例谈数形结合思想的应用

例谈数形结合思想的应用

中图分类号：g63 文献标识码：a 文章编号：1007-0745（2013）08-0195-01

摘要：数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性。“数缺形时少直观，形少数时难入微”。数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可以用形来说明数量关系。数形结合（或形数结合）就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题。这是一种重要的数学思维方法。

关键词：初中数学数形结合教学

教师在数学教学过程中，必然涉及很多的概念，数学概念是数学思维的细胞，它是在感觉、知觉、思维形成表象的基础上，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加下而逐步形成的理性认识结果，它蕴涵着丰富的思想内涵。在数学教学中，数学教师在无意识中将大部分知识的记忆问题推给了学生。无论是理解数学概念、推导数学公式，还是证明数学定理、解决实际问题，都需要数学记忆的参与。因此，不断地增强数学记忆能力，对于学好、用好数学是很重要的。数与形这两个基本概念，是数学的两块基石，数学在发展过程中，大体上都是围绕这两个基本概念而展开的。数形结合往往是借助几何图形，靠图形感知来“支持”抽象的思维过程，从而寻找数形之间的相依关系。由此可知，数形结合是沟通数形之

间的联系，并通过这种联系所产生的感知或认知的作用，、形成和谐完整的数学概念，或寻找问题解决途径的一种思想方法。从心理学角度来讲，它就是直观与抽象、感知与思维的结合。

一、数轴

数轴实现了数和形的首次结合，它充分发挥了数的准确，形的直观，将负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、实数的相关概念、不等式f组）的解集等知识将数和形有机的融合在一起，直观准确的反映了客观世界。例l如图1，已知ab是数轴上的点，请完成下列问题：如果点a表示数_3，如果点b表示数2，将a向右移动4个单位长度，将b向左移动7个单位长度，那么此时a、b两点间的距离是。

分析：此题就要求学生结合图形进行直观分析，以数和形为纽带，解决问题。

二、直角坐标系

直角坐标系是各种函数展示其优美身材的舞台，它就是升级版的数轴，其重要性不言而喻。在直角坐标系中，有序实数对与平面内点的一一对应关系，使函数与其图形的数和形的再度结合成为必然。初中阶段所学习的一次函数、反比例函数、二次函数无疑都是通过直角坐标系这一舞台来进行着数与形最完美的结合。特别是二次函数中抛物线图像的开口方向、对称轴及顶点的位置、图像与坐标轴的交点等与系数a、b，c关系密切。

三、勾股定理

勾股定理也是初中几何学中的一个重要内容，在教学过程中。可以借助这个重要定理的巧妙证明向学生强调数形结合的思想，使他们体会到数学的美妙，向他们展示智慧的魅力。就代数本身而言缺乏直观性，就几何本身而言，缺乏严密性。只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。上世纪上半叶，法国数学家笛卡尔建立了直角坐标系开创了数形结合新的历史篇章。通过直角坐标系，可以将代数和平面几何问题紧密的联系起来为许多实际问题的解决提供了新的思路和策略使许

多问题变得容易。

在直角坐标系下，一次函数对应一条直线，二次函数对应一条抛物线。这些都是初中教学的重要内容。特别是二次函数，是学生学习的难点之一同时又是数形结合的思想方法在初中数学中体现得

最为充分的部分。在平面直角坐标系下，二次函数公十所对应的图像抛物线的开口，顶点，对称轴，与坐标轴的交点等与其系数，有着非常密切的关系。只有牢固掌握这些关系，并灵活应用，才能学好二次函数。

四、结语

上面谈了数形结合在数学解题教学中的两方面情形，值得提到的是：数形结合在数学解题中，往往不是单方面的，而是交错进行和

具有互逆性的，关于这一点，从前面举过的例子可以领会到数形结合的例子较多，仅从举过的例子就足以说明，虽然代数、儿何、三角这几门学科各有其特点和思考问题的方法，但是完全有可能也完全有必要把这些学科的知识联系起来。因此，我们数学教师应该抓好代数、几何、三角的基础知识的前提下，有意识地、逐步地引导学生把这几门学科的知识结合起来，去分析问题和解决问题，从而进一步的加深对这些知识的理解，开拓思维，并逐渐建立数形结合的观点，学会一些数形结合的基本思路和方法，把所学的知识有机地统一起来，为进一步学习数学莫定坚实的基础。在使用数形结合方法的时候，必须结合教学内容和学生的实际，采取适当方法和措施，有意识地去体现和解释数学知识中抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维。对讲过的知识点必须及时总结和复习，强化这此知识，让它们在学生脑海中留卜深刻的印象，促使学生对概念的认识从感性上升到理性，数形结合是一种非常重要的思维方法，贯穿于数学发展的每一个阶段。数形结合的思想方法应用广泛，能化繁为简，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势，有极好的作用。在学习过程中，有意培养学生的数形结合思维，往往更容易看清事物的本质，收到事半功倍的效果。