连续型随机变量及其概率密度函数
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§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
； ； ；
P{ X < 3σ } = 2Φ(3) 1 = 0.9974
可见, 的随机变量X， 可见 服从正态分布N ( , σ 2 )的随机变量 ，虽然理论上可以 取任意实数值， 取任意实数值，但实际上它的取值落在区间( σ , + σ )内的概 率约为68.26 %;落在区间( 2σ , + 2σ )内的概率约为 内的概率约为95.44 %,落 率约为 落在区间 落 2 ( 内的概率99.74%.因此 服从正态分布 N ( , σ ) 因此,服从正态分布 在区间 3σ , + 3σ )内的概率 因此 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到 的随机变量 落在区间 ( 3σ , + 3σ ) 之外的概率约 还不到 千分之三，这是一个小概率事件， 千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可 能发生，这就是著名的“ 准则． 能发生，这就是著名的“ σ ”准则．它在实际中常用来作为 3 质 量控制的依据． 量控制的依据． 在自然现象和社会现象中, 在自然现象和社会现象中 大量的随机变量都服从或近似 服从正态分布， 测量误差、炮弹落点距目标的偏差、 服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、 的成绩等． 的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从 正态分布，因此， 正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重 要的地位． 要的地位．
P{X ∈(x0 , x0 + l)}= P{x0 < X < x0 + l }= ∫
x0 +l
x0
f (x)dx = ∫
x0 +l
x0
1 l dx = ba ba
（2）若X～U (a，b ) ，则X的分布函数为 ） ～ 的分布函数为
x≤a 0， x a F ( x) = ， a< x<b b a x≥b 1 ， （3） f (x) 和 F (x )的图形分别为 ）
（2－20） － ）
图2.3
（λ >0） ） （2—21） ） 则称X服从参数为 指数分布(Exponential Distribution),记 则称 服从参数为λ 的指数分布 记 为X ~ E (λ ) ，其分布函数为
2. 指数分布 定义2.10 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为 λ e λ x , x>0 f ( x) = x≤0 0,
( x) =
1 e 2π
x
x2 2
x∈R
（2—25） ）
x2 2
它的分布函数特记为Φ (x)，即
Φ ( x) = ∫ ( x )dx =
∞
wk.baidu.com
1 2π
∫
x ∞
e
dx
x∈R
（2—26 ) 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图 所示： 所示：
2
2
1
1
因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,
（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 的事件 ）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件 也不一定是必然事件； 也不一定是必然事件； 落在某一区间的概率时， （2）在计算连续型随机变量 落在某一区间的概率时，可 ）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的 实数 x1 , x2 (x1 < x2 ) ，有 P{x1 < X ≤ x2 } P{x1 ≤ X ≤ x2 }＝ {x1 ≤ X < x2} P ＝ x P{x1 < X < x2 }＝ ∫ x f ( x )dx (2—17) ＝ 这样， 除可数个点外导数处处连续, 这样，如果 F (x ) 除可数个点外导数处处连续,那么在F (x )的 而在其它点处f(x) f(x)的值可任意补充 导数连续点处 f (x) = F ′ (x ),而在其它点处f(x)的值可任意补充 定义,不妨取为0,于是可得到X 0,于是可得到 定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数
x
σ
σ
2 证明 因为 X ~ N ( , σ ) ,
F(x) = P{X ≤ x} = P{
X
所以
≤
x
σ
} = P{X ≤
x
σ
} = Φ(
x . )
σ
推论 若 X ~ N ( , σ 2 ) ，则对于任意实数x1 < x2 ，有 （2－30） － ） 利用（ ），可将一般正态分布的概率计算转化为标 利用（2—30），可将一般正态分布的概率计算转化为标 ）， 准正态分布的概率计算， 准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由 附表2获得 这样一般正态分布的概率计算就可解决． 获得， 附表 获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决．
特别地， 特别地，如果 X
~ N , σ 2
(
) ，则对任意 k > 0，有
X P{ X < k σ } = P < k = 2Φ (k ) 1 σ
， 当k = 1、2、3时，分别有 、 时 P{ X < 1σ } = 2Φ(1) 1 = 0.6826
P{ X < 2 σ } = 2Φ(2) 1 = 0.9544
是概率密度函数， 由于 (x)是概率密度函数，因此 有
+∞ ∞
+∞ 0
∫
+∞ ∞
1 2π
e
x2
2
从而, dx = 1, x ∈ R . 从而
∫
∫
e
e
x2
2
dx = 2π
π
(2—27） ）
