第二章参考答案汇编
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(2) 任意多个 (可以无限) 子空间的交集仍是子空间, 且是含于这些子空间的最大子空间; 特别, 两个子空间 U 与 W 的交 U ∩ W 仍是子空间.
证明：（1）由子空间判别法立即可得。
（2）由子空间判别法可知任意多个 (可以无限) 子空间的交集仍是子空间, 且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。
即 α 是向量组 (3) 的线性组合. 所以, (3) 是 U + W 的一组基.
（2）设 dim V = n. 则显然子空间的真包含的链 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V 的长度 m ≤ n. 另一方面, 设 α1, · · · , αn 是 V 的一组基，则
12
记 α = k1α1 + k2α2 + · · · + krαr, β = br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs, γ = cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt.
则 α ∈ U ∩ W, β ∈ U, γ ∈ W , 以及 α + β + γ = 0. 于是 γ = −α − β ∈ U , 从而 γ ∈ U ∩ W ; 从而存在适当的数 d1, d2, · · · , dr, 使得 γ = d1α1 + d2α2 + · · · + drαr, 即
证明：（1）设 dim U = s, dim W = t, dim (U ∩W ) = r. 任取 U ∩W 的一组基 α1, α2, · · · , αr. 由于 U ∩ W 是 U 与 W 的公共子空间, 故 U ∩ W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组, 因此 可以扩充成 U 或 W 的基. 设
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
α1, α2, · · · , αr, βr+1, βr+2, · · · , βs
与 α1, α2, · · · , αr, γr+1, γr+2, · · · , γt
分别是 U 与 W 的基. 我们证明
(0.0.1) (0.0.2)
α1,ຫໍສະໝຸດ Baiduα2, · · · , αr, βr+1, βr+2, · · · , βs, γr+1, γr+2, · · · , γt
d1α1 + d2α2 + · · · + drαr − cr+1γr+1 − cr+2γr+2 − · · · − ctγt = 0.
由于 (2) 是 W 的一组基, 故有 d1 = d2 = · · · = dr = cr+1 = cr+2 = · · · = ct = 0. 同理, 由 于 (1) 是 U 的一组基, 由 (4) 又得, k1 = k2 = · · · = kr = br+1 = br+2 = · · · = bs = 0. 因此, (3) 确是线性无关的向量组.
4. 证明多子空间直和的判定定理：设 W1, W2, · · · , Ws 是线性空间 V 的子空间, 则下列 命题等价:
第二章习题及参考解答
注：第 27 题 (2)(3) 错 (可将“证明”改为证明或否定)，第 28 题可不布置。第 50 题 （含）以后属于附加内容，没有参考解答。
1. 证明子空间判别法: 设 U 是线性空间 V 的一个非空子集. 则 U 是子空间 ⇐⇒ 对任 意 λ ∈ F , α, β ∈ U , 有 α + β ∈ U 与 λα ∈ U .
因此
β = k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs, γ = l1α1 + l2α2 + · · · + lrαr + cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt,
α = (k1 + l1)α1 + (k2 + l2)α2 + · · · + (kr + lr)αr +br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs +cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt.
证明：必要性是显然的，下证充分性。设 U 关于加法“+”与数乘均封闭。则 U 中加法 “+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α = α 均自动成立，因为 U ⊂ V . 由 于 U 关于数乘封闭，而 0 = 0α ∈ U, −α = −1α ∈ U , 因此 U 是子空间。
2. 证明子空间的下述性质。(1) 传递性: 即若 U 是 V 的子空间, W 是 U 的子空间, 则 W 也是 V 的子空间;
再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ. 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1, k2, ..., kr, br+1, br+2, ..., bs 及 l1, l2, ..., lr, cr+1, cr+2, ..., ct 使
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
证明：（1）由子空间判别法立即可得。
（2）由子空间判别法可知任意多个 (可以无限) 子空间的交集仍是子空间, 且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。
即 α 是向量组 (3) 的线性组合. 所以, (3) 是 U + W 的一组基.
（2）设 dim V = n. 则显然子空间的真包含的链 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V 的长度 m ≤ n. 另一方面, 设 α1, · · · , αn 是 V 的一组基，则
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记 α = k1α1 + k2α2 + · · · + krαr, β = br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs, γ = cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt.
则 α ∈ U ∩ W, β ∈ U, γ ∈ W , 以及 α + β + γ = 0. 于是 γ = −α − β ∈ U , 从而 γ ∈ U ∩ W ; 从而存在适当的数 d1, d2, · · · , dr, 使得 γ = d1α1 + d2α2 + · · · + drαr, 即
证明：（1）设 dim U = s, dim W = t, dim (U ∩W ) = r. 任取 U ∩W 的一组基 α1, α2, · · · , αr. 由于 U ∩ W 是 U 与 W 的公共子空间, 故 U ∩ W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组, 因此 可以扩充成 U 或 W 的基. 设
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
α1, α2, · · · , αr, βr+1, βr+2, · · · , βs
与 α1, α2, · · · , αr, γr+1, γr+2, · · · , γt
分别是 U 与 W 的基. 我们证明
(0.0.1) (0.0.2)
α1,ຫໍສະໝຸດ Baiduα2, · · · , αr, βr+1, βr+2, · · · , βs, γr+1, γr+2, · · · , γt
d1α1 + d2α2 + · · · + drαr − cr+1γr+1 − cr+2γr+2 − · · · − ctγt = 0.
由于 (2) 是 W 的一组基, 故有 d1 = d2 = · · · = dr = cr+1 = cr+2 = · · · = ct = 0. 同理, 由 于 (1) 是 U 的一组基, 由 (4) 又得, k1 = k2 = · · · = kr = br+1 = br+2 = · · · = bs = 0. 因此, (3) 确是线性无关的向量组.
4. 证明多子空间直和的判定定理：设 W1, W2, · · · , Ws 是线性空间 V 的子空间, 则下列 命题等价:
第二章习题及参考解答
注：第 27 题 (2)(3) 错 (可将“证明”改为证明或否定)，第 28 题可不布置。第 50 题 （含）以后属于附加内容，没有参考解答。
1. 证明子空间判别法: 设 U 是线性空间 V 的一个非空子集. 则 U 是子空间 ⇐⇒ 对任 意 λ ∈ F , α, β ∈ U , 有 α + β ∈ U 与 λα ∈ U .
因此
β = k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs, γ = l1α1 + l2α2 + · · · + lrαr + cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt,
α = (k1 + l1)α1 + (k2 + l2)α2 + · · · + (kr + lr)αr +br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs +cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt.
证明：必要性是显然的，下证充分性。设 U 关于加法“+”与数乘均封闭。则 U 中加法 “+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α = α 均自动成立，因为 U ⊂ V . 由 于 U 关于数乘封闭，而 0 = 0α ∈ U, −α = −1α ∈ U , 因此 U 是子空间。
2. 证明子空间的下述性质。(1) 传递性: 即若 U 是 V 的子空间, W 是 U 的子空间, 则 W 也是 V 的子空间;
再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ. 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1, k2, ..., kr, br+1, br+2, ..., bs 及 l1, l2, ..., lr, cr+1, cr+2, ..., ct 使
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)