直角三角形的判定(HL)
直角三角形全等的判定方法(HL)PPT教学课件
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2.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足， DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD． (2)AE=AF
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(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中,
12.2.4直角三角形全 等的判定方法（HL）
蛟河三中
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判断
具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否全 等,根据是什么。
①AC＝A′C′ ∠A＝∠A′ ②AC＝A′C′ BC＝B′C′ ③AB＝A′B′ ∠B＝∠B′ ④AC＝A′C′ AB＝A′B′
BC=B′C′
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B
C
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直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等简写
成“斜边、直角边”或“HL”. A
几何语言
∵∠B=∠B´=90°
在Rt△ABC和Rt△ A´B´C´中
B A´
C
A C=A´C´
A B= A´B´
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L) B´
C´
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PPT教学课件
谢谢观看
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B
AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴BC=AD 2020/12/10
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练习
1.如图，AC＝AD， ∠C＝∠D＝90°， 求证：BC＝BD
直角三角形的全等判定方法hl
直角三角形的全等判定方法hl
具体来说，假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC =
∠EDF = 90°。
如果这两个三角形满足以下条件：
1. 三角形ABC和DEF的斜边AB和DE相等，即AB = DE；
2. 三角形ABC和DEF的高BC和EF相等，即BC = EF。
那么根据直角三角形的全等判定方法hl，可以得出三角形ABC
和DEF是全等的。
这种全等判定方法hl的原理是基于直角三角形的性质和全等三
角形的定义。
直角三角形的斜边和高可以唯一确定一个直角三角形，因此当两个直角三角形的斜边和高分别相等时，这两个三角形就是
全等的。
需要注意的是，这种判定方法只适用于直角三角形，对于一般
的三角形，需要使用其他的全等判定方法，如SSS、SAS、ASA等。
综上所述，直角三角形的全等判定方法hl是利用斜边和高来判
定两个直角三角形是否全等，通过对斜边和高的相等性进行比较来判断三角形的全等关系。
12.2直角三角形全等的判定(HL)
D
如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（2）若 A= D，BC=EF，则△ABC与△DEF 全等 （填
“全等”或“不全等”）根据 AAS （用简写法）.
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）.
A （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则 △ABC与△DEF 全等 （填“全等”或 SSS “不全等”）根据 _____（用简写法）. B
AB=AB
A
C B′
BC=BC
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的判定方法——“HL”.
想一想
B′ C′ Rt△ABC≌ Rt △A′
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC 中
AAS ASA ， 1、判定两个三角形全等方法， SSS ，SAS ， 2、如图1，Rt ABC中，直角边 BC 、AC A ，斜边 AB
。
B
图1
பைடு நூலகம்
C
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E， （1）若 A= D，AB=DE， 全等”）根据 ASA B C 则△ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或“不 （用简写法）. F E
12.2 直角三角形全等的判定(HL)
12.2 直角三角形全等的判定（HL）一、内容和内容解析（一）内容直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”．（二）内容解析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．基于以上分析，本节课的重点是：“斜边、直角边”判定方法的运用．二、目标及目标解析（一）目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．（二）目标解析1．学生经历探索两个直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．学生能从具体的问题中找出符合“斜边、直角边”条件的两个直角三角形，并能证明这两个直角三角形全等．三、教学问题诊断分析由于直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质．例如，对一般三角形来说，已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等，而对于直角三角形来说，已知斜边和一直角边分别相等，能够得到两个直角三角形全等．直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，得到第三边也是确定的，从而可以利用“边边边”或“边角边”证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．基于以上分析本节课的难点是：“斜边、直角边”判定方法的理解．四、教学过程设计引言前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角三角形就全等了？两个直角三角形满足的条件：两条直角边分别相等(SAS）；一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或（AAS）；一个锐角和斜边分别相等（AAS）追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．设计意图：直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．1.探索新知问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？问题2 画一个与已知直角三角形纸板全等的Rt △ABC ，有∠C =90°，再画一个Rt △DEF ，使∠F=90°，EF=BC ，DE=AB ，然后把已知直角三角形纸板放在画好的Rt △DEF 上，你发现了什么？2.归纳概括“HL ”判定方法和 分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL ”）．注意：前提条件是 。
直角三角形全等判定HL
如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C，D， AC=BD，求证BC=AD.
D C
A
B
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述 条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C 解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
AB=AB,
A B AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD D (全等三角形对应边相等).
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量.
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定 全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 判断直角 三角形全 等条件 三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角 形全等的方法.
