第9周作业答案_918807116

1.9 两个同心均匀带电球面, 半径分别为R 1、R 2 . 已知外球面电荷面密度为+σ , r > R 2处E ≡ 0 .求：(1)内球面电荷面密度σ 1 (2)两球面之间r 处电场E (3) r < R 1处E

解：(1) 此为球对称场. 由r > R 2处E ≡ 0和高斯定理 , 两球面上总电量=0 ∴ σ1 = - (R 2/R 1)2 σ

(2) R 2 > r > R 1时 E = - Q r / (4πε0 r 3) = - R 22σ r / (ε0 r 3) (3) r < R 1时 , E = 0

1.11 H 核外电荷体密度ρ= -

e a π1

3e

-21

r a /

a 1=5.29⨯10 -11 m

求：(1)核外总电量q (2) r 处电场E 解；(1) q = ⎰ ρ dV = -

e a π1

3⎰0

∞e

-21

r a /4πr 2 dr = - e

(2)核外电荷为球对称分布, ∴核外电荷 r 处电场等于半径为r 的球体内电荷(设为q 内)集中在原点的点电荷的电场. 此外原点处还有核电荷+e q 总= q 内+e

∴E = q 总r /(4πε0 r 3

)=e r (2r 2

/a 12

+2r/a 1+1)e

-21

r a //(4πε0 r 3)

1.15 AO=OB=l =半径, q>0. (1)把单位正电荷从O 沿圆弧OCD 到D 点, 求电场力对其做功; (2) 把单位负电荷从D 沿AD 延长线移到无限远, 求

电场力对其做功.

解: (1) –q 对正电荷的作用力与位移垂直, 作功为零

静电场力做功与路程无关, 所以q 对正电荷做功等于从O 直接到D 做功

W=⎰Fdr=⎰l

l 3qdr/(4πε0 r 2)= q/(6πε0 l )

(2) W=-⎰∞l 3qdr/(4πε0 r 2)+ ⎰∞l qdr/(4πε0 r 2) =-q/(12πε0l )+q/(4πε0l )=q/(6πε0 l )

说明: 只要是将单位负电荷从O 移到无限远, 电场力对其做功都是q/(6πε0 l ), 与具体过程无关.

1.16 求证：若E 线为平行直线,则E 必为匀强场 证明：如图回路

- E 1d l +E 2 d l =0 ∴ E 1=E 2

如图高斯面 - E 3dS+E 4 dS=0 (无电荷) ∴E 3=E 4 即: 沿E 方向和⊥E 的横截面E 处处相等,必为匀强场

1.19 长直共轴内外圆筒,半径为a 、b, 其上电荷均布线密度为λ、-λ .求：(1)U 分布 (2)内外圆筒的∆U 解：(1)由场的对称性E =E r (柱坐标r,φ,z) 由高斯定理

r>b 时E =0 , 该区域与∞等电势 ∴ U=0

b>r >a 时E=E r =λ/(2πε0r) ∴U(r)=⎰r

b

E r dr=λ(2πε0l ) -1 ln(b/r)

a>r 时E =0 U(r)=U(a)=λ(2πε0)-1 ln(b/a) (2) ∆U=U(a) - U(b)=U(a)=λ(2πε0)-1 ln(b/a)

1.20 设H 原子基态时核外电荷为球对称分布，电荷密度为

E 2 dS

ρ(r)=-qe -2r/a /(πa 3), 其中q 为电子电量(大小)、a 为波尔半径。求：(1)核外电荷产生的电场电位；(2)全部电荷产生的电场电位。 解：建立如图坐标，取核为原点O. 核为质子，电量q.

(1) 取dv’=r’2sin θ’dr’d θ’d φ’ U(核外电荷)=⎰ρ(r’)dV’/(4πε0ζ) =041πε⎰π20

ρ(r’)d φ’⎰r’2dr’⎰π0

sin θ’ d θ’/(r’2+r 2-2r’rcos θ’)1/2

=021ε⎰ρ(r’)r’2dr’[(r’2+r 2-2r’rcos θ’)1/2/r’r]π0

=021ε⎰ρ(r’)r’2

[(r’+r)-⎪r’-r ⎪]dr’/r’r

=

1

ε[⎰r 0

ρ(r’)r’2dr’/r+⎰r 0

ρ(r’)r’dr’] = -3

0a q πε{-r

a 43[(2r 2/a 2+2r/a+1)e

-2r/a

-1]+

4

2a (2r/a+1)e -2r/a }

=

4πεq [(1/a+1/r)e -2r/a -1/r]

(2) U=U(核外电荷)+U(核电荷)=U(核外电荷)+q/(4πε0r) =

4πεq (1/a+1/r)e -2r/a

说明：还可以先由高斯定理计算出电场强度E ，然后按定义计算电位U

2.2 如图， 半径为R 1的导体球, 球外为同心导体球壳. 已知内球电位为零, 球壳带电Q. 求内球电量和球壳

电位.

解: 设内球电量为q. 则球壳内面电荷为-q 、球壳外面电荷为(Q+q) 于是内球电位为

U 球=(Q+q)(4πε0R 3)-q/(4πε0R 2)+q/(4πε0R 1)=0 Q/R 3=q(1/R 2-1/R 1-1/R 3)=0 q=R 1R 2Q/(R 1R 3-R 2R 3-R 1R 2) 球壳电位为

U 壳=q/(4πε0R 3)-q/(4πε0R 3)+(Q+q)(4πε0R 3)

= (Q+q)(4πε 0R 3)=(R 1-R 2)Q/[4πε0(R 1R 3-R 2R 3-R 1R 2)] 说明: 上面多次应用均匀带电球面(q,R)的电位关系

U 球面内= U 球面=q/(4πε0R) U 球面外(r) =q/(4πε0r)

2.5 半径为R 的中性金属球A 内有两个球形空腔B 和C. q 1、q 2位于B 、C 的中心.OP=r>>R. 求：作用在A 、q 1、q 2、q 上静电力

解：设B 、C 空腔表面均匀带电 -q 1、-q 2 ,使q 1、-q 1在B 腔外的电场为零以及q 2、-q 2在C 腔外的电场为零.

于是A 球表面带电(q 1+q 2),这些电荷在表面上不均匀分布, 与q 共同作用使整个球内电场为零。这样所有电荷的在金属内部的总电场为零，由唯一性定理, 上述假设电荷分布即为真正分布。 ∴q 1、q 2处外电场为零, 受力F q1=F q2=0

由于r>>R ∴ A 表面电荷可看作集中在o 处的点电荷，即近似A 球表面带电(q 1+q 2)在表面上不均匀分布

∴F A = -F q = q(q 1+q 2) r /(4πε0r 3) 沿其连线为斥力

2.9 三个共轴金属圆筒，长度都是l , 半径分别为a 、b 、c,里外两筒

A