高等数学上：1-6 极限存在准则 两个重要极限

e
由两边夹准则得 lim (1 1 )x e
x
x
证 (3) lim (1 1 )x e.
x
x
令x (t 1), 则x 时, t
lim
x
1
1 x
x
lim
t
1
t
1
1
(Hale Waihona Puke Baidu 1)
lim t
t
t (t 1) 1
综上有 :
(1)lim(1 1 )n e;
lim
t
1
1 t
1
若 lim f ( x) 0且 f ( x) 0，则 lim1 f ( x) f (x) e.
例6 求 (1) lim(1 1 )2x x 3x
解.原式 lim[(1
1
2x
)3x ]3x
x
3x
2
e3
(2) lim( x 3)3x x x 1
解 原式 lim[(1
e 2 x1 2 3 x
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
0
x
2
x
cos x sin x 1 x
0
x
2
O
cos x sin x 1 x
0
x
x0
2
(2)证 lim cos x 1 x0
BD C A x>
事实上 sin x x(0 x )且 x sin x( x 0).
2
2
所以
sin x
xn
1
1 n
n
1
n
(1 1 ) n
n1
1
n1
xn1
{xn }
xn
1
1 n
n
,
yn
1
1 n
n1
1 yn
n n
1
n1
1
(n
1) n
n
n
2
1
1
n
2
1 yn1
{ yn } , 2 x1 xn yn y1 4
由单调有界准则知
lim
n
xn存在,
为
e.
且 1
1 n
n
sin f ( x)
lim
1.
f (x)
(2) "1型"： 用单调有界证明了 lim(1 1 )n e
从而可得，lim(1
1
x)x
n
lim(1 1 )y
n e
x0
y
y
一般地,
1
若 lim f ( x) 0且 f ( x) 0，则 lim1 f ( x) f (x) e.
t
1
1 t
e
n
n
(2) lim (1 1 )x e; (3) lim (1 1 )x e.
x
x
x
x
lim(1 1 )x e.
x
x
1
例5 证明 : lim(1 x) x e.
x0
证. 令x 1 , x 0 y
y
lim(1
1
x)x
lim(1
1)y
e.
x0
y
y
注： 一般地，有以下结论：
x
0
x
x0
2
.
由此可得 lim sin x 0.
由
x0
0 1 cos x
2 sin2
x
2( x )2
x2
可得
lim cos x 1.
22 2
x0
所以由两边夹准则知
sin lim
x
1.
x0 x
注： 一般地，有以下结论：
若
lim f ( x) 0且
f ( x) 0，则
sin f ( x)
e
1
1 n
n1
注. e 2.718
证(2) lim (1 1 )x e
x
x
记 [ x]
n,
则
n
x
n 1,有1
1 n n 1
1
1 x
x
1
1 n
n1
而
lim
x
1
1 n
1
n
lim
n
1
1 n1
1 1
n1
e
n1
lim
x
1
1 n
n1
lim
n
1
1 n
n
1
1 n
) 2 ]x1
6
x
x1
1
(3) lim(cos x) x2 x0 1 cos x1
解 原式 lim{[1 (cos x 1)]cos x1 } x2 x0
1
e 2
总结 : (1) " 0 型"：用两边夹证明了 lim sin x 1
0
x0 x
一般地,
若
lim f ( x) 0且
f ( x) 0，则
证. 0,
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a
N1 当n N1时 yn a
N2 当n N2时 zn a
0,N maxN1, N2,当n N时
a yn xn zn a
即 xn a
lim n
xn
a.
例1 求
lim(
n
1 n2
1
2 n2
2
n
n2
). n
1 cos
lim
x0
x2
x
lim
x0
2 sin2 x2
x 2
1
lim
sin2
x 2
2 x0 ( x )2
2
1 2
lim x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
二. 单调有界准则: 单调有界数列必有极限.
定义:
若x1 x2 若x1 x2
xn xn
, ,
则称 则称
xn xn
单调递减 单调递增
定理2
若（1）g( x) f ( x) h( x) x U 0( x0 ) (or : x X ) (2)lim g( x) A lim h( x) A
则 lim f (x) A
例2 证明: lim sin x 1.
x0 x
y
证 (1)由S三角形OAB S扇形OAB S三角形OAD
统称
"单调数列"
.
例4 证 : (1)lim(1 1 )n e; (2) lim (1 1 )x e;
n
n
x
x
(3) lim (1 1 )x e.
x
x
证 : (1) 设
xn
1
1 n
n
,
yn
1
1 n
n1
由几何平均值不超过算术平均值知
a1a2
an1
a1
a2 n1
an1
n1
(ai 0)
第六节. 极限存在准则 两个重要极限
一 两边夹准则 二 单调有界准则
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )n e
n
n
一. 两边夹准则
定理1: 数列xn . yn .zn满足 (1) yn xn zn , (n 1.2. )
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a
则
lim
n
xn
a
lim
1.
f (x)
例3 lim sin 5x lim sin 5x 5x 5lim sin 5x lim x 5 x0 sin x x0 5x sin x x0 5x x0 sin x
lim tan x lim(sin x 1 ) lim sin x lim 1 1
x0 x
x0 x cos x x0 x x0 cos x