数模第二次作业

三、问题分析
食饵看作食用鱼，捕食者为鲨鱼，鲨鱼只捕食大鱼而小鱼免遭捕获。大鱼、 小鱼和鲨鱼在时刻 t 的数量分别记作 x1 (t ), x2 (t ), y (t ) ，因为大海中资源丰富，假 设食饵独立生存时以指数规律增长，小鱼要长成大鱼，（相对）增长率为 r1 ，即
x1 r1 x ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成
易知 t1 t 2 ，即兔子被狼所捕，不吃窝边草也是有危险的。
现在我们来做另一种假设。兔子依然沿直线归巢， 狼每次沿着直线方向奔向兔子，易知狼的行进轨迹为曲 线，其上每一点的切线方向时刻指向兔子所在的位置。 在这种情况下，狼的速度满足一下关系
( dx 2 dy 2 ) ( ) ( 2 v0 ) 2 dt dt ( 6)
四、模型建立与求解
令 (1), (2), (3) 式右端为 0 ，求得方程 (1), (2), (3) 的平衡点为
d bd b P (0,0,0), P ' ( , , ) c cr1 a
（顺序依次为大鱼，小鱼和鲨鱼）
P 点是平凡平衡点且明显不稳定， P ' 是稳定的。
一、问题重述 设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西 100m 处。 假设兔子与狼同时发现 对方，并开始了一场追逐。兔子往正北 60m 处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假 设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。 问兔子能否安 全回到巢穴。
进一步可以推出
dx dt (10)
将上式带入消去变量 t 后可得
d2y dx 2 1 1 1 2 100 x dy ( )2 1 dx (11)
令
dy p ，则上式化为 dx
百度文库
dp dx
1 p 1
2

1 1 2 100 x
(12)
分离变量并两边同时积分，可得
ln( p p 2 1) C 1 ln(100 x) 2 (13)
( 2)

捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为 d ，即 y dy ，而食 饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且使其增长，设
这种作用与食饵数量成正比，于是 y (t ) 满足

y (t ) cx1 y dy
(3)
比例系数 b 反映了食饵对捕食者的供养能力。
(100, v0t ) 处 ， 狼 所 在 位 置 为 P ( x(t ), y (t )) 。
首先假设这是一只简单的兔子， 狡兔三穴是不可能了。 同时这也是一 只精通物理的狼， 且直接蹦向兔子的 巢穴了。 此时，兔子归巢所需时间为
t1
60 v0
( 4)
而狼到达巢穴需要
100 2 60 2 10 34 2 v0 v0 (5)

正比，比列系数为 a , 于是 x1 (t ) 满足方程
x1 r1 x1 ax1 y

(1)
比列系数 a 反映了捕食者掠取食饵的能力。 对小鱼来说，大鱼会生产小鱼，设自然增长率为 b ，又小鱼长成了大鱼而造 成小鱼数量的减小。于是 x2 (t ) 满足方程
x2 bx1 r1 x2

y 1 1 ( (100 x) 2 20(100 x) 2 ) + C ' 2 15
3
(17)
由 y (0) 0 C ' 66.667
1 故 y (100 x) 2 10(100 x) 2 66.667 30
3 1
(18)
因为 y (100) 66.667 60 ，即狼兔子可安全到达。
由图中的几何关系即倒数意义，有以下关系
v ty dy 0 dx 100 x (7 )
移项可得
dy (100 x) (v0t y ) dx (8)
对上式进行变形，可化为
( dx 2 dy 2 ) (( ) 1) (2v0 ) 2 dt dx 2 v0 dy ( )2 1 dx (9)
一、问题重述 如果在食饵----捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成 年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求 平衡点.
二、假设和符号说明 大鱼、小鱼和鲨鱼在时刻 t 的数量分别记作 x1 (t ), x2 (t ), y (t ) 小鱼增长率 r1 大鱼减少系数 a 小于自然增长率 b
二、假设和符号说明
v0 兔子速度 t 时刻 t1 兔子归巢时间 t 2 狼到兔巢时间 ( x(t ), y (t )) 狼的位置坐标
三、问题分析 从两方面考虑， 假设狼直线过去依然不能捕到兔子， 那就没必要继续探讨了； 若不是，考虑狼的速度时刻改变，切线方向为兔子方向，重新建立模型。
四、模型建立与求解 设在零时刻，兔子所在位置为 (100,0) ，狼在原点 (0,0) 。 t 时刻，兔子到达
结合初始条件 p | x 0 0 C ln 10 由上式得
p p2 1 100 x 10 (14)
上式分子有理化可得
p p2 1 10 100 x (15)
重新整理上式得
p 1 100 x 10 ( ) 2 10 100 x (16)
上式对 x 积分可得