钢琴销售的存贮策略

该存贮策略（第n周）失去销售机会的概率为
P(Dn Sn )
依全概率公式有
3
P(Dn Sn ) P(Dn i Sn i)P(Sn i) i 1
i 1,2,3
当n充分大时，可认为 P(Sn i) wi
最终得到
P(Dn Sn ) P(D 1)w1 P(D 2)w2 P(D 3)w3
12.2 钢琴销售的存贮策略
主讲人：徐旭 、李娅丹、张春艳
问题与背景
钢琴销售量很小，商店的库存量小以免积压资 金.这里通过一个简单的实例来分析，评价一种存 贮策略的效果。
一家商店依据经验估计，平均每周只能售出一 架钢琴.
存贮策略:每周末检查库存量，仅当库存量为零
时，才订购3架供下周销售；否则，不订购.
Dn 0
1
2
3
>3
P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019
状态转移阵
p11 p12 p13
P
p21
p22
p23
p31 p32 p33
0.368 0 0.632 0.368 0.368 0.264
0.184 0.368 0.448
p11 P(Sn1 1Sn 1) P(Dn 0) 0.368
试估计在Hale Waihona Puke Baidu种策略下失去销售机会的可能性有
多大？以及每周的平均销售量是多少？
问题分析
➢ 顾客到来相互独立，需求量近似服从泊松分布， 其参数可由均值为每周销售一架得到，由此计算 需求概率.
➢ 存贮策略是 周末库存量为零时订购3架，而周末 的库存可能是0，1，2，3（架），周初的则为1， 2，3这3 种状态.
根据定理1
正则 N , PN 0 P 是正则链
所以链具有稳态概率分布 w 满足 wP=w，依公式得 w (w1, w2 , w3 ) (0.285,0.263,0.452 )
n, 状态概率 a(n) (0.285,0.263,0.452)
模型求解
1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性
敏感性分析
当平均需求在每周1 (架) 附近波动时，最终结果有多
大变化.
设Dn服从均值为的泊松分布，即有
P(Dn k) ke / k!, (k 0,1,2 )
e
0
1 e
状态转移阵为
P
e
e
1 (1 )e
2e / 2
e
1
(
2
/
2)e
对于不同的平均需求（在1附近),计算过程与上面类似.
p12 P(Sn1 2 Sn 1) 0
p13 P(Sn1 3 Sn 1) P(Dn 1) 0.632
……
p33 P(Sn1 3Sn 3) P(Dn 0) P(Dn 3) 0.448
记状态概率 ai (n) P(Sn i), i 1,2,3
状态概率向量 a(n)
根据假设3 a(n 1) a(n)P
[ jP(Dn j Sn i) iP(Dn i Sn i)]P(Sn i) i1 j 1
当n充分大时可用 P(Sn i) wi 得到
Rn 0.6320.285 0.8960.263 0.9770.452 0.857
即从长期看，每周的平均销售量为 0.857架.
思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ?
0.2640.285 0.0800.263 0.0190.452 0.105 即从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%.
2.估计这种策略下(第n周)的平均销售量 Rn
注意，当需求超过库存量时，只能销售掉存量，故
3i
Rn [ jP(Dn j, Sn i) iP(Dn i, Sn i)] i1 j1 3i
➢ 用马氏链描述每周不同需求导致的周初库存状态 的变化.
➢ 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需 求超过库存）的概率不同.
➢ 可按稳态状况（时间充分长以后）计算失去销售 机会的概率和每周的平均销售量.
模型假设
1. 钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架.
2. 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初 到货；否则，不订购.
3. 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有 无后效性.
4. 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概 率和每周的平均销售量.
模型建立
Sn~第n周初库存量(状态变量 ) Sn {1,2,3}
状态转移规律
Sn1
Sn 3,
Dn
,
Dn Sn Dn Sn
Dn~第n周需求量，均值为1的泊松分布
P(Dn k) e1 / k! (k 0,1,2 )
第n周失去销售机会的概率为 可得到以下结果：
P P(Dn Sn )
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
P 0.073 0.089 0.105 0.122 0.139
即当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会 的概率将增长（或减少）约12% .
总结
• 动态随机存贮策略是马氏链的典型应用，关键之 一是在无后效性的前提下恰当地定义系统的状态 。本例中以每周初的库存量作为状态变量，但是 如果指定的存贮策略不仅与本周的销售量有关， 还要考虑上周的销售情况，那么状态变量就要扩 充，包含Sn-1和Sn相应的状态转移概率也要改变 。也就是策略和指标都有所变化。