数学综合测试(三)试题及答案(1)

高三数学综合测试（三）

一、选择题：

1、已知集合{}

2,R A x x x =≤∈

，{

}

4,Z B x =∈，则A B =

A.()0,2

B.[]

0,2 C.{}0,2 D.{}0,1,22、设变量x ,y 满足约束条件??

?

??≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为（ ）

A. 4 B .11 C . 12 D . 14

3、下列命题 ：①2x x x ?∈,≥R ；②2x x x ?∈,≥R ； ③43≥； ④“2

1x ≠”的充要

条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）

A. 0

B.1

C. 2

D. 3

4、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)3

2sin(π

-

=x y 的图象（ ）

A 、向左平移

B 、向右平移

C 、向左平移

D 、向右平移 5、已知函数2

()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内

必有实根（ ）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)

6、 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（ ） A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法

C ．①系统抽样法，②分层抽样法

D ．①②都用分层抽样法

7、α，β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件：①a //α、b β?；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距

离等于b 与β的距离，其中是a ⊥b 的充分条件的有 （ ） A ．①④ B ．① C ．③ D ．②③ 8、在ABC ?中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知

π65π65

π125π12

5

222b c a bc +-=, 222sin sin sin A B C += . 则角B 为 （ ）

A

4π B 6

π 3

12

C

D

π

π

９、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当2

0π

θ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则

实数m 的取值范围是（ ）

A ．()1,0

B ．()0,∞-

C ．??

? ??

∞-21, D ．()1,∞-

１０、一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路

程是（ ）

A ．1

B ．．4 D ．5 二、填空题：

11、62)x

展开式中，常数项是__________12、若||||1a b == ，a b ⊥ 且(23)a b +⊥ (k 4a b -

)，则实数k 的值为

13、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =， 则111213a a a ++=_____. 14、

?

--2

2

24dx x =________.

15、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a,b ∈{1，2，3，4},若|a -b| ≤1,则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 （分式表示） 三、解答题：

16.已知(sin ,cos )a x x =

，)cos ,(cos x x =，f (x )=?⑴ 求f (x )的最小正周期和单调增区间；⑵ 如果三角形ABC 中，满足f (A )=

1

2

，求角A 的值． 17.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1

2

AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

18.数列1313{}5, 4.n b b b b +==是递增的等比数列,且b （I ）求数列{}n b 的通项公式；

（II ）若2123log 3,42,n n m a b a a a a m =+++++≤ 且求的最大值。

19.过椭圆

22

1164

x y +=内一点M(1，1)的弦AB (1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的弦的中点的轨迹方程。

20.（本小题满分14分） 已知函数.2

3)32ln()(2x x x f -

+= （1）求f (x )在[0，1]上的极值；

（2）若对任意0]3)(ln[|ln |],3

1

,61[>+'--∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；

（3）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，2]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围.

21.选修4系列

选修4—5：不等式选讲

已知1a b c ++=，且a 、b 、c 是正数，求证：2229a b b c c a

++≥+++.

高三数学综合测试（三）参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、D

2、B

3、C

4、C

5、B

6、B

7、C

8、B

9、D 10、B 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11、６０ 12、6 13、105 14、2π 15、

58

三、解答题：（16-19题各13分，20-21题各14分，共80分） 16、解：⑴f (x )= sin x cos x +x 2

cos =

21x 2sin +x 2cos 2121+=22sin(2x+4π)+2

1…4分 最小正周期为π，…………………5分

单调增区间[k π-83π,k π+8π

]（k ∈Z ）……………………7分 ⑵由21)(=A f 得sin(2A+4π)=0, 4π<2A+4π<49π

,……………10分

∴2A+4

π=π或2π∴A =83π或87π…………………… 13分

17．（本小题满分13分）解：17.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），

M （1,0,

12），N （12,0,0），S （1,1

2,0）. 4分 （Ⅰ）111

(1,1,),(,,0)222

CM SN =-=-- ,

因为11

0022

CM SN ?=-++= ，

所以CM ⊥SN ……6分

（Ⅱ）1

(,1,0)2

NC =- ,

设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，

则10,2

210.2x y z x x y ?-+=??=?

