机械信号处理第二章

x( )e jwn d e jwnt dw n

M
机械信号处理
Echanical Signal Processing
总结：
傅里叶积分实现了对非周期信号的频谱 分析。
1 2
x( )e jwn d e jwnt dw n
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
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x(t ) lim
T
1 T / 2 jnw e jnwt x ( ) e d T / 2 T n

w 2 1 2 1 2
x( )e jnw d e jnwt dn x( )e jnw d e jnwt dnw
条件：x(t)在区间上绝对可积。



f t d t
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0 t 0 练习：求指数衰减函数 x(t ) t t 0 e 的傅里叶变换，其中 0 。 x(t)
解：
X ( ) x(t )e
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（2）比例特性（尺度变换特性）
1 ω F x(at) X( ) |a| a 1 t -1 F X(aω) x( ) |a| a
• 意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
n取为50时
n取为100时
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
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傅里叶级数展开条件： 任何一个周期为T的周期函数x(t)，如果 在[-T/2,T/2]上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点；
c1 5 1 0.15 c2 1
解：将f(t)化为余弦形式
2 0.25
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1、离散频谱特性： 周期函数的频谱是由间隔为w的谱线组成的离散 谱，振幅和相角仅在nw点上存在，周期T越大，w越 小，谱线越密，反之谱线越疏； 2、幅度衰减特性： 周期信号的幅度频谱随谐波nw增大而不断衰减， 最终趋于0。若信号时域波形变化平缓，高次谐波成 分少，幅频衰减快；反之，若信号时域波形变化跳变 多（周期矩形脉冲），高次谐波成分越多，幅频衰减 慢。
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第 一 类 间 断 点
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如果 x0 是函数 f(x) 的间断点，但左极 限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x) 的第一类间断点。
在第一类间断点中，左右极限相等者称 可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。 非第一类间断点即为第二类间断点。
t 0 0t
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function sincos(n) t=linspace(-4,4,800); for i=1:100; s(i,1:length(t))=4/((2*i-1)*pi)*sin((2*i-1)*t); end sum=0; for j=1:n sum=sum+s(j,:); 文件名保存为： end sincos.m plot(t,sum) end
需要对信号信息处理和变换
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§2.1 傅里叶变换 一、傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都 可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表 示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为 它们是正交的），后世称为傅里叶级数Fourier Series(1807年)。
a0 x(t ) (an cosnwt bn sin nwt) 2 n1
直流分量系数 傅里叶系数 谐波分量系数
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傅里叶级数复数形式 根据欧拉公式：
e e cos( ) 2 e j e j sin( ) 2j
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傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭 示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内 在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于： • 了解特性的内在联系； • 用性质求F(ω)； • 了解在通信系统领域中的应用。
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练习：
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总结：
傅里叶级数是对周期信号进行频谱分析的 数学工具。如果以角频率nw为横坐标，以振 幅An和相角φn为纵坐标，就构成了幅频图和 相频图，就可以对各次谐波分量加以研究。
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弹簧质量系统的简谐振动
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内燃机活塞往复运动
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非正弦周期函数
1 u (t ) 1
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条件？ 推论：非正弦周期函数可以看成多个不同频率的 三角函数的叠加。
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傅里叶级数展开式——频谱分析
w 2 / T 2 T /2 a0 x(t )dt T T / 2 2 T /2 an x(t ) cos(nwt)dt T T / 2 2 T /2 bn x(t ) sin(nwt)dt T T / 2
j t
t
dt e t e jt dt
0 1 ( jw) t dt de j 0

e
0

( jw) t
1 1 j ( jw) t e 2 0 j j 2
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周 期 函 数
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对于函数x(t)，如果存在一个不为零的常 数T，使得当t取定义域内任意值时，都有 x(t+T)=x(t) 成立，那么就把函数x(t)称为周期 函数，T为这个函数的周期。常见的周期函数 有正弦函数、余弦函数等。 周期？
j
j
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傅里叶级数复指数形式（教材P9）
x(t ) 1 cn T
n
c e
n

jnwt

T /2
T / 2
x(t )e
jnwt
dt
n 0,1,2,...
各种周期函数的傅里叶级数如图2.1所示。
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二、傅里叶积分
如果周期矩形脉冲信号的时域持续时间不 变，而周期T增加时，w必然减小，离散谱线 加密，当 T ，w 0
x(t ) lim xT (t )
T
lim
T
1 T / 2 jnw e jnwt x ( ) e d T / 2 T n

频谱
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三、傅里叶变换
谱密度函数——复值函数（幅频特性和相频特性）

X (w) x(t )e


jwt
dt F xt
1
1 x(t ) 2


X ( w)e dw F
jwt
X w
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机械信号处理
陈曦
黑龙江工程学院 2015.03
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课 程 结 构
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课wenku.baidu.com导论
信号处理中常用数学变换
MATLAB在信号处理中的应用 机械信号分类与测量 机械信号的预处理 机械信号时域处理方法及应用 机械信号频域处理方法及应用
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3、信号有效带宽
周期矩形脉冲信号在0~2π/τ 频率范围内称 为其有效频带宽度，τ 为信号的时域持续时间， 即 2 1
wB



物理意义：在信号有效带宽内，集中了信号绝 大多数谐波分量。若信号丢失有效带宽外的谐 波成分，不会对信号产生明显的影响。
cn cn e
幅频
jn
相频
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练习：已知 f(t)=1+sinwt+2coswt+cos(2wt+pi/4) 请画出其幅度谱和相位谱。
f (t ) 1 5 cos(w1t 0.15 ) cos 2w1t 4 c0 1 0 0
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第二章
信号处理中常用数学变换
信号是信息的载体，信号中包含信息，这些 信息反映了一个物理系统的状态和特征。 实测信号通常为时间信号，为了提取其中的 信息，必须将之转换为一种易于分析和识别的形 式，新的信号形式比原始信号更易于提取信息的 要求。
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系数Cn有统一的计算公式，而且Cn的模 直接反映了n次谐波振幅的大小。
an jbn 1 T / 2 jnwt cn x(t )e 2 T T / 2 n次谐波 an jbn 1 T / 2 jnwt 振幅 c n x(t )e 2 T T / 2 an jbn an jbn 1 2 2 | cn || c n || || | an bn 2 2 2
“狄利克雷条件”
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函 数 连 续
机械信号处理
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设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，如果 函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim f(x)=f(x0)（x→x0），那么 就称函数 f(x) 在点 x0 处连续。 不连续情形： 1、在点x=x0没有定义； 2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在； 3、虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。
傅里叶变换基本特性
（1）线性特性
F ax1 (t ) bx2 (t ) aF x1 (t ) bF x2 (t ) aX1 ( ) bX 2 ( ) X 1 ( ) F x1 (t )，X 2 ( ) F x2 (t )，且a、b是常数，
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