2015数学建模竞赛A题:太阳影子定位技术研究
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针对问题三,题中虽然没有给出采样日期,但其整体思路与问题二是一致的。 在选取假设采样点后,将经度、纬度和日期作为变量,使用问题一中的模型求出 该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影 子长度数据进行拟合,在 MATLAB 中编程计算,得到的结果为:附件 2 中的采样 点在东经 79°,北纬 43°,采样日期为 6 月 12 日;附件 3 中的采样点在东经 107°, 北纬 28°,采样日期为 11 月 25 日。
针对问题二,首先,我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之 后进行数据标准化,消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假 设采样点,将经度、纬度作为变量,使用问题一中的模型求出该假设采样点的影 子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟 合,在 MATLAB 中编程计算,得到的最小目标函数值������ = 1.2981 × 10−7 ,该假设 采样点为东经 109°,北纬 17°(见正文图 11),其周边海南三亚市、越南沿海地 区都可以认为是采样点的可能位置。
太阳影子定位技术的研究
摘要
本文针对太阳影子定位问题,通过运用天球模型和最小二乘法,研究了直杆 太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等 参数的关系,实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。
针对问题一,在已知直杆长度的情况下,太阳影子长度和太阳高度角满足一 个确定的函数关系。因此,我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度 角。引入天球模型后,使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太 阳的运动和位置,得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时 间的函数关系,进而得到了影子长度与各参数的关系。之后,使用控制变量法分 别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这 5 个参数的变化规 律(见正文图 5、6、7、8、9)。最后,运用该模型画出了天安门广场上 3 米高的 直杆的太阳影子长度的变化曲线(见正文图 10)。
控制除日期外的其他因素不变,让日期从该年第一天到最后一天变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
图 8 影子长度随日期变化曲线
9
图中横轴表示天数(天),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随日期变化规律是:从 1 月 1 日(第 1 天)开始,
随着日期一天天地增加,影子会越来越短,直到 6 月 22 日(第 174 天)影子达 到一年中的最短,之后随着日期一天天地增加,影子会越来越长,直至 12 月 22 日(第 357 天)影子长度达到最大。然后随着日期一天天地增加,影子长度 会越来越短。 3.3.5 影子长度随杆长变化规律
影子的长度 太阳高度角 天球的北天极 天球的南天极 天球的天轴线
赤纬 时角 太阳方位角 真太阳时 北京时(东经120°的时间) 经度订正 时差
3 问题一模型的建立和求解
3.1 问题一的分析
问题一要求我们分析直杆的太阳影子长度关于各个参数的变化规律,并画出 影子长度的变化曲线。经验和常识告诉我们,物体太阳影子的长度与物体本身长 度和太阳高度角这两个因素有关。因此,针对问题一,在已知直杆长度情况下, 我们只需要建立模型分析太阳高度角的变化,进而得到影子长度的变化情况。 3.2 模型的建立 3.2.1 太阳高度角与影子长度的计算
由于地球自转和公转等因素,某地的太阳高度角与该地的经度、纬度、日期 和当天具体时间有关。为了更加确切地知道太阳高度角的变化情况,我们以地球 为中心,建立天球模型来描述太阳的运动和位置。
夏至
冬至
图 2 天球
4
延长地轴线与天球相交的两点称为天极,������������为北天极,������������为南天极,������������������������即 为天轴。在上述的天球模型中,我们假定地球不动,太阳沿着天球的黄道周而复 始地绕地球运行 [1]。
为了确定太阳在各个时刻的位置,我们使用天球模型中的天球坐标系统来表 示。在此处我们仅使用该坐标系统中的两种——地平坐标系和赤道坐标系。
将地球上的经度、纬度坐标系扩展至天球,分别可以得到赤纬圈和时圈,这 样一来就在天球上形成了我们需要的赤道坐标系,如下图所示:
