第3章 时域分析法
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第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
第三章时域分析法.ppt
ts
ln ln
n
1 2
求极 小值
0.707
0.02 0.05
ts
ln
n
简化
3 ln 4
0 0.7
0 ln 1 2 0.34
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
振荡次数
N ts Td
ts n
i1
zi
r
d n
1 2 tan
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
dtp k , k 0, 1, 2, …
tp
d
n
1 2
k 1
tp
Td 2
Td
2 d
n
2 1 2
tp
n
tp
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
M e 1 2 p
超调量只与系统的阻
尼比有关，而与固有
频率无关
Mp
第3章 时域分析法
3.3 二阶系统时间响应
Mp
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
damping ratio
第3章 时域分析法 调整时间
第3章 时域分析法
1 ents 1
1 2
tp
d
n
2s 1 2
m K 77.3kg
2 n
B 2nm 181.8 N s m
0.6 n 1.96 rad s
精品文档-自动控制原理及其应用(第二版)温希东-第3章
能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型 形式是一阶惯性环节，即
(3-9)
第3章 时 域 分 析 法
20
1. 一阶系统的单位阶跃响应 当r(t)=1(t)时，有
第3章 时 域 分 析 法
对上式进行拉氏反变换，得
根据式(3-10)，可得出表 3-1 所列数据。
21 (3-10)
第3章 时 域 分 析 法
第3章 时 域 分 析 法
63
图 3-14 二阶系统单位阶跃响应包络线
第3章 时 域 分 析 法
第3章 时 域 分 析 法
57
2) 求峰值时间tp 由峰值时间tp的定义知，tp为c(t)响应超过其终值到达第 一个峰值所需的时间。
由式(3-14)和式(3-19)得
(3-21)
第3章 时 域 分 析 法
58
根据数学求极值概念，令
即
第3章 时 域 分 析 法
59
因为
所以
由此可得, ωdtp=π, 则 (3-22)
28
3.3 二阶系统的动态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从 而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，系统 呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。
第3章 时 域 分 析 法
29
二阶系统的典型传递函数为
当r(t)=1(t)时，有
则
第3章 时 域 分 析 法
44
对上式进行拉氏反变换，可得
(3-17)
其响应曲线如图 3-10所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况 实际系统不能用。
第3章 时 域 分 析 法
45
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
时域分析方法
x1(t) r(t) y(t),
X1(s) R(s) Y (s)
x2(t)
d
x1 (t ) dt
k1 x1(t),
X2(s) sX1(s) k1X1(s)
x3(t) k2 x2(t),
X3(s) k2X2(s)
x4(t) x3(t) x5(t) k5 y(t), X4(s) X3(s) X5(s) k5Y (s)
y(0)
y(t ) t0
0
y()
y(t ) t
1
t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632 t＝2T时, y(2T)＝0.865
t＝3T时, y(3T)＝0.95 t＝4T时, y(4T)＝0.982 t＝5T时, y(5T)＝0.993…
y(t)
1
0.632
B A86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
R
U1(t) i(t) C U2(t)
T 设 T RC
RC
dU 2 (t dt
)
U
2
(
t
)
U1
(t
)
描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：
T dy(t) y(t) Kr(t) dt
T RC,
K 1,
T duc dt
uc
u
dh T AR, K R, T dt h KQin
(t)
0
t0
0 t t
1
E
t
(b) 脉冲信号
• 用来表示冲击型的脉冲扰动 • 理想的δ(t)函数无法得到，持续时间非常短的脉
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
第3章 时域分析法
第 3章 时域分析
3.2.2 零输入响应与零状态响应
1. 系统的 0 初始状态与 0 初始条件
对于n阶系统，一般称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的 0 初始
状态，称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的初始条件。 在系统微分方程的时域经典解法中，需要采用初始条件来确定 齐次通解的待定系数。也就是说：系统的初始条件可以通过奇异 函数匹配法以及初始状态和外激励产生的零状态响应及其各阶导 数的初始值 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 共同确定。 显然，在时域经典解法中初始条件的确定需要大量计算工作， 使微分方程的求解过程过于繁琐。而在 s 域内的Laplace变换方 法，可直接利用LTI系统已知的初始状态求解微分方程，避免了 确定初始条件的繁琐计算（详见第5章）。
第 3章 时域分析
齐次通解 yh (t ) 由微分方程的特征根决定。
表3-1 几种可能的特征根及其对应的齐次通解
几种可能的特征根 单实根