(2—28） ） 2 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到． 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到．
易知:若 易知 若 X ~ N ( , σ ) ,则 X = σ ~ N (0, 1) . 则 * 事实上,对于任意实数 事实上 对于任意实数 x , X 的分布函数
2
*
X
图片2.5 图片
F (x) = P{X * ≤ x} = P{
=
X u
σ
≤ x} = P{X ≤ σ x + }
dx =
∫ = Φ( x )
图2—6 另外, 还有几个经常用到的公式： 另外 还有几个经常用到的公式： 若X~ N (0, 1)，则对于任 意实数x, x1 , x2 ,( x1 < x2 )，有 ， （1） P{x1 < X ≤ x2 } = Φ( x2 ) Φ( x1 ) ； ） （2） P{ X ≤ x} = Φ( x) Φ( x) = 2Φ( x) 1 ； ） （3） P{ X ≥ x} = 2[1 Φ( x)] . ）
f ( x) = 1 2π σ e
( x )2 2σ 2
x∈R
1 F ( x) = 2π σ
∫
x
∞
e
( x )2 2σ 2
dx,
x ∈ R,
（2－24） － ）
特别地, 标准正态分布, 特别地 当 = 0, σ = 1时，则称正态分布 N (0, 1)为标准正态分布 它的概率密度函数特记为 (x)，即
f ）（非负性 （1）（非负性） 对任意的实数 x ， ( x )≥0； ）（非负性） ； +∞ ）（规范性 （2）（规范性） ∫ f ( x)dx = 1 ）（规范性） （2—16） ） ∞ 反过来， 满足上述性质(1)和 则 反过来，若已知一个函数 f (x )满足上述性质 和(2),则 f (x ) 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数 的概率密度函数． 一定是某连续型随机变量 的概率密度函数． 另外，对连续型随机变量X的分布 还具有如下性质： 的分布， 另外，对连续型随机变量 的分布，还具有如下性质： x1 , x2(x1 ≤ x2 ), P{x1 < X ≤ x2 } F ( x ) F ( x ) = ∫ x f ( x)dx ； 1.对于任意实数 对于任意实数 ＝ x 2.连续型随机变量 的分布函数F (x ) 是连续的 但反之不真； 连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真 但反之不真； 连续型随机变量 3.连续型随机变量 取任一确定值的概率为 ；即对于任意 连续型随机变量X取任一确定值的概率为 连续型随机变量 取任一确定值的概率为0； P 实数 x ，{X = x} = 0； ； 事实上， 的连续性即知: 事实上，由（2－12）和 F (x ) 的连续性即知 － ） P{X = x} = F ( x ) F ( x 0) = 0
（2—19） ） 则称X服从区间 服从区间(a, 内的均匀分布(Uniform Distribution),记 内的均匀分布 则称 服从区间 b)内的均匀分布 记 为 X ～U(a, b)． ． 均匀分布的特征： 均匀分布的特征： 则落在（ ） （1） 若X～U(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概 ） ～ 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 事实上， 事实上，对于任意一个长度的子区间( x0 , x0 + l ) (a, b) ,
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
(2－22） － ） 指数分布的概率密度函数 f (x)和分布函数F (x ) 的图形分别为
1 e λ x , F ( x) = 0 ,
x>0 x≤0
图2.4
生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、 生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 因此，指数分布在生存分析、 因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用． 应用． 3．正态分布 ． （1）正态分布的概念 ） 定义2.11 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为 （2－23） － ） 和σ 为常数且σ > 0，则称 服从参数为 , σ 2的正态分布 则称X服从参数为 其中 X ~ N ( , σ 2 )，正态分布也叫高 ），记为 正态分布也叫高 （Normal Distribution），记为 ）， 斯分布（ 斯分布（Gauss）, 其分布函数为 ）
2 1
F ' ( x)， f ( x) = 0，
在F ' ( x)的连续点处 在F ' ( x)的不连续点处
(2－18) －
二、常见的几种连续型分布 1．均匀分布 ． 定义2.9 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为
1 b a f ( x) = 0 x ∈ ( a, b ) 其它
x2
2
dx =
（2）正态分布的特征 ） 2 具有如下特征： 若X ~ N(, σ ) ,则其概率密度函数 f (x)具有如下特征： 则其概率密度函数 (1) f (x) 的图像关于直线 x = 对称； 对称； P{ 由此便有 P{ X ≤ l} = P{ X ≥ + l} ； l < X ≤ } = P{ < X ≤ + l} ； 1 f ( ) = (2) f (x) 的最大值为 2π σ ； f (3) x离 愈远，(x) 值愈小 曲线y = f (x ) 以O x 轴为渐近线； 愈远， 值愈小,曲线 轴为渐近线； f (4) 对于确定的 , σ 越小，( ) 越大，X落在 附近的概率 越小， 越大， 落在 f σ 越大； 越大， 越小， 落在 附近的概率越小； 越大； 越大， ( )越小，X落在 附近的概率越小； (5) 曲线 y = f (x ) 的拐点是( σ , f ( σ ))和( + σ , f ( + σ ))
