第3章 3.1 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程①有两个相同的实数解，可知 原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公 共点．
(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程①没有实数解，可 知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的 方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次 方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． 提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
综合问题涉及的问题及解决方法 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中 涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应 用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力．此 类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系 数的关系是解答的关键．
[跟进训练]
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标
核心素养
1.通过直线与椭圆位置关系的判 1.进一步掌握椭圆的方程及其
断，培养学生的逻辑推理核心素 性质的应用，会判断直线与椭圆
养． 的位置关系．(重点)
2．通过弦长、中点弦问题及椭圆 2．能运用直线与椭圆的位置关
2．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭
圆过点1，－
23.
(1)求椭圆方程；
(2)过点－65，0作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M，N 两点， A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．
[解] (1)由题意设椭圆方程ax22＋by22＝1(a>b>0)， 由 c＝ 3，a2＝b2＋c2，代入方程b2x＋2 3＋by22＝1，
y＝kx－4 由x42＋y22＝1 ，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0. 因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点，所以 Δ＞0. 即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得 k2＜16. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝21k26＋k21，x1x2＝322kk22＋－14，
2．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为(
)
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [直线方程 y＝kx－k＋1 可化为 y－1＝k(x－1)，知直线过定点 (1,1)，因19＋14＜1，∴点(1,1)在椭圆内，故直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 相交．]
3．直线 x＋2y＝m 与椭圆x42＋y2＝1 只有一个交点，则 m 的值为(
y＝kx＋m， 联立ax22＋by22＝1， 消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程．
位置关系 相交
位置关系 相切 相离
解的个数
两__解
解的个数
一__解 无__解
Δ 的取值
Δ_>_0
Δ 的取值
Δ_＝_0 Δ_<_0
思考：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？ [提示] 根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点 P(2,1)在椭圆x42＋y92＝1 的内部．
()
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( )
(3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2＋y22＝1 相交．
()
(4)长轴是椭圆中最长的弦．
()
[提示] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求 解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 Δ＞0；在用“点差 法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
合作 探究 释疑 难
直线与椭圆的位置关系 【例 1】 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
[思路探究] 联立方程 → 消元得一元二次方程 → 利用根的判别式判断根的个数 →得出结论
[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在 x 轴上，且 a＝2，又 e＝ac＝ 22，得 c＝ 2.
由 a2－b2＝c2 得 b2＝a2－c2＝2. ∴所求椭圆的方程为x42＋y22＝1.
(2)若存在点 Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°， 则直线 QM 和源自文库QN 的斜率存在，分别设为 k1，k2. 等价于 k1＋k2＝0. 依题意，直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)．
[思路探究] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和 中点坐标公式求解．
法二：点差法． (2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
[解] (1)法一：设所求直线方程为 y－1＝k(x－2)．代入椭圆方 程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
)
A．2 2
B．± 2
C．±2 2
D．±2
x＋2y＝m， C [由x2＋4y2＝4， 消去 y 并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0.
由 Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得 m2＝8.
∴m＝±2 2.]
4．若点
A(a,1)在椭
圆x42＋
y2 2
＝1
的内部，则
a
的取值范围是
________．
(－ 2， 2) [∵点 A 在椭圆内部， ∴a42＋12＜1，∴a2＜2， ∴－ 2＜a＜ 2.]
2．弦长公式 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2x1－x22 ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k12y1－y22 ＝ 1＋k12· y1＋y22－4y1y2(k 为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)， 令 k1＋k2＝x1－y1 m＋x2－y2 m＝0， (x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0， 当 k≠0 时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
化简得，82km2－＋11＝0， 所以 m＝1. 当 k＝0 时，也成立． 所以存在点 Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.
[解] 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 y＝2x＋m， x42＋y22＝1， 消去 y，得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ①.
方程①的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ＞0，即－3 2＜m＜3 2时，方程①有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个公共 点．
1．点与椭圆的位置关系
点 点
PP(在x0，椭y圆0)与上椭⇔圆__ax_ax22_＋202_＋_byby_22＝202_＝_1_1(；a>b>0)的位置关系：
点 P 在椭圆内部⇔_ax_202_＋__by20_2<_1___；
点 P 在椭圆外部⇔_ax_202_＋__by_202>_1___.
2．直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系：
由1x62 ＋y42＝1，
得 x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0， ∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋－212· 42－4×0＝2 5.
1．本例中把条件改为“点 M(2,1)是直线 x＋2y－4＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2 是方程的两个根，于是 x1＋x2＝842kk22＋－1k. 又 M 为 AB 的中点，∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解得 k＝－12. 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 又 M(2,1)为 AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又 A，B 两点在椭圆上， 则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0.
[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝4， y1＋y2＝2.
由ax212＋by212＝1 和ax222＋by222＝1，
得4x1a－2 x2＝－2y1b－2 y2，∴k＝xy11－－xy22＝－a22b2. 又 x＋2y－4＝0 的斜率为－12，∴ba22＝14.
所以椭圆的离心率为 e＝ac＝
1－ba2＝
1－41＝
3 2.
2．把本例条件中“使弦被 M 点平分去掉”，其他条件不变，求 弦的中点 P 的轨迹方程．
[解] 设弦的中点为 P(x，y)， 两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则11xx662122 ＋＋yy442122＝＝11，.
∴2xx11－6 x2＝－2yy14－y2， 从而 kl＝xy11－－xy22＝－4yx. 又 kl＝kPM＝yx－ －12，∴－4yx＝yx－－12. 整理得 x2＋4y2－2x－4y＝0. 故轨迹方程为 x2＋4y2－2x－4y＝0.(椭圆内的部分)
综合问题的学习，提升学生的逻辑 系解决相关的弦长、中点弦问
推理、直观想象及数学运算的核心 题．(难点)
素养.
情景 导学 探新 知
大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为 d， 圆的半径为 R，则
d＞R 时⇔直线与圆相离； d＝R 时⇔直线与圆相切； d＜R 时⇔直线与圆相交． 那么直线与椭圆有几种位置关系呢？又如何来判定呢？
y2)，则 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
由aaxx222122＋ ＋bbyy212222＝＝11，，
两式作差得2x0xa12－x2＋2y0yb12－y2＝0，
即 kl＝－ba22xy00.
【例 2】 过椭圆1x62 ＋y42＝1 内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分．
(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．
[跟进训练] 1．若直线 y＝kx＋1(k∈R)与椭圆x52＋ym2＝1 恒有公共点，求实数 m 的取值范围． [解] 因为 y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆x52＋ym2＝ 1 内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以1m2≤1，即 m≥1. 当 m＝5 时，x52＋ym2＝1 不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为 5 的圆．因此，m 的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．
与椭圆有关的综合问题 【例 3】 椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)经过点 A(－2,0)，且离心 率为 22. (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 P(4,0)任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. 在 x 轴上是否存在点 Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
弦长和中点弦问题 [探究问题] 1．求弦长常用的方法有哪几种？
[提示] (1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求 出来．
(2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体 代换即可．
2．“点差法”的核心是什么？
[提示] 假设弦 l 中点为(x0，y0), 弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴yx11－ －yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－12， 即 kAB＝－12. 又直线 AB 过点 M(2,1)， 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＋2y－4＝0，