
75kN P3 350kN P3=180kN时
MA 0
Fix 0
解得
FAx FB cos 600 F sin 300 0
FAx 32.89kN
Fiy 0
FAy FB sin 600 2ql F cos300 0
解得
FAy 2.32kN
M A 0 M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos300 4l 0
FB=870kN
4P3 2P1 14P2 4FB 0
Fiy 0 FA FB P1 P2 P3 0
FA=210kN
例3-7
已知： OA=R，AB= l,F , 不计物体自重与摩擦, 系统在图示位置平衡;
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力.
三矩式
M A 0 M B 0 M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
2、平面平行力系的平衡方程
F x
0
000 0
F x
0
F1 cos F2 cos F3 cos 0
F y
0
F sin F sin F sin 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
F y
解得
M A 10.37kN
例3-9
已知: P1, P2, P=2P1, r, R=2r, 200;
求: 物C 匀速上升时，作用于轮I
上的力偶矩M；轴承A，B处的
约束力.
解: 取塔轮及重物C,画受力图.
MB 0 Pr F R 0
解得 由 解得
Pr F R P1
Fr tan 200 F
Fr F tan 200 3.64P1
0
M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
A, B 两点连线不得与各力平行
§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题
§3-4 平面简单桁架的内力计算
总杆数 m m 3 =2(n 3) m 2n 3
总节点数 n
m 2n 3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n 3 平面简单（静定）桁架 m 2n 3 非桁架（机构）
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例3-3
已知： P1 10kN, P2 40kN, 求： 轴承A、B处的约束力.
尺寸如图；
解： 取起重机，画受力图.
F x
0
FAx FB 0
Fy 0 FAy P1 P2 0
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy
P 4
3 2
qa
例3-5 已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力.
解： 取T型刚架，画受力图.
其中
1
F1
F x
q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN Fy 0 FAy P F cos 60 0
Fix 0
FBx Fr 0
解得
FBx 3,64P1
Fiy 0
FBy P P2 F 0
解得
FBy 32P1
取轮I，画受力图.
FAx Fr 0
Fix 0
'
解得 FAx 3.64P1
Fiy 0
FAy F P1 0 '
解得
FAy 9P1
MA 0
解得
M F' r 0 M 10P1r
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
其中
d
M O
F
R
M Fd
o
R
合力矩定理
M (F ) oR
M O
M
O
(
F i
)
FR FR FR (3 3)
若为O1点，如何?