i
r 1
对应的齐次通解 yh (t )
Ci e t
Cr 1i e t Cr 2i r 2 e t C1i e t C0 e t
f (t ) Ae
st
根据式中 A 和 s 的不同取值，具体有下面三种情况： (1) 若 A = a1和 s =ζ 均为实常数，则 f (t) 为实指数信号
f (t ) Ae a1e
st
t
第 3章 形如图3.3-1所示。 由图5.3-1可知：当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数增长； 当 0 时， f (t ) 则等于常数 a ； 当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数衰减。
时域分析法
动,试分析系统在x扰动下的特性。
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：
第3章-时域分析法lj
④假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其他极 点的1/5或更小，并且附近又没有闭环零点，则可以认为系统的 响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。
3.5 系统的稳定性分析
3.5.1 系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件
所谓稳定性，是指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态， 在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否恢复到原来的平衡 状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。
特征方程式的根为
要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系 统稳定的充分必要条件是：
（3.26）
3.5.2 劳斯判据
（1）首先列出系统特征方程式
（2）根据特征方程式列出劳斯数组表 （3）根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判 断系统的稳定性。劳斯判据的内容如下：
①如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征 方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定
暂态性能
在本章中，时域中评价系统的暂态性能，通常以系 统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
暂态性能指标（1） 1)延迟时间td ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 2)上升时间tr ：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短， 响应速度越快。对于有振荡的系统，单位阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所 需的时间为上升时间。 3)峰值时间tp ：阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。
（3.6）
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
稳态性能
稳态误差ess ：
在图3.5所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表示。
定义：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即
chap3控制系统的时域分析法2013
ai 0
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F (s) ansn an1sn1a1s a0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
sn
an an2 an4
sn1 an1 an3 an5
sn2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
一、单位阶跃响应：
R(s) 1 s
Y(s) 1 1 T s(Ts 1) s Ts 1
t
y(t) 1 e T
在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随 时间变化曲线为一条指数曲线。
yt
1
0.632
斜率 1 T
y
t
e
t T
0.865 0.950 0.982
0
T 2T 3T 4T
t
响应曲线具有非振荡特征：
t=T, y(t)=0.632;
t=2T, y(t)=0.865;
t=3T, y(t)=0.95;
t=4T, y(t)=0.982;
dy (t )
1 t eT
1
dt
T
t0
T
一阶系统的单位阶跃响应如果以初始 速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰 好为T。
一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其 时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长短 反映了系统过程的快慢。
s
例：系统特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0
判断系统是否有闭环极点在S的右半平面，并验有几个根在
s=-1的右边。 ROUTH’S TABLE：
s3 2 13 s2 10 4ຫໍສະໝຸດ 将s=z-1代入原方程得：
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F (s) ansn an1sn1a1s a0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
sn
an an2 an4
sn1 an1 an3 an5
sn2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
