图像形态学计算--图解及算法

6. 灰度图象的形态学运算

与卷积、中值滤波的比较（邻域运算）图象1,0),,(-≤≤N y x y x I 模板m j i j i T ≤≤,0),,(，

1．卷积（相关）：加权平均（反折、移动、加权平均）),(j i T 可取任意数。

[]∑∑==⋅±±==m i m

j j i T j y i x I y x T I y x C 00

),(),(),)(*(),(

2．中值滤波：比较选择（移动、排队、选中）

T i j (,)=⎧⎨⎩10 I x i y j (,)++参与排队

不参与排队

M x y Median Sort I x i y j T i j T i j （,)((,))(,)(,)=++⎡

⎣⎢⎤⎦⎥==11

3. 二值形态学

I(x,y), T(i,j)为 0/1图象Θ

腐蚀[]),(&),(),)((),(0,j i T j y i x I AND y x T I y x E m

j i ++=Θ==

[]),(&),(),)((),(0,j i T j y i x I OR y x T I y x D m

j i ++=⊕==

4． 灰度形态学 T(i,j)可取10以外的值

腐蚀：[]),(),(min ),)((),(1,0j i T j y i x I y x T I y x E m j i -++=Θ=-≤≤

膨胀：[]),(),(max ),)((),(1,0j i T j y i x I y x T I y x D m j i +++=⊕=-≤≤

6 形态学

问题1 木匠活

问题2 豆子和苹果

不同大小颗粒数目

概念：（集合）

对象（Object ）X ；结构元素（Structure Element ）：B

关系：

X B ⊂ X B ↑ C X B ⊂

包含于 include in 击中hit 击不中miss

φ≠⋂X B φ=⋂X B

平移 {}y x U B B y x +=∈

对称集{}y U B B y -=∈∨

形态运算（p94~106,p160~165）

problems: 平滑凸起和凹陷

Object X

Structure element 1B 2B

1．腐蚀Erosion:

{}x B x B X x ⊂=Θ:

剥去一层（皮）：1B 删两边 2B 删右上

2．膨胀Dilation:

添上一层（漆）：1B 补两边 2B 补左下

{}X B x B X x ↑⊕:＝

对偶关系

)()(B X B X C C Θ=⊕

用途？

自学：

（1）对偶性)()(B X B X C C Θ=⊕

（2）B 对称性：∨

⊕=⊕B X B X

B 不对称性： ∨⊕≠⊕B X B X

（3）B X ⊕和X B ⊕的关系

（4）)()(21?21B B X B B X +Θ=ΘΘ

如何计算B X Θ？ j)y i,I(x &j)B(i, ),(++=AND y x E 或

j)y i,j)I(x B(i,),(j

i,++=∑y x S

⎩⎨⎧=<=M y)S(x,

1M y)S(x, 0),(y x E M 为j)B(i,的点数。

● 腐蚀运算

{}B X X B x X E x Θ=⊂=:)(

腐蚀运算也可以用平移X 来说明

∨∈∈-==ΘB y y B y y X X B X

[证]

{}X B x B X x x ⊆=Θ∈:x 若在B X Θ中，则对所有B y ∈都有x B 在X 中 X y x B y ∈+∈∀⇔, 对B 中任意点y ，平移x 后仍在X 中 y X x B y -∈∈∀⇔, X B y ,∈∀平移y -后要满足y X x -∈ ∨∈∈-∈⇔∈⇔B y y B y y X x X x y X -是X 平移y -后的结果 ● 膨胀运算

{}{}φ≠⋂=↑=⊕=∆

X B x X B x B X X D x x ::)(

用X 的平移来说明B X ⊕ {}{})(::''y x x x X B x B X X x B y x +=∃∃=↑=⊕∈∈

B

y y X ∈=

上式表示B X ⊕是所有满足以下条件的点'x 的集合:在B 中存在一点y ,而且在X 中

存在一点x ，使得y x x +='.

在腐蚀和膨胀运算中存在对偶原理，即

C C B X B X )(Θ=⊕

证： 上式右边等于

{}c c

x c c X B x B x ⊆=Θ':)('

{}c x X B x ⊄=':'

{}0

|''≠⋂=X B x x {})(|'

'y x x x X x B y +=∃∃=∈∈

= B X ⊕

3．开open ：B B X ⊕Θ=)(X B ？

1B 去掉小刺，但未去掉小桥 2B ：有位移

· —— 最终结果的象素； o —— 原始的象素，但已不在最终的结果中， ∨

⊕Θ=B B X )(X B 则可消除位移

1B 去掉小刺，但未去掉小桥 2B ：去掉小刺，和小桥

· —— 最终结果的象素； o —— 原始的象素，但已不在最终的结果中，

4．闭close ：∨Θ⊕=B B X X B )(

1B : 保持了小刺，填满了小桥，2B : 保持了小刺，填满了小桥,

· —— 最终结果与原始象素相重的位置； o —— 最终结果，但原始无象素的位置；

—— 中间结果的象素位置

自学：

（1）对偶性：B C C B X X )()(=

（2）B B X B B X ⊕Θ=⊕Θ∨

∨)()(?

（3）B B X B B X Θ⊕=Θ⊕∨

∨)()(?

（4）B B X X X ⊆⊆

（5）B B B X X ⊆)(

等幂性：用B 开X 已删去能去掉的小桥、小刺，再做一次B X 不会变。

5．颗粒分布函数 0B) ()

()()()1(≥-=+λλλλB X A X A f B B

B ：半径为1的结构元素

λB ：半径为λ的结构元素

B) ,(λλX OPEN X B =去掉半径 <λB 的颗粒