������������
赤纬圈
太阳
子 午 圈
基于天球模型坐标系的引入,我们可以在赤纬坐标系和地平坐标系下进行几 何分析,得到太阳高度角的计算方法如下:
sin ℎ������ = sin ������ · sin ������ + cos ������ · cos ������ · cos Ω Ω = (������ − 12) × 15° ������ = ������������ + ������������ + ������������
其中������表示真太阳时,������������ 表示北京时(东经120°的时间),������������ 为经度订正,������������ 为时 差。
在得到太阳高度角之后,结合影子长度、直杆长度和太阳高度角三者之间的 关系,我们最终可以得到影子长度变化模型如下:
6
������ = ℎ ⁄tan ������������ sin ℎ������ = sin ������ · sin ������ +cos ������ · cos ������ · cos Ω
图 5 影子长度随纬度变化曲线
7
图中横轴表示纬度(°),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随纬度的变化规律是:从南纬 90°开始,随着纬度减
小影子长度相应减少,直至南纬 10.4°(太阳直射点),影子长度变为 0,之后影 子长度随纬度减小而增加,直至赤道为止;从赤道开始向北纬度逐渐增加,影子 长度继续增长,直至北纬 79.6°出现极夜现象,影子长度为无限大,之后纬度继 续增大则太阳高度角为负,由影子长度变化模型可知,此时影子长度为负。 3.3.2 影子长度随经度变化规律
控制除时间外的其他因素不变,让时间从 0 点到 24 点变化,使用 MATLAB 绘 制出相应的变化曲线如下:
8
图 7 影子长度随时间变化曲线
图中横轴表示时间(小时),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随时间变化规律是:一天中,早晨(6 点)和黄昏
(18 点)影长长度为无限大。而从 18 点到 6 点期间是夜晚,太阳高度角为 负,故由影子长度变化模型得出影子长度为负,但实际上夜晚影子长度应为 0;从 6 点到 18 点期间是白天,影子长度随时间增加先逐渐减短直至正午 12 点 后逐渐增加。 3.3.4 影子长度随日期变化规律
如果拍摄日期未知,你能否根据视频确定出拍摄地点与日期?
2 模型的假设与符号的约定
2.1 模型的假设与说明
(1)假设地球为一个规则的正球体; (2)文中仅考虑采样当年为平年的情况; (3)忽略大气层对太阳光线折射的影响;
2.2 符号的约定与说明 符号 ℎ
符号的意义 直杆的长度
2
������ ℎ������ ������������ ������������ ������������ ������������ δ Ω ������������ ������ ������������ ������������ ������������
以地平线为基圈建立地平坐标系,如下图所示:
5
������
子
终
午
圈
圈
ℎ������
������������
������ ′
图 4 地平坐标系
图中ℎ������表示太阳高度角,������������表示太阳方位角。我们用太阳高度角和太阳方位 角来确定太阳在天球中的位置。 3.2.3 影子长度变化模型的建立
最后,当日期未知时,我们可以在得到影子长度之后采用问题三的模型进 行求解。在 MATLAB 中编程计算,得到最优拟合结果为:东经 106°,北纬 0°附 近区域,如新加坡、印度尼西亚的坤甸和战碑。
关键字:天球模型 最小二乘法 射影几何学
1
1 问题重述
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影 子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法。
控制除经度外的其他因素不变,让经度从西经 180°到东经 180°变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
图 6 影子长度随经度变化曲线
图中横轴表示经度(°),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随经度的变化规律是:影子在黄昏(西经 115°)和早
晨(东经 75°)时候最长,为无限大,从西经 115°到东经 75°是夜晚,太阳高度 角为负,故由影子长度变化模型得出影子长度为负,但实际上夜晚影子长度应为 0;从东经 75°到西经 115°是白天,影子长度随经度的变化先逐渐减小直至东经 165°后逐渐增加。 3.3.3 影子长度随时间变化规律