一、单位阶跃响应：
R(s) 1 s
Y(s) 1 1 T s(Ts 1) s Ts 1
t
y(t) 1 e T
在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随 时间变化曲线为一条指数曲线。
yt
1
0.632
斜率 1 T
y
t
e
t T
0.865 0.950 0.982
0
T 2T 3T 4T
t
响应曲线具有非振荡特征：
t=T, y(t)=0.632;
t=2T, y(t)=0.865;
t=3T, y(t)=0.95;
t=4T, y(t)=0.982;
dy (t )
1 t eT
1
dt
T
t0
T
一阶系统的单位阶跃响应如果以初始 速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰 好为T。
一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其 时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长短 反映了系统过程的快慢。
s
例：系统特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0
判断系统是否有闭环极点在S的右半平面，并验有几个根在
s=-1的右边。 ROUTH’S TABLE：
s3 2 13 s2 10 4ຫໍສະໝຸດ 将s=z-1代入原方程得：
第三章 时域分析法
1 h()
0.9 h()
td
0.5 h()
td
0.1 h()
0 tr tp
ts
单位阶跃响应曲线
响延应迟曲时线间第t一d ：次
达到稳态值的一 半所需的时间。
0.02或 0.05上升时间 tr :
响应曲线从稳态值 的 10%上升到 9t 0%，所需的时间。
峰值时间 t p :响应曲
线达到超调量的第一个 峰值所需要的时间。
s2 = -n - n 2 -1 = -1/ T2
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
C(s)
29
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) =
n2
s(s 2n )
闭环传递函数：
C(s) R(s)
=
s2
n2 2ns
n2
30
二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 = 0
解方程求得特征根：
s1,2 = -ns n 2 -1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
h(tp)于终值之差的 百分比，即
单位阶跃响应曲线
tr 或t p 评价系统的响应速度；
% = h(tp ) - h() 100%
h()
t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度或振荡最大峰值。
17
注意事项：
%, ts及ess三项指标是针对阶跃响应
而言的，对于非阶跃输入，则只有
=
t
- T(1-
-1t
eT
)
=
t
-
T
-1t
Te T
因为
-1t
e(t) = r(t) - c(t) = T (1- e T )
第三章 时域分析法
, 2n
F J
F F
Fc 2 JK
引入两个新的参量
n——无阻尼自然频率或固有频率 ——阻尼比
特征方程(characteristic equation)：s2 2ns n2 0
特征根：
s1,2 n n 2 1
过阻尼 overdamping
临界阻尼
critical damping
1 1
初始状态为零的系统，在典型外作用下输出量的动态过程。
(1) 单位阶跃响应： H (s) (s) R(s) (s) 1
s
h(t) L1[(s) 1] s
(2) 单位斜坡响应：
Ct
(s)
(s)
R(s)
(s)
1 s2
ct
(t)
L1[(s)
1 s2
]
(3) 单位脉冲响应： K(s) (s) R(s) (s) 1 (s)
(s s1) (s s2 ) s
C3 C1es1t C2es2t
式中：
C1
(s1
n2
s2 )s1
C2
(s2
n2
s1)s2
C3 1
1) 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应(Unit step response of overdamped second order system)
1 s1,2 n n 2 1
0 1 s1,2 n jn 1 2 jd
n
——实根模值
d n 1 2 ——阻尼振荡角频率
• 特征根在s平 面上的分布
0 1 j
n
arccos
jn 1 2
n
n
jn 1 2
• 时域响应解
C(s)
(s)
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根据这个思路分析系统稳定的充要条件。
设系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
num(s) den(s)
特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0
如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根 i 和r对 共轭复数根 knk jnk 1 2 ,则在单位脉冲函数 (t)
的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为
m
Kr (s Z j )
C(s) q
j 1 r
1
(s Pi ) (s2 2knks 2nk )
i 1
k 1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
q
r
c(t) ieit eknkt (k cosdkt Ck sin dkt)
i 1
k 1
5
稳定与不稳定系统的示例
f
A
A'
Af
图a 摆运动示意图
图b 不稳定系统
d
c
f
图a为稳定的系统。 图b 为不稳定系统。
A 图c 小范围稳定系统
图c中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的， 故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。
3.1.1 稳定性 的概念