?-+=??令，得a=(2,1,-2). ……9分

因为cos ,a SN =

=

所以SN 与片面CMN 所成角为45°。 ……13分

18. 解：（I ）由13213134

,5405

b b b b x x b b =?-+=?

+=?知是方程的两根，

注意到1133, 4.n n b b b b +>==得

221321234 2.

1,2,4

b b b b b b b ∴===∴===得

112

11

{}2,2n n n n b b b b q b --∴=∴==等比数列的公比为

…………6分 （II ）122log 3log 3132n n n a b a n n -=+=+=-+=+

121222[(1)2][2]1,{}3,1(1)31342

22

5840,127,

n n n m a a n n a m m m m

a a a m m m m m +-=++-+=∴--++++=?+?=+≤+-≤-≤≤ 数列是首项为公差为的等差数列.

a 整理得解得 m ∴的最大值是7 ………………13分

19. 解：(1）设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程可设为)1(1-=-x k y 。

?

????=++-=14

161)1(2

2y x x k y 得16)1(42

2=-++k kx x 得016)1(4)1(8)41(2

2

=--+-++k x k k x k ………3分

设，，则A x y B x y x x k k k (,)(,)()

,1122122

8114+=

-+而（，）是中点，则

。M AB x x 112

112

+= 综上，得，解得。811421

42

k k k k ()-+==-

∴-=--+-=直线的方程为即。AB y x x y 11

4

1450(),………7分

另法（直接求k ）：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)。

由，在椭圆上，得……（）与……（）A B x y x y 12122222

1641116412+=+= （）—（），得

21x x y y 22122212

164

0-+-=, 整理，得……y y x x k x x y y AB 2

12112121

4

3--==++?-()() 又（，）是的中点，则

，即M AB x x y y 11212

11212

+=+=,

x x y y k AB 12122231

4+=+==-,，代入（），得。

∴-=--+-=直线的方程为，即。AB y x x y 11

4

1450()

（2）设弦AB 的中点为P(x, y) A B M P ，，，四点共线， ∴=k k AB MP 即（）而，-

?++=--+=+=1

4112212121212x x y y y x x x x y y y , ∴-=--+--=()142211

44022x y y x x y x y ，整理，得轨迹方程为。……13分

20. 解：（I ）23)

13)(1(33323)(+-+-=-+=

'x x x x x x f ，

令13

1

0)(-==

='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3

1

0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；

当

)(,0)(,13

1

x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………3分 ]1,0[)(6

1

3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分

（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'--x x f x a 得

ln ln3ln(23)ln ln3ln(23)a x x a x x >+-+<-++或……………………5分

设，()ln ln3ln(23)h x x x =+-+ ，()ln ln3ln(23)g x x x =-++

依题意知]3

1

,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，

/2

()0(23)

h x x x =>+ ，

/2

26()023x

g x x x

+=

>+，………………………………6分 ]3

1

,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式成立，

当且仅当36

5

ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分 （III ）由.022

3)32ln(2)(2

=-+-

+?+-=b x x x b x x f

令x

x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2

2+-=+-+='-+-+=??则，

当]3

7

,0[)(,0)(,]37,

0[在于是时x x x ??>'∈上递增； 当]2,3

7[)(,0)(,]1,37[

在于是时x x x ??<'∈上递减 ……………………10分 而)2()3

7

(),0()37(

????>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于

???

?

?

??≤--=>-+

-+=≤-=028ln )2(037267)72ln()3

7(02ln )0(b b b ??? 6

7

74)72ln(2ln -+

+≤≤∴b ………14分

21、（Ⅰ）由条件得矩阵，

它的特征值为和，对应的特征向量为及；……………………3分

（Ⅱ

），椭

圆

在的作用下的新曲线的方程

为

．…………7分

(2)

解：由cos()4

π

ρθ-

=20x y +-= （1） ……2分

参数方程为2cos (sin x y ααα

=??=?为参数）

可化为直角坐标方程2

214x y += (2) ……4分 联立（1）（2）得两曲线的交点为64

(2,0),(,)55

……………………6分

所求的弦长=

5

=. ………………7分

（3）证明：左边=111[2()](

)a b c a b b c c a

+++++++ ………………2分 2111[()()()](

)(111)9.a b b c c a a b b c c a

=+++++++≥++=+++ …………6分 2229a b b c c a

∴

++≥+++. ………………7分