针对问题四,我们运用射影几何学建立模型对视频资料进行图像处理,从 视频中以 8:56:00 为起点,每间隔两分钟取一帧画面,测量出该时刻的影子长 度。最后我们得到了 20 组数据。结合问题二的模型,在 MATLAB 中编程计算, 得到最优拟合结果为:东经 100°,北纬 14°附近区域,如泰国的曼谷。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型 确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子 顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估 计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用你们的 模型给出若干个可能的拍摄地点。
Ω = (������ − 12) × 15° ������ = ������������ + ������������ + ������������ { 3.3 分析影子长度关于各参数的变化规律 通过模型的建立,我们已经知道太阳高度角与经度、纬度、太阳赤纬、地方 时间有关。而太阳赤纬������是一个随季节变化的参数,可以看作是一个关于日期的 一个函数。 因此,最终我们可以确定,直杆的太阳影子长度受直杆长度、所在地的经纬 度、日期和地方时间这些参数共同影响。 为了进一步确定各参数对影子长度的影响情况,我们可以使用控制变量法, 分析影子长度在各参数下的变化规律,并在 MATLAB 中编程画出相应的变化曲线。 我们在此处直接使用问题一中的直杆作为研究对象,杆长 3m,日期为 2015 年 10 月 22 日,时间为北京时间 9:00,地点为北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒。 3.3.1 影子长度随纬度变化规律 控制除纬度外的其他因素不变,让纬度从南纬 90°到北纬 90°变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规 律,并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间 天安门广场(北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆的 太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型 确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据,给出 若干个可能的地点。
������′
赤道面
������
������
(������ )
������
Ω
(������ )
时 圈������������ Nhomakorabea图 3 赤道坐标系
图中δ 表示赤纬,Ω 表示时角。当确定了赤纬和时角时,我们就确定了太阳 的位置。太阳赤纬������是一个随季节变化的参数,可以看作是一个关于日期的一个 函数,我们可以通过查阅《地面气象观测规范》 [2]得到与日期对应的赤纬������。
为了确定影子长度、直杆长度和太阳高度角三者的关系,我们可以用如下所 示的模拟图来辅助分析。
3
太 阳 光
ℎ直
杆
影子
ℎ������
������
图1
图中ℎ 表示直杆的长度,������ 表示影子的长度,ℎ������表示太阳高度角。则三者满 足:
������ = ℎ ⁄tan ℎ������ 3.2.2 天球坐标系统的引入
针对问题二,首先,我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之 后进行数据标准化,消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假 设采样点,将经度、纬度作为变量,使用问题一中的模型求出该假设采样点的影 子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟 合,在 MATLAB 中编程计算,得到的最小目标函数值������ = 1.2981 × 10−7 ,该假设 采样点为东经 109°,北纬 17°(见正文图 11),其周边海南三亚市、越南沿海地 区都可以认为是采样点的可能位置。
太阳影子定位技术的研究
摘要
本文针对太阳影子定位问题,通过运用天球模型和最小二乘法,研究了直杆 太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等 参数的关系,实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。
针对问题一,在已知直杆长度的情况下,太阳影子长度和太阳高度角满足一 个确定的函数关系。因此,我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度 角。引入天球模型后,使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太 阳的运动和位置,得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时 间的函数关系,进而得到了影子长度与各参数的关系。之后,使用控制变量法分 别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这 5 个参数的变化规 律(见正文图 5、6、7、8、9)。最后,运用该模型画出了天安门广场上 3 米高的 直杆的太阳影子长度的变化曲线(见正文图 10)。
