贝塞尔方程的求解

常微分方程论文
题目: 贝塞尔方程的求解
姓名: 任佳菁
专业: 数学与应用数学
学院: 初阳学院
年级: 2007 学号: 07990206 论文完成时间: 2009 年 12 月30 日
贝塞尔方程的求解
摘要：本文在教材《常微分方程》中关于贝塞尔（Bessel ）方程解法介绍的基础上，探讨了n 阶贝塞尔方程的解法，同时得到了一种针对零阶贝塞尔方程的简便解法。

关键词：n 阶贝塞尔方程 零阶贝塞尔方程 解法
一、 ｎ阶贝塞尔方程的求解
ｎ阶贝塞尔方程的形式为
2"'22()0x y xy x n y ++-= （1.1） 式中ｎ为非负实数,称为贝塞尔方程的阶。

由高等教育出版社《常微分方程》第三版第4.3节定理11知，方程（1.1）有形如0k k k y a x α∞
+==∑的解，将其代入（1.1）得
2
2
1
2
20
()(1)()()0k k k k
k k k k k x
k k a x
x k a x
x n a x αααααα∞
∞
∞
+-+-+===++-+++-=∑∑∑，
左边合并ｘ的同次幂项得
2
20
[()(1)())]0k
k k
k k k k k k n a x
a x ααααα∞
∞
++-==++-++-+=∑∑，
令各项的系数等于0，得一系列的代数方程：
22022
122
20222[]0[(1)]0[(2)]0
1.2[()]0,2,3,k k a n a n a n a a k n a k αααα-⎧-=⎪+-=⎪⎪+-+=⎨⎪⎪
⎪+-+==⎩ （）………
因a 不等于0，从(1.2)的第一个方程解得α的两个值=n α和=-n α。

分两种情况考虑。

1.1先考虑=n α时方程(l.1)的一个特解
将=n α代入(1.2)的第二式，得1(21)0a n +=，而0n ≥，从而得10a =。

再将n α=逐次代入（1.2）的各式，一般地得
2[(2)]0,2,3,k k a k n k a k -++==…
故有
2
(2)k k a a k n k -=+－
从而求得
210
222
4430
660,1,2,,
21(1)
(1),
22!(1)(2)
(1),
23!(1)(2)(3)k a k a a n a a n n a a n n n -===-
⋅+=-⋅⋅++=-⋅⋅+++… 一般的
22(1),1,2,2!(1)(2)()k
k k
a a k k n n n k =-=⋅⋅+++……
将各2k a 代入0
k k k y a x α∞
+==∑得到方程(1.1)的一个解
20
1021
(1)2!(1)(2)()
n
k
k n k
k a y a x x k n n n k ∞
+==+-⋅⋅+++∑…， （1.3） 不妨令01
2(1)
n a n =
Γ+,其中()s Γ定义如下：
当s>0时，10
()s x s x e dx +∞--Γ=⎰；
当s<0且非整数时，由递推公式1
()(1)s s s
Γ=Γ+定义。

()s Γ具有性质
(1)()s s s Γ+=Γ；(1)!n n Γ+=，n 为正整数。

故（1.3）可变为211(1)()!
(1)(2)()(1)2k k n k x
y k n n n k n ∞
+=-=⋅+++Γ+∑
…， 注意到Γ函数的性质，即有（1.1）的一个特解为
21
1(1)()()!(1)2k k n n k x J x y k n k ∞
+=-==⋅Γ++∑。

1.2再考虑n α=-时方程（1.1）的另一个特解
将n α=-代入（1.2）的第二式得1(12)0a n -=，当21n ≠时，有10a =。

再将
n α=-逐次代入（1.2）的各式，一般地得
2[(2)]0 2,3,k k a k k n a k --+==…
当约定10a -=，则有
2(2)0 1,2,3,k k k k n a a k --+==… （1.4） 分下面两种情况考虑
1.2.1当2n 不等于非负整数时
从（1.4）解得
2
1,2,3(2)k k a a k k n k -=
=-+…
，
按下脚标的奇偶性分为
21212222
22(21)(221) 1,2,2(22)2()k k k k k a a k n k k a a a k n k k n k -+---⎧
=⎪+-++⎪
=⎨
--⎪==⎪-+-+⎩…
由10a =求得210 1,2,k a k +==… 也得2
00224
, (1)21(1)22!(1)(2)
k a a a a n n n -=
=-⋅-+⋅-+-+… 一般地我们得到
22(1) 1,2,2!(1)(2)k
k k a a k k n n n k =-=⋅-+-++,
…(-)
将k a 代入0
k k k y a x α∞
+==∑，得到方程（1.1）的一个解
20
2021
(1)2!(1)(2)()n
k
k n
k
k a y a x x k n n n k ∞
--==+-⋅⋅-+-+-+∑…
我们令01
2(1)
n
a n -=
Γ-+。

则有 2221
1(1)2(1)2!(1)(2)()(1)k n n k
n k n k x y x n k n n n k n -∞
---==+-Γ-+⋅-+-++-+Γ-+∑…
由Γ函数的性质(1)()n n n Γ+=Γ且合并有
220(1)()()
!(1)2k k n n k x
y J x k n k ∞
--=-==Γ-++∑
称为n -阶贝塞尔函数，是方程的另一个特解。

利用达朗贝尔判别法，可以验证1y 与2y ，即()n J x 与()(0)n J x x -≠都是收敛的。

因此当2n 不等于非负整数时，()n J x 与()n J x -都是方程（1.1）的解且线性无关，因为它们可展为由x 的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。