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
； ； ；
P{ X < 3σ } = 2Φ(3) 1 = 0.9974
可见, 的随机变量X， 可见 服从正态分布N ( , σ 2 )的随机变量 ，虽然理论上可以 取任意实数值， 取任意实数值，但实际上它的取值落在区间( σ , + σ )内的概 率约为68.26 %;落在区间( 2σ , + 2σ )内的概率约为 内的概率约为95.44 %,落 率约为 落在区间 落 2 ( 内的概率99.74%.因此 服从正态分布 N ( , σ ) 因此,服从正态分布 在区间 3σ , + 3σ )内的概率 因此 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到 的随机变量 落在区间 ( 3σ , + 3σ ) 之外的概率约 还不到 千分之三，这是一个小概率事件， 千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可 能发生，这就是著名的“ 准则． 能发生，这就是著名的“ σ ”准则．它在实际中常用来作为 3 质 量控制的依据． 量控制的依据． 在自然现象和社会现象中, 在自然现象和社会现象中 大量的随机变量都服从或近似 服从正态分布， 测量误差、炮弹落点距目标的偏差、 服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、 的成绩等． 的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从 正态分布，因此， 正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重 要的地位． 要的地位．
P{X ∈(x0 , x0 + l)}= P{x0 < X < x0 + l }= ∫
x0 +l
x0
f (x)dx = ∫
x0 +l
x0
1 l dx = ba ba
（2）若X～U (a，b ) ，则X的分布函数为 ） ～ 的分布函数为
x≤a 0， x a F ( x) = ， a< x<b b a x≥b 1 ， （3） f (x) 和 F (x )的图形分别为 ）
（2－20） － ）
图2.3
（λ >0） ） （2—21） ） 则称X服从参数为 指数分布(Exponential Distribution),记 则称 服从参数为λ 的指数分布 记 为X ~ E (λ ) ，其分布函数为
2. 指数分布 定义2.10 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为 λ e λ x , x>0 f ( x) = x≤0 0,
( x) =
1 e 2π
x
x2 2
x∈R
（2—25） ）
x2 2
它的分布函数特记为Φ (x)，即
Φ ( x) = ∫ ( x )dx =
∞
wk.baidu.com
1 2π
∫
x ∞
e
dx
x∈R
（2—26 ) 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图 所示： 所示：
2
2
1
1
因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,
（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 的事件 ）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件 也不一定是必然事件； 也不一定是必然事件； 落在某一区间的概率时， （2）在计算连续型随机变量 落在某一区间的概率时，可 ）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的 实数 x1 , x2 (x1 < x2 ) ，有 P{x1 < X ≤ x2 } P{x1 ≤ X ≤ x2 }＝ {x1 ≤ X < x2} P ＝ x P{x1 < X < x2 }＝ ∫ x f ( x )dx (2—17) ＝ 这样， 除可数个点外导数处处连续, 这样，如果 F (x ) 除可数个点外导数处处连续,那么在F (x )的 而在其它点处f(x) f(x)的值可任意补充 导数连续点处 f (x) = F ′ (x ),而在其它点处f(x)的值可任意补充 定义,不妨取为0,于是可得到X 0,于是可得到 定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数
x
σ
σ
2 证明 因为 X ~ N ( , σ ) ,
F(x) = P{X ≤ x} = P{
X
所以
≤
x
σ
} = P{X ≤
x
σ
} = Φ(
x . )
σ
推论 若 X ~ N ( , σ 2 ) ，则对于任意实数x1 < x2 ，有 （2－30） － ） 利用（ ），可将一般正态分布的概率计算转化为标 利用（2—30），可将一般正态分布的概率计算转化为标 ）， 准正态分布的概率计算， 准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由 附表2获得 这样一般正态分布的概率计算就可解决． 获得， 附表 获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决．
特别地， 特别地，如果 X
~ N , σ 2
(
) ，则对任意 k > 0，有
X P{ X < k σ } = P < k = 2Φ (k ) 1 σ
， 当k = 1、2、3时，分别有 、 时 P{ X < 1σ } = 2Φ(1) 1 = 0.6826
P{ X < 2 σ } = 2Φ(2) 1 = 0.9544
是概率密度函数， 由于 (x)是概率密度函数，因此 有
+∞ ∞
+∞ 0
∫
+∞ ∞
1 2π
e
x2
2
从而, dx = 1, x ∈ R . 从而
∫
∫
e
e
x2
2
dx = 2π
π
(2—27） ）