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整. A AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA )
BC=EF (SAS) (2) AC=DF,________ (3) AB=DE,BC=EF ( HL ) AB=DE ( HL ) (4) AC=DF, ______ (5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS) B=∠E (6) ∠ ________,AC=DF ( A这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被 遮住的直角边和斜边，发现它们分别对 应相等，于是他就肯定“两个直角三角 形是全等的”.你相信他的结论吗？
12.2第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
证明：∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD
AB ＝AC， 中， AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）.
［归纳总结］ 判定两个直角三角形全等的特殊方法（
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
［解析］
由图形特点凭直觉似乎有△ABD≌△ACD，
△AED≌△AFD，△BED≌△CFD，再利用全等三角形的
判定方法进行逐一验证.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ SSS）.∴∠B＝∠C. 又∵∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）.
பைடு நூலகம்
故图中有3对全等三角形，选B.
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
［点评］ 求全等三角形的个数问题首先要看清图中有哪些
三角形.
［归纳总结］ 判定两个三角形全等时，要注意对应边、 角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法： 找夹角→SAS 1.已知两边找直角→HL 找第三边→SSS
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD. 又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）.
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
（3）AD＝BE＋DE或BE＝AD－DE. 理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE.
∵CE＝CD＋DE，∴AD＝BE＋DE或BE＝AD－DE.
直角三角形全等的判定(HL)
B
F C
E
D
则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或 AAS “不全等”）根据 （用简写法 ） （3）若AB=DE，BC=EF， 则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或“不全等 SAS ”）根据 （用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或“不全等 ”）根据 （用简写法） SSS
N △ A′ B ′ C ′即为所要画的三角形 B′
M
A′
C′
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？
B
10cm 10cm
B′
A
8cm
C
A′
8cm
C′
B′ Rt△ABC≌ Rt△A′C′
观察图形：这两个直角三角形 它们满足了什么条件？
A
E
B
C
D
知识回顾：
这节课你有什么收获呢？
直角三角形 全等的条件：
1）定义（重合）法；
2）解题 中常用的 4种方法
SSS SAS ASA AAS
↘ 两边相等 ↗
↘ 两角相等 ↗
3）HL
直角三角形全等用
1. 如图，AC=AD，AC┴BC，AD┴BD ，求证： BC=BD
C
AC
A
B
D
动动手 做一做
尺规作图： 已知： Rt△ABC，∠C=90°, AC=8㎝, AB=10㎝
画 Rt△A'B'C'，使 A'C'=AC , A'B'=AB
B
10cm
A
8cm
C
12.2直角三角形全等判定(4)(HL)
§12.2 直角三角形全等判定（4）（HL）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。
重点、难点重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题教学过程一、导课回顾前面学过的判定两个三角形全等常用的方法：、、、对于特殊的三角形，两个直角三角形，如何判定它们全等，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，•这两个直角三角形才能全等？本节课我们重点来学习“HL”二、新授知识1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.探索定理的证明过程：任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB（1）你能试着画出来吗？与小组交流一下.（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上，它们全等吗？你能发现什么规律？画法：画一个Rt △A ′B ′C ′，使B ′C ′=BC,AB=AB;1． 画∠MC ′N=90°。
2． 在射线C ′M 上取B ′C ′BC 。
3． 以B ′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C ′N 于点A ′。
连接A ′B ′。
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL ”）2、利用“HL ”证明直角三角形全等【例1】如课本图12．2─12，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ，求证BC=AD ．【思路点拨】欲证BC=•AD ，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里有△ABD 和△BAC ，△ADO 和△BCO ，O 为DB 、AC 的交点，经过条件的分析，△ABD 和△BAC•具备全等的条件．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥BD ，∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AC=BD,AB=BA∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）．∴BC=AD ．【例2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,则⎩⎨⎧DF =AC EF,=BC ∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL).∴∠ABC=∠DEF∵ ∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.答：∠ABC+∠DFE=90°随堂练习：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
直角三角形全等的判定(HL)
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教案
举例：在教学过程中，教师应重点讲解HL判定法的原理和运用步骤，通过示例演示和练习题，让学生熟练掌握这一判定方法。同时，强调直角三角形全等在解决几何问题中的重要性，如计算边长、角度等。
2.教学难点
-理解HL判定法背后的逻辑关系，尤其是斜边和直角边对应关系；
-在复杂图形中识别并运用HL判定法；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形全等判定HL的基本概念。HL是指当两个直角三角形的斜边和直角边分别相等时，这两个三角形全等。这一判定方法是解决几何问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例中直角三角形全等的判定过程，了解HL在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-解决与直角三角形全等相关的综合问题。
举例：
a)难点突破：教师应详细解释HL判定法中斜边和直角边对应关系，通过直观图示和实际操作，让学生理解全等的条件。例如，可以设计对比实验，让学生比较全等和不全等的直角三角形，从中感悟到对应边的重要性。
b)识别运用：针对复杂图形，教师应引导学生如何从众多信息中提取关键直角三角形的边角关系，并应用HL判定法。例如，可以给出一些包含多个直角三角形的图形，让学生识别哪些部分可以用HL判定法证明全等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调斜边和直角边相等这一判定条件和其在解决问题中的应用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用模型或教具演示HL判定法的基本原理。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
直角三角形全等的判定定理(HL)
2、全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形有哪些判定？ （1）三边分别相等的两个三角形全等；(SSS) （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；(SAS) （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；(ASA) （4）两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；(AAS)
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还 缺什么条件。
③有公共边的，公共边一定有对顶角的，对顶角也是对应角.