3.1.1 稳定性 的概念
• 判别系统是否稳定的问题，称为绝对稳定 性分析。
（3-28）
式中
dk nk 1 2
q
r
c(t) ieit eknkt (k cosdkt Ck sin dkt)
i 1
k 1
（3-28）
dk nk 1 2
式（3-28）表明
➢ 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim c(t) ，0此时系统是稳定的。
系统稳定的必要条件是系统特 征方程的系数同号，而且都不 为零。
主讲人：肖纯
15
3.1.2 系统稳定的条件
已知系统的特征方程为
D(s) s4 s3 s2 s 1 0
判别系统的稳定性。
主讲人：肖纯
16
3.1.3 劳斯稳定判据
设闭环系统的特征方程为
劳斯表
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
• 稳定性的代数稳定判据 • 李雅普诺夫稳定判据 • 奈奎斯特稳定判据
主讲人：肖纯
14
3.1.2 系统稳定的条件
an1annFra biblioteki 1
si
特征根和系统之间的关系：
an2
an
n
si s j
i, j1
i j
an3
an
n
sis j si
i, j,k 1
a0
an
(1)n
n i 1
si
系统稳定性必要条件：
第3章 时域分析法
校正方法（控制器设计方法）
滞后-超前、PID、LQ最优等
系统 建模方法
（机械，电气， 机理或实验
过程等）
数学模型
（Tf, Ss, Zpk)
性能分析
若性能
稳定性、 动态性能、
不满足要求
对系统进行校正
鲁棒性等
主讲人：肖纯
1
本章的主要内容
3.1 稳定性分析 3.2 暂态性能分析 3.3 稳定性能分析 3.4 MATLAB辅助分析控制系统时域性
an5
a n 1
b3
1 a n 1
an a n 1
an6 an1an6 an an7
an7
a n 1
直至其余 全为0。
c1
1 b1
a n 1 b1
an3 b1an3 b2 an1
b2
b1
c2
1 b1
a n 1 b1
an5 b1an5 b3an1
• 事实上，对于稳定或者不稳定的系统，还 需要进一步分析系统稳定或者不稳定的程 度，这称为系统的相对稳定性分析。
主讲人：肖纯
8
3.1.2 系统稳定的条件
稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种 恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特 性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建 立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各 信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系 统采用上述的稳定性的定义。
主讲人：肖纯
9
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作为扰动来讨论
系统的稳定性。
(t)
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉
冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的
作用，如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛到原来
的零平衡状态，即
lim c(t) 0
t
该系统就是稳定的。
主讲人：肖纯
4
3.1.1 稳定性 的概念
• 当系统受到扰动作用后，其状态偏离了平 衡状态，当扰动撤销后，
• （1）如果系统的输出响应经过足够长的时 间后，最终能够回到原先的平衡状态，称 此系统是稳定的。
• （2）反之，如果系统的输出响应逐渐增加 趋于无穷，或者进入振荡状态，则系统是 不稳定的。
主讲人：肖纯
t
➢如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的 瞬态分量是发散的，此时有 lim c(t) ，系统是不稳定的。
t
如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征 根均有负实部，则c（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处 于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态。对于大 多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的， 所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。
劳斯表
劳思稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳思表的 第一列数的符号相同。 而且，系统正实部特征根的个数等于劳思表第一列数 的符号变化次数。
劳斯表构成：
b1
1 a n 1
an a n 1
an2 an1an2 an an3
an3
a n 1
b2
1 a n 1
an a n 1
an4 an1an4 an an5
3.1.2 系统稳定的条件
线性定常系统稳定的充分必要
条件：闭环系统特征方程的所
有根都具有负实部，或者说闭
环传递函数的所有极点均位于
为S平面的左半部分（不包括
虚轴）。
主讲人：肖纯
13
3.1.2 系统稳定的条件
系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。 但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：
能
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本章的主要内容
3.1 稳定性分析
3.2 暂态性能分析
3.3 稳定性能分析
3.4 MATLAB辅助分析控制系统时域性 能
主讲人：肖纯
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3.1.1 稳定性 的概念
系统稳定是保证系统能正常工作 的首要条件。稳定性是控制系统 最基本的性质。
稳定性是指控制系统偏离平 衡状态后，自动恢复到平衡 状态的能力。