高等数学第一章总结

高等数学

多元函数微分法

及其应用学习总结

一．知识结构图

多元函数微分学：

● 基本概念（区域.定义.极限.连续） ● 偏导数（定义.计算.高阶偏导数）

● 全微分（定义.计算.必要条件.充分条件） ● 多元复合函数导数（链式法则.全导数） ● 隐函数求导法则（一个方程.方程组）

● 多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面） ● 方向导数及其梯度

●

多元函数最值及其求法

二．内容提要

1) 二次极限定义： 设f （x ，y ）的区域D 内有定义，p

(0x ,0y )是D 的聚点，若ε∀>0，0>∃δ，

当点P(x,y)满足<0|p 0p |<δ时，总有ε<-A y x f ),(成立，则称函数),(y x f 当（x ，y ）趋向),(00y x 时以A 为极限，记作

A y x f o

y y x x =→→),(lim

,0或

A y x f y x y x =→),(lim

)

,(),(00.

2） 二元函数连续性定义

设函数),(y x f Z =在点),(000y x p 的某个邻域),(0δP U 内有定义，若

),(),(00,lim

0y x f y x f y y x x =→→，则称二元函数),(y x f Z =在点),(000y x p 处连续，点

),(000y x p 称为),(y x f 的连续点。

设函数),(y x f Z =在点),(000y x p 的某个邻域),(0δP U 内有定义，分别给自变量x,y 在00,y x 处以增量△X,△y,得到全增量△Z=),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+。如果极限

0lim

,0=∆→∆→∆Z y x ,则称),(y x f Z =在),(000y x p 处连续。

3） 偏函数几何意义

如果函数),(y x f Z =的偏导数),(00'y x f x 为曲面),(y x f Z =与平面0y y =的交线在点),(000y x p 处关于x 轴的斜率；),(00'y x f

y

为曲面),(y x f Z =与平面0y y =的交

线在点),(000y x p 处关于y 轴的斜率。

4）偏导函数

如果函数),(y x f Z =在区域D 内任一点都存在偏导数，则称函数),(y x f Z =在D 内可导，这个新的函数关系式称为),(y x f Z =的偏导函数，记作

x

f

x z ∂∂∂∂,或,('y x f

x

。

5）偏导数计算

a.

求

),('y x f

x

时，

只要把),(y x f Z =中的y 固定（看作常数），仅对x 求导；求),('y x f y 时只要把),(y x f Z =中的x 固定（看作常数），仅对y 求导。 b.

),('y x f

x

是一元函数),(y x f Z =在0x 处的导数，),('y x f y 是一元函数在0y 的导数，

所以偏导数实际仍是一元函数的求导问题。

6）高阶偏导数

定义：设函数),(y x f Z =在区域D 内有偏导数),(),,(''

y x f y

z y x f X Z y x =∂∂=∂∂，如果在D 内

),('y x f

x

，),('y x f y 仍可导，则称他们是偏导数),(y x f Z =的二阶偏导数，分

别是),()('

'22y x f x z x x z xx =∂∂∂∂=

∂∂ ),()('

'22y x f y

z y y z yy =∂∂∂∂=∂∂ ),()(''2y x f x z y y x z xy =∂∂∂∂=∂∂∂ ),()('

'2y x f y

z x x y z yx =∂∂∂∂=∂∂∂ 其中),(''y x f xy ，),(''y x f yx 称为,(y x f Z =的二阶混合偏导数。以此类推，可以定义

三阶和三阶以上的偏导数。

7）微分定义

dy y x f dx y x f dz y x ),(),(00'

00'+=

8）可微的必要条件

若函数),(y x f Z =在（x ，y ）处可微分，则),(y x f Z =在点（x ，y ）处必

可导，且全微分

dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=

9）可微的充分条件

若函数),(y x f Z =在（x ，y ）处的偏导数存在且连续，则),(y x f Z =在点（x ，y ）处必可微。

10）方向导数和梯度

若函数),(y x f Z =在点),(000y x p 的某个领域内有定义，自点),(00y x 引射线L ，设x 轴正向到射线L 的转角为α，y 轴正向到射线L 的转角为β。该邻域中的另一点),(001y y x x p ∆+∆+在L 上，当1p 沿L 趋向于0p 时，极限

ρ

ρρ)

,(),(lim

00000

y x f y y x x f -∆+∆+→存在，则称此函数极限值为函数

),(y x f Z =在点),(000y x p 处沿L 的方向导数，记作

l

z

∂∂，即l

z

∂∂=ρρρ),(),(lim 00000y x f y y x x f -∆+∆+→。 若函数),(y x f Z =在点),(000y x p 可微分，则

l z ∂∂=x

z

∂∂cos α+y z ∂∂cos β。

设函数),(y x f Z =在点),(y x p 可微分，则称向量j y

z i x z ∂∂+∂∂为),(y x f Z = 在),(y x p 处的梯度，记作grad ),(y x f ，即 grad ),(y x f =

j y z i x z ∂∂+∂∂=⎭

⎬⎫∂∂⎩⎨⎧∂∂y z x z , 梯度的方向是函数),(y x f Z =在点),(y x p 处方向导数取得最大值的方向，梯度的模),(y x gradf 即为方向导数的最大值。