Green's function

( un u ) | f (), (2) 对应于 ( 2 )G (r , r ') 4 (r r ') (3) ( un u ) | 0 (4)
作算符运算： [G(r , r ') Eq.(1) u(r ) Eq.(3)]dr 得
3. Green 函数的对称性： 若算子 L 是厄米的，则由 L 产生的 G 有 G *(r , r ') G (r ', r ) ,特别地，对于实变 Green 函数， G (r , r ') G (r ', r ).
2 ( )G (r , r ') (r r ').......(1) 1）Helmholtz 方程， ' ( Gn G ') | 0......................(2)
u (r ') G (r , r ') (r )dr

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u (r )


G (r ) d . n
2）第二类边界条件： 1, 0, un | f (), Gn | 0
u (r ') G (r , r ') (r )dr

4
G (r '', r ') G (r ', r '') ，而左端 [G(r , r '')2G(r , r ') G(r , r ')2G(r , r '')]dr 。利用

' '' Green 公式，上式变为 (G '' Gn G ' Gn )d 0 [因为（2）和（4）的行列式为
' 总之， u ( r ) G ( r , r ') (r ')dr 1 4 G (r , r ')


u (r ') G (r , r ') u (r ') 的物 d n n
理意义：点源 r ' 产生的势传播到 r 的 G (r , r ') ,再对整体求和，加上边界条件产 生的势，总和为 r 处的势分布。 4. Green 函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1) （有）无界区域 Green 函数----基本解 G0 (r , r ') a.无界： LG (r r '). 设解为 G0 (r , r ') （详解见下） ，则基本解 G0 (r , r ') 为 有限形式，且中心对称（ | r r ' | ）以及关于 r r ' 发散。 （奇异性与 维度 D 有关） b.有界： G G0 G1 , LG0 (r r ') 和 L G1 0, G1 | G0 | G0 (, r ') 。 因为基本解 G0 有奇异性，所以直接影响分布。点源 r ' 通过边界 ， i.e.， G0 (, r ') 对 r 的分布有直接影响。
L G (r , r ') (r r '), L G ( r r '), 0 L G1 0, 例如： G | f (). G1 | f (). G0 | 0;

2). L(G G) 0.
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示
解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的 Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值 Green 函数： G (r , r ') 源函数 初始值 Green 函数： G (r , t , r ', t ') 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性： G(r , r ') G(r ', r ) 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性： G(r , t , r ', t ') G(r ', t ', r , t ) . 3）存在的必要条件：设方程 (2 )G(r , r ') (r r ') ，若λ是对应齐次方程 的本征值，即 2 和附加齐次边界条件，则 G (r , r ') 不存在（既有点 源又无流，物理上自相矛盾！ ） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 G G ) | 0. 1）齐次边值条件： ( n 2） G |r 0 有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求 G (r , r ') 2）利用迭加原理给出待求解 u (r ) 的积分形式


{G (r , r '') L G(r , r ') G(r , r ')[ L G(r , r ')] }dr 0 ，(因为 L




的厄米性)。
故 G (r ', r '') G(r '', r '), or G G. 推论， (G )* G; G(r , r ') G(r ', r ) ，如果 G 为实变函数。
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G (r , r ')