议一议 中考真题体验
1如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列四个等 式中：①AB=DE，②∠ACB=∠F，③∠A=∠D，④ AC=DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以 证明．（写出一种即可）已知：_____，____．（填序号） 求证：△ABC≌△DEF 小组讨论完成下面的问题 （1）从给出的四个条件中选用两个条
已知一边和它的对角 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL)
2.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论， 选择恰当的判定方法.
3.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要 方法之一，证明时: ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的 三角形中。
解：（1）∵∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ACD中，
∠BAC=∠D ∵ ∠ACB=∠DCE
BC=CE ∴△ABC≌△DEC（AAS） ∴AC=CD.
直角三角形(2)全等的判定hl
• 勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为 c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.. • 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那 么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题 称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 逆命题. 一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假 命题?
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
一个定理的逆命题是真命题还是假命题？,
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
练习:1判断
1每个命题都有逆命题.
2每个定理都有逆命题.
7两角对应相等,且有一条公共边两个直角三角形 全等.
回味无穷
• 直角三角形全等的判定定理:
定理:HL.
公理:SSS. SAS ASA
推论:AAS.
• 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应
B M P
E B'
C N D F
4 1 3 2
A
△AEF是等边三角形
勾股定理应用:
D 1 A' C
如图,折叠矩形纸片ABCD.先折 对角线BD,再使AD与DB重合得 折痕DG ,AB=2,BC=1,求AG的长.
1
A
直角三角形全等(HL)
5cm
B′
M A′
4cm
C′
动动手 做一做
1:画∠MC′N=90°;
2:以点C′为圆心， 4cm为半径画弧，交射线C′M 于点A′，即C′A′= 4cm;
3:以A ′为圆心，5cm为半径画弧，交射线C′N N 于B′，即B′A′= 5cm; 4:连结A′ B ′; ∴△ A′ B ′ C ′为所求。
3.已知 : AB BD, ED BD, C是BD上一点 且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
A
E
B
C
D
例2．已知，如图，AC⊥BC，BD⊥AD. （1）已知∠CAB=∠ DBA，求证：BC=AD. （2）已知AC=BD，求证：BC=AD.
证明： （1）∵AC⊥BC,BD⊥AD， ∴∠D=∠C=90°. 在△ABC和△BAD中， （2）∵AC⊥BC,BD⊥AD， ∠D=∠C， ∴∠D=∠C=90°. ∠CAB=∠ DBA， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AB=BA， ∴△ABC≌△BAD(AAS). AC=BD， A ∴BC=AD. ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD.
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC 中
AB=AB
A
C B′
BC=BC
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的判定方法——“HL”.
数学人教版八年级上册直角三角形全等的判断(HL)
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). B
C
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
当堂练习
1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
（写出一个即可）.
A
答案： AB=AD 或 BC=DC
B
D 或 ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.
C 注意 一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但 HL只能用于证明直角三角形的全等.