控制除日期外的其他因素不变,让日期从该年第一天到最后一天变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
图 8 影子长度随日期变化曲线
9
图中横轴表示天数(天),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随日期变化规律是:从 1 月 1 日(第 1 天)开始,
随着日期一天天地增加,影子会越来越短,直到 6 月 22 日(第 174 天)影子达 到一年中的最短,之后随着日期一天天地增加,影子会越来越长,直至 12 月 22 日(第 357 天)影子长度达到最大。然后随着日期一天天地增加,影子长度 会越来越短。 3.3.5 影子长度随杆长变化规律
影子的长度 太阳高度角 天球的北天极 天球的南天极 天球的天轴线
赤纬 时角 太阳方位角 真太阳时 北京时(东经120°的时间) 经度订正 时差
3 问题一模型的建立和求解
3.1 问题一的分析
问题一要求我们分析直杆的太阳影子长度关于各个参数的变化规律,并画出 影子长度的变化曲线。经验和常识告诉我们,物体太阳影子的长度与物体本身长 度和太阳高度角这两个因素有关。因此,针对问题一,在已知直杆长度情况下, 我们只需要建立模型分析太阳高度角的变化,进而得到影子长度的变化情况。 3.2 模型的建立 3.2.1 太阳高度角与影子长度的计算
由于地球自转和公转等因素,某地的太阳高度角与该地的经度、纬度、日期 和当天具体时间有关。为了更加确切地知道太阳高度角的变化情况,我们以地球 为中心,建立天球模型来描述太阳的运动和位置。
夏至
冬至
图 2 天球
4
延长地轴线与天球相交的两点称为天极,������������为北天极,������������为南天极,������������������������即 为天轴。在上述的天球模型中,我们假定地球不动,太阳沿着天球的黄道周而复 始地绕地球运行 [1]。
为了确定太阳在各个时刻的位置,我们使用天球模型中的天球坐标系统来表 示。在此处我们仅使用该坐标系统中的两种——地平坐标系和赤道坐标系。
将地球上的经度、纬度坐标系扩展至天球,分别可以得到赤纬圈和时圈,这 样一来就在天球上形成了我们需要的赤道坐标系,如下图所示:
������������
赤纬圈
太阳
子 午 圈
基于天球模型坐标系的引入,我们可以在赤纬坐标系和地平坐标系下进行几 何分析,得到太阳高度角的计算方法如下:
sin ℎ������ = sin ������ · sin ������ + cos ������ · cos ������ · cos Ω Ω = (������ − 12) × 15° ������ = ������������ + ������������ + ������������
其中������表示真太阳时,������������ 表示北京时(东经120°的时间),������������ 为经度订正,������������ 为时 差。
在得到太阳高度角之后,结合影子长度、直杆长度和太阳高度角三者之间的 关系,我们最终可以得到影子长度变化模型如下:
6
������ = ℎ ⁄tan ������������ sin ℎ������ = sin ������ · sin ������ +cos ������ · cos ������ · cos Ω
图 5 影子长度随纬度变化曲线
7
图中横轴表示纬度(°),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随纬度的变化规律是:从南纬 90°开始,随着纬度减
小影子长度相应减少,直至南纬 10.4°(太阳直射点),影子长度变为 0,之后影 子长度随纬度减小而增加,直至赤道为止;从赤道开始向北纬度逐渐增加,影子 长度继续增长,直至北纬 79.6°出现极夜现象,影子长度为无限大,之后纬度继 续增大则太阳高度角为负,由影子长度变化模型可知,此时影子长度为负。 3.3.2 影子长度随经度变化规律
控制除时间外的其他因素不变,让时间从 0 点到 24 点变化,使用 MATLAB 绘 制出相应的变化曲线如下:
8
图 7 影子长度随时间变化曲线
图中横轴表示时间(小时),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随时间变化规律是:一天中,早晨(6 点)和黄昏
(18 点)影长长度为无限大。而从 18 点到 6 点期间是夜晚,太阳高度角为 负,故由影子长度变化模型得出影子长度为负,但实际上夜晚影子长度应为 0;从 6 点到 18 点期间是白天,影子长度随时间增加先逐渐减短直至正午 12 点 后逐渐增加。 3.3.4 影子长度随日期变化规律
如果拍摄日期未知,你能否根据视频确定出拍摄地点与日期?