(2—28） ） 2 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到． 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到．
易知:若 易知 若 X ~ N ( , σ ) ,则 X = σ ~ N (0, 1) . 则 * 事实上,对于任意实数 事实上 对于任意实数 x , X 的分布函数
2
*
X
图片2.5 图片
F (x) = P{X * ≤ x} = P{
=
X u
σ
≤ x} = P{X ≤ σ x + }
dx =
∫ = Φ( x )
图2—6 另外, 还有几个经常用到的公式： 另外 还有几个经常用到的公式： 若X~ N (0, 1)，则对于任 意实数x, x1 , x2 ,( x1 < x2 )，有 ， （1） P{x1 < X ≤ x2 } = Φ( x2 ) Φ( x1 ) ； ） （2） P{ X ≤ x} = Φ( x) Φ( x) = 2Φ( x) 1 ； ） （3） P{ X ≥ x} = 2[1 Φ( x)] . ）
f ( x) = 1 2π σ e
( x )2 2σ 2
x∈R
1 F ( x) = 2π σ
∫
x
∞
e
( x )2 2σ 2
dx,
x ∈ R,
（2－24） － ）
特别地, 标准正态分布, 特别地 当 = 0, σ = 1时，则称正态分布 N (0, 1)为标准正态分布 它的概率密度函数特记为 (x)，即
f ）（非负性 （1）（非负性） 对任意的实数 x ， ( x )≥0； ）（非负性） ； +∞ ）（规范性 （2）（规范性） ∫ f ( x)dx = 1 ）（规范性） （2—16） ） ∞ 反过来， 满足上述性质(1)和 则 反过来，若已知一个函数 f (x )满足上述性质 和(2),则 f (x ) 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数 的概率密度函数． 一定是某连续型随机变量 的概率密度函数． 另外，对连续型随机变量X的分布 还具有如下性质： 的分布， 另外，对连续型随机变量 的分布，还具有如下性质： x1 , x2(x1 ≤ x2 ), P{x1 < X ≤ x2 } F ( x ) F ( x ) = ∫ x f ( x)dx ； 1.对于任意实数 对于任意实数 ＝ x 2.连续型随机变量 的分布函数F (x ) 是连续的 但反之不真； 连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真 但反之不真； 连续型随机变量 3.连续型随机变量 取任一确定值的概率为 ；即对于任意 连续型随机变量X取任一确定值的概率为 连续型随机变量 取任一确定值的概率为0； P 实数 x ，{X = x} = 0； ； 事实上， 的连续性即知: 事实上，由（2－12）和 F (x ) 的连续性即知 － ） P{X = x} = F ( x ) F ( x 0) = 0
（2—19） ） 则称X服从区间 服从区间(a, 内的均匀分布(Uniform Distribution),记 内的均匀分布 则称 服从区间 b)内的均匀分布 记 为 X ～U(a, b)． ． 均匀分布的特征： 均匀分布的特征： 则落在（ ） （1） 若X～U(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概 ） ～ 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 事实上， 事实上，对于任意一个长度的子区间( x0 , x0 + l ) (a, b) ,
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
(2－22） － ） 指数分布的概率密度函数 f (x)和分布函数F (x ) 的图形分别为
1 e λ x , F ( x) = 0 ,
x>0 x≤0
图2.4
生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、 生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 因此，指数分布在生存分析、 因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用． 应用． 3．正态分布 ． （1）正态分布的概念 ） 定义2.11 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为 （2－23） － ） 和σ 为常数且σ > 0，则称 服从参数为 , σ 2的正态分布 则称X服从参数为 其中 X ~ N ( , σ 2 )，正态分布也叫高 ），记为 正态分布也叫高 （Normal Distribution），记为 ）， 斯分布（ 斯分布（Gauss）, 其分布函数为 ）
2 1
F ' ( x)， f ( x) = 0，
在F ' ( x)的连续点处 在F ' ( x)的不连续点处
(2－18) －
二、常见的几种连续型分布 1．均匀分布 ． 定义2.9 若X的概率密度函数为 定义 的概率密度函数为
1 b a f ( x) = 0 x ∈ ( a, b ) 其它
x2
2
dx =
（2）正态分布的特征 ） 2 具有如下特征： 若X ~ N(, σ ) ,则其概率密度函数 f (x)具有如下特征： 则其概率密度函数 (1) f (x) 的图像关于直线 x = 对称； 对称； P{ 由此便有 P{ X ≤ l} = P{ X ≥ + l} ； l < X ≤ } = P{ < X ≤ + l} ； 1 f ( ) = (2) f (x) 的最大值为 2π σ ； f (3) x离 愈远，(x) 值愈小 曲线y = f (x ) 以O x 轴为渐近线； 愈远， 值愈小,曲线 轴为渐近线； f (4) 对于确定的 , σ 越小，( ) 越大，X落在 附近的概率 越小， 越大， 落在 f σ 越大； 越大， 越小， 落在 附近的概率越小； 越大； 越大， ( )越小，X落在 附近的概率越小； (5) 曲线 y = f (x ) 的拐点是( σ , f ( σ ))和( + σ , f ( + σ ))