u (r ) G (r , r ') u (r ) d （5） n n
在 G (r , r ') 已知的前提下，解（5）也不是 u (r ) 用 G (r , r ') 表示的最后形式。这是因 为 u(r ), un (r ) 在边界 上还未知（最多知道他们在 的线性组合） 。幸好 G (r , r ') 的 边界条件尚没有给定；只要选定 G 的边界条件为齐次，则 u(r ), un (r ) 或者其线性 组合就可为已知的边界条件，从而最后确定 u (r ). 例如： 1）第一类边界条件： 0, 1, u | f (), G | 0
3
和（4） ，这是因为即使在边界条件完全相同的情况下， 0 （无源问题）而方 程（3）的源为 (r r '). 在此情况下，第三类边界条件中 G 无解（不过可适当修 改 Green 函数的意义） 。 3. Green 函数的物理意义 以 为边界的区域 ，既无论原方程是否齐次（即 内有、无源） ，又无论原 边界条件是否齐次（即 上有、无源） ，Green 函数总是定义在 内除一点以外方 程的非齐次项处处为零（问题本身总要有非齐次项，如源于边界条件）且相应的边 界条件也是齐次的定解问题的解。因此 Green 函数是“点源影响函数” 或者 “作 用的传播函数” 。 对于所讨论的线性方程而言， 一旦知道了相应问题的 Green 函数， 只要再做两个积分， 把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响 线性迭加起来，便给出原问题的解。这是线性迭加原理的最成功应用。齐次方程的 本征值问题的本征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的 Green 函数。
14.2 Green 函数的性质
1. Green 函数由线性算子 L 和边界、初始条件决定：

LG(r , t; r ', t ') (r r ') (t t ') ，加上齐次边界、初始条件。
2. Green 函数的叠加性 1） G G0 G1 非齐次方程特解（ ）+齐次方程通解（ =0） 。
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6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法： 2G (r r ') G
1 .。 | r r '|
2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变化法：LT，FT。 5) 形式解：算子运算。

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G(r , r ') f () d

这些形式解的前提是 G 要已知或者可求出。实际问题中， G 可能就不存在。例 如在第二类边界条件中， [Possion Equation, 点源存在， 但边界 “流” 0 的问题， 为零，物理上不通（即产生又绝缘，矛盾） ，数学上无解]。 再例如， 但没有相对应的方程 （3） (2 )u 0, ( un u) | 0 构成本征值问题，


( 2 )G (r , r '') (r r ''),...(3) '' ( Gn G '') | 0....................(4)
作 (G(r , r '') Eq.(1) G(r , r ') Eq.(3))dr ，则方程右端变为
14.1 Green 函数与偏微分方程
1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上， 点源在一定物理条件下产生的场。 这种解 （场） 在时空中的分布与传播。 例1， Possion Equation:
2u 4 (r ), 2G (r , r ') 4 (r r '), u | 0. G | 0. 1 G (r , r ') , u (r ) G (r , r ') (r ')dr ' | r r '|
零]。 故： G (r ', r '') G (r '', r ') 。 2）Green Equation L G (r , r ') (r r ')...............(1) ' ( Gn G ') | 0......................(2)
基本解---无界空间 Green 函数的叠加。 例 2，Helmholtz Equation：
( 2 )u 4 (r ), ( 2 )G(r , r ') 4 ( r r '), u | 0. G | 0. u (r ) G (r , r ') (r ')dr '(see below for the solution,G (r , r ') : Field ; (r ') : Source).
[ L G (r , r '')] [ (r r '')] (r r '').....(3) '' ( Gn G '') | 0.........................................(4)
作 [G (r , r '')(1) G(r , r ')(3)]dr ，则方程右端变为 G(r '', r ') G (r ', r '') ，而左端

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G (r , r ')


u (r ) d . n
3）第三类边界条件： , 0, Taking G(2) u(4), (Gun uGn ) | Gf () 得到： u (r ') G(r , r ') (r )dr
在含时 Green 函数 G (r , t ; r ', t ') 中，为方便计， 我们将它简记为 G (r , r ').
2
2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求 G ） 设定解问题， ( 2 )u 4 ( r ), (1)

[G(r , r ') u(r ) u(r ) G(r , r ')]dr 4 [G(r , r ') u(r ) ]dr
2 2
对上式左边利用 Green 公式得： (Gun uGn )d

故有形式解 u (r ') G (r , r ') (r )dr
例 3， 波动方程，
2 2 2 2 a u (r , t ), t u | 0, u |t 0, ut |t 0. 2 2 a 2 2 G (r , t ; r ', t ') (r r ') (t t '), t G | 0, G |t 0, Gt |t 0.