2 模型的假设与符号的约定
2.1 模型的假设与说明
(1)假设地球为一个规则的正球体; (2)文中仅考虑采样当年为平年的情况; (3)忽略大气层对太阳光线折射的影响;
2.2 符号的约定与说明 符号 ℎ
符号的意义 直杆的长度
2
������ ℎ������ ������������ ������������ ������������ ������������ δ Ω ������������ ������ ������������ ������������ ������������
以地平线为基圈建立地平坐标系,如下图所示:
5
������
子
终
午
圈
圈
ℎ������
������������
������ ′
图 4 地平坐标系
图中ℎ������表示太阳高度角,������������表示太阳方位角。我们用太阳高度角和太阳方位 角来确定太阳在天球中的位置。 3.2.3 影子长度变化模型的建立
最后,当日期未知时,我们可以在得到影子长度之后采用问题三的模型进 行求解。在 MATLAB 中编程计算,得到最优拟合结果为:东经 106°,北纬 0°附 近区域,如新加坡、印度尼西亚的坤甸和战碑。
关键字:天球模型 最小二乘法 射影几何学
1
1 问题重述
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影 子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法。
控制除经度外的其他因素不变,让经度从西经 180°到东经 180°变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
图 6 影子长度随经度变化曲线
图中横轴表示经度(°),纵轴表示影子长度(m)。 从图中可得,影子长度随经度的变化规律是:影子在黄昏(西经 115°)和早
晨(东经 75°)时候最长,为无限大,从西经 115°到东经 75°是夜晚,太阳高度 角为负,故由影子长度变化模型得出影子长度为负,但实际上夜晚影子长度应为 0;从东经 75°到西经 115°是白天,影子长度随经度的变化先逐渐减小直至东经 165°后逐渐增加。 3.3.3 影子长度随时间变化规律
针对问题四,我们运用射影几何学建立模型对视频资料进行图像处理,从 视频中以 8:56:00 为起点,每间隔两分钟取一帧画面,测量出该时刻的影子长 度。最后我们得到了 20 组数据。结合问题二的模型,在 MATLAB 中编程计算, 得到最优拟合结果为:东经 100°,北纬 14°附近区域,如泰国的曼谷。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型 确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子 顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估 计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用你们的 模型给出若干个可能的拍摄地点。
Ω = (������ − 12) × 15° ������ = ������������ + ������������ + ������������ { 3.3 分析影子长度关于各参数的变化规律 通过模型的建立,我们已经知道太阳高度角与经度、纬度、太阳赤纬、地方 时间有关。而太阳赤纬������是一个随季节变化的参数,可以看作是一个关于日期的 一个函数。 因此,最终我们可以确定,直杆的太阳影子长度受直杆长度、所在地的经纬 度、日期和地方时间这些参数共同影响。 为了进一步确定各参数对影子长度的影响情况,我们可以使用控制变量法, 分析影子长度在各参数下的变化规律,并在 MATLAB 中编程画出相应的变化曲线。 我们在此处直接使用问题一中的直杆作为研究对象,杆长 3m,日期为 2015 年 10 月 22 日,时间为北京时间 9:00,地点为北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒。 3.3.1 影子长度随纬度变化规律 控制除纬度外的其他因素不变,让纬度从南纬 90°到北纬 90°变化,使用 MATLAB 绘制出相应的变化曲线如下:
1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规 律,并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间 天安门广场(北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆的 太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型 确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据,给出 若干个可能的地点。
������′
赤道面
������
������
(������ )
������
Ω
(������ )
时 圈������������ Nhomakorabea图 3 赤道坐标系
图中δ 表示赤纬,Ω 表示时角。当确定了赤纬和时角时,我们就确定了太阳 的位置。太阳赤纬������是一个随季节变化的参数,可以看作是一个关于日期的一个 函数,我们可以通过查阅《地面气象观测规范》 [2]得到与日期对应的赤纬������。
为了确定影子长度、直杆长度和太阳高度角三者的关系,我们可以用如下所 示的模拟图来辅助分析。
3
太 阳 光
ℎ直
杆
影子
ℎ������
������
图1
图中ℎ 表示直杆的长度,������ 表示影子的长度,ℎ������表示太阳高度角。则三者满 足:
������ = ℎ ⁄tan ℎ������ 3.2.2 天球坐标系统的引入