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求
第十二章 全等三角形
直角三角形的判定
导入新课
复习引入
1.全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等. 2.判别两个三角形全等的方法:
SSS
SAS ASA
AAS
3. AAA
60° 60° 60° 60°
SSA A
B
D
C
讲授新课
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′ 使 ∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放 到Rt△ABC上，它们全等吗？
1.2直角三角形全等的判定(HL定理)(教案)
-理解HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。
-识别全等证明中的已知条件和未知条件，特别是如何从题目中提取关键信息。
-理解全等证明的逻辑顺序，如何从已知条件出发，逐步推导出全等关系。
-解决实际问题时，如何构建直角三角形模型，并将HL定理应用于问题求解。
举例：在解决一个直角三角形的斜边和一条直角边长度已知的问题时，学生可能难以直接联想到使用HL定理。难点在于如何引导学生从问题中识别出这是一个直角三角形全等的问题，并应用HL定理来求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法——HL定理。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生的兴趣被成功激发，他们对于几何学的实际应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰，也让我认识到，将理论知识与生活实际相结合是提高学生学习兴趣的有效途径。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形全等的判定方法——HL定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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B
SSS
）．
C B′
（5）若 AC＝A'C'，AB=A'B'
△ABC和△A'B'C'全等吗？
能否用上述四种方法判定?
未知 不能
A′
C′
动手实践 探索规律
画图，叠放，观察，总结：
已知：Rt△ABC ，∠C﹦90°求作：Rt△A′B′C′
使①∠C′﹦90°，②A′C′﹦AC，③A′B′﹦AB
（1）你能试着画出来吗？ （2）把画好的Rt△A′B′C′放到Rt△ABC上，它们完全重合 吗？你能发现什么规律？
C B
5.用上述四种方法来判定两个直角三角形 全等，思考下列问题？看一看用的是哪种 方法。
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C' 中， ∠C＝∠C'＝90°， （1）若 AC＝A'C'，BC＝B'C'， △ABC≌△A'B'C' （ A ）．
B
SAS
C B′
（2）若∠A＝∠A'，AC＝A'C'， 则△ABC≌△A'B'C' （
ASA
）．
A′
C′
（3）若∠A＝∠A'，BC＝B'C'，
则△ABC≌△A'B'C' （
AAS
）．
5.用上述四种方法来判定两个直角三角形 全等，思考下列问题？看一看用的是哪种 方法。
如图，在Rt△ABC与Rt△A'ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ'C' 中， ∠C＝∠C'＝90°， （4）若 AC＝A'C'，BC＝B'C'，AB=A'B' △ABC≌△A'B'C' （ A
AB=AB,(公共边） AC=AD.（已知）
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD (全等三角形对应边相等).
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
{
AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD （全等三角形对应边相等，对应角相等）
小结
一般三角 形全等的 判定
C′
例:如图，∠BAC=∠CDB=900， AC﹦DB，求证：AB﹦DC 分析： 证明： ∵∠BAC=∠CDB=900（已知）
∴ΔBAC，ΔCDB都是直角三角 形. 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
AC=DB,(已知） B C A D
BC=CB.(公共边）
∴Rt△ABC≌Rt△DCB (HL). ∴ AB﹦DC（全等三角形对应边相 等）
A C
B
2.已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD 3.课本P109练习 1,2
B
D
A
D
C
1、证明：∵∠C，∠D是直角（已知）
2.证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴ΔABC，ΔADB都是直角三角形. 在Rt△ADB和Rt△ADC中
在Rt△ACB和Rt△ADB中
例题变式；如图，∠BAC=∠CDB=900，请你再添加一个条件
使△ABC≌△DCB ，并说明判定依据？
A D
1.AB=DC (HL) 2.AC=DB (HL) 3.∠ABC=∠DCB (AAS) 4.∠ACB=∠DBC (AAS)
B
C
巩固练习 1. 已知：如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 求证：BC=BD
14.2
三角形全等的判定5
——两个直角三角形全等的判定
复习旧知 引入新知
1.什么叫做直角三角形? 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2．如图，在Rt△ABC 中， ∠C ＝90°， BC 斜边是____. AB 则直角边是 A 、 A C 3.我们已经过判定全等三角形的方法有哪些？ （SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS） 对应边 相等,________ 对应角 相等. 4.全等三角形的______
作法与图形提示：
⑴ 作∠MCN=∠C=90°;
M
⑵ 在射线C M上截取C A =CA
M A'
′
′
′
C'
′
N
C'
′ ′ ′ ′ ′
N
⑶ 以A 为圆心，AB为半径画弧， ′ ′ 交射线C N于点B
M A'
M
⑷ 连接A B ，△A B C 就是所 作三角形。
A'
C
B'
N
C'
B'
N
总结规律 运用新知
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边定理 (HL)推理格式
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ABC 中
A
C B′
AB=AB
BC=B C
A′ ∴Rt△ABC≌ Rt△ABC(HL)
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等