武汉大学线性代数-01 第一章.ppt

an1 an2 ann
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(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
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(4) 副对角行列式
a1n
D
a2,n1
n ( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
an1
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行列式的等价定义
a11 a12 a1n
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2
,
x2
D2 D
21 7
3
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2. 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
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§3 n 阶行列式的定义
观察二、三阶行列式，得出下面结论：
1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性
所确定。
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定义1： n! 项(1)t a1 p1 a2 p2 anpn的和
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
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一个排列的逆序数的计算方法：
设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为
t = t1 + t2 + … + tn
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例4：求排列 32514 的逆序数。
b1a22 b2
a12b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
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记
a11 a 21
a12 a 22
a11a22 a12a21
则有
b1a 22
一般地，把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。
Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!
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标准次序：标号由小到大的排列。
定义2：在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
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称 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a a 21 33 a11a23a32
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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对角线法则：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
第一章 行列式
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§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
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用消元法 (1) a22 (2) a12 得
(a11a2a2 21xa112aa2122)
x1 x2
24 8 4 16 4
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§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321
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共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6
a1 1a2 2a3 3a1 2a2 3a3 1a1 3a2 1a3 2 a1 1a2 3a3 2a1 2a2 1a3 3a1 3a2 2a3 1
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例： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8
a12b2
b1 b2
a12 a 22
,
a11b2
b1a 21
a11 a 21
b1 . b2
于是
x1
1 D
b1 b2
a12 a22
,
x2
1 D
a11 a21
b1 b2
其中 D a11 a12 a21 a22
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称
a11a 22
a
1
2
a
2
为
1
二阶行列式，记作
(1,2) 元素
a11 a12 a21 a22
D = acfh + bdeg – adeh – bcfg
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重要结论：
(1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann
0 0 ann
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(2) 下三角形行列式
a11
D
a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
行标 列标
也称为方程组的系数行列式。
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对角线法则:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
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例. 解方程组
32x1x1 2
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
( 1 )aa a a21 a22 a2n
t 1 j1 2j2
n nj
an1 an2 ann
( 1 )ta i1 1 a i22 a in n
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§5 行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
设
D
a21
a22
解： t1 0, t2 1, t3 0, t4 3, t5 1 排列的逆序数t 5
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逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
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称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
a11a 23a34a 42
a11a 23a32a 44
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例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h