于是方程（1.1）的通解：在2n 不等于非负整数时为12()()n n y c J x c J x -=+，这里1c 与2c 是任意常数。

1.2.2当2n 等于非负整数时 （i ）2n=2m+1是奇数
这时，由（1.4）知，当k 取到偶数时，k a 的系数(2)0k k n -≠。

因此与1.2.1一样可以确定k a 。

当k 取到奇数时，若212k m n <+=，则k a 的系数为(2)0k k n -≠，则13210m a a a -====…。

若212k m n ≥+=，则由（1.4）得知21m a +的系数为零，且有
21212321(21)(221)0(23)(223)0m m m m m n m a a m n m a a +-+++-+++=+-+++=…………
注意到210m a -=，因此，只要令210m a +=，则仍有23250m m a a ++===…。

所以当2n 为奇数时，对应于n α=-仍可得到()n J x -且表达式一样，但讨论过程与1.1很不一样。

（ii ）2n 等于偶数，即n 为非负整数
用待定系数法得不到与()n J x 线性无关的解，但可用降阶法求得与()n J x 线性无关的解。

综上所述，当n 不等于非负整数时方程（1.1）有两个幂级数解()n J x 与()n J x -且线性无关，故通解为
12()()n n y c J x c J x -=+。

二、 零阶贝塞尔方程的求解 2.1问题的提出
对于零阶Bessel 方程的求解，通常的作法(也是一般微分方程教科书所采用的通用解法)是利用幂级数解法，可求得其对一切x 值一致且绝对收敛的解
2420222222
()122424n n
x x x J x =-+++⋅⋅…+(－1) …(2n)
(2.1)
多数人都觉得这已经达到了数学上的完美，令人满意了。

但是，若我们进一步深思，就会发现x 收敛的很快，在实际计算中很方便，可是当x 值越大时，此解收敛得就越慢。

这也就是说，对于较大的x 值，要求得满足一定精度要求的数值解，计算量是相当大的。

因此，当x 较大时，幂级数解就不实用了。

本文试图用其它方法来寻求一个当x 较大时更便于实际计算的解的公式。

2.2问题的解决
考察零阶Bessel 方程
220d y dy
x xy dx dx
++= (2.2)
做变量代换12
1y x y -
=，方程（2.2）化为
211221
(1)04d y y dx x ++= （2.3）
当x →∞时，方程趋向于21
120d y y dx
+=，此方程有解为1ix y e ±=。

故对方程（2.3）做进一步的变量置换12ix y e y =⋅，则方程化为
2222221
204d y dy i y dx dx x
++= （2.4）
则方程（2.4）有形如20
n n n y c x ∞
-==∑的解，代入方程（2.4）得
2
1
20
1(1)204n n n n
n n n n n n n c x
i nc x
c x ∞
∞
∞
------===+-+=∑∑∑ 其中第二个合式中用n+1代替n 并合并化简得
2
210
1[()2(1)]02n n n n n c i n c x ∞
--+=+-+=∑， 这是一个恒等式，对一切x 均成立，所以各项系数均为零，即
2
11
()22(1)n
n c n c i
n ++=-+。

取01c =，得222222
12342
341131351357,,,,882!83!84!
c i c c i c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-==⋅⋅⋅…，
故得解
222222
2223344
11313513571882!83!84!y i i x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--+++→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅…() （2.5）
在（2.5）中以i -代替i 得
222222
2223344
11313513571882!83!84!y i i x x x x x
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--++→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅…() 故方程（2.2）当x →∞时被
1
1222222
2
2
2223344
1131351357(1882!83!84!ix
ix
y e x y e x i i x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=--+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅…)
1
1222222
22
2223344
1131351357(1882!83!84!ix
ix
y e x y e x i i x x x x
-
-
--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=+--++⋅⋅⋅⋅⋅⋅…) 形式的满足。

这两式右端虽对一切x 值发散,但是对于固定的n ，当x →∞时，由于
2
11()()2lim lim 0()2(1)n x x n
n x x n x ϕϕ+→∞→∞+==+， 所以上两式均是渐进展开式，为了得到方程（2.2）的实数解，由齐次线性方
程组的叠加原理得，
1
112
2
2
222212222
212222
2233
[(cos sin )(cos sin )]
222
[cos sin ]
22113135 [(cos sin )(cos sin )]
882!83!ix
ix
e x y e x y x x i x y x i x y y y Y y y y y x x i x x x x x x x x x ------⋅⋅+⋅⋅++-+=
==+-=+⋅⋅⋅=+-++⋅⋅⋅⋅… 也为方程（2.2）的解。

当x 较大时，此表达式比幂级数解的表达式运算量小得多。

例如，当x=4时，要给出三位有效数字的解，用幂级数解的公式计算需要取八项，而本公式的首项就达到了同样的精确度。

当x 进一步增大时，要得到同样精度的结果，本公式比幂级数解的工作量就小得更多。

参考文献
[1] 赵新俊,关于零阶Bessel方程的求解,兵团教育学院学报,1999年第3期;
[2] 李自生,关于Bessel方程幂级数解法的注记,张家口师范专科学校学报,2001年第6期;
[3] 黄银生,倪致祥,贝塞尔方程通解的一个简明推求,阜阳师范学院学报(自然科学
版),2009年第2期;
[4] 常安定,左大海,非齐次贝塞尔方程的解,纺织高校基础科学学报,2000年第3期;
[5] 王致华,变形贝塞尔方程的新解法,陕西工学院学报,1992年第2期;
[6] 王高雄，朱思铭等,常微分方程,高等教育出版社第三版,2006年6月;
论文完成时间:2009年12月30日。