影子价格问题

两种原料在两个工厂的影子价格
工厂F1 A的影子价格（y1* ） B的影子价格（y2* ） 3/7 13/7 工厂F2 7/2 1/2 可见
A在F1 的影子价格小于在F2 的影子价格 B在F1 的影子价格大于在F2 的影子价格
∆b1 的变化范围 （L1 ） （L2 ） 15 ∆ b1 20 8 ∆ b1 8
VARIABLE VALUE X1 4.000000 LP问题的解 X2 2.000000 ROW 2) 3) 4)
剩余变量和松 弛变量的取值
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 4.000000 2
DUAL PRICES 1.500000 影子价格 （对 0.125000 0.000000 偶问题的解）
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 31.42857 VALUE 1.428571 2.142857 REDUCED COST 0.000000 0.000000 影子价格 （对 偶问题的解）
LP问题的解（对 应变量的取值） 剩余变量和松弛 变量的取值
VARIABLE X1 X2
x2 x1
z
（L2 ）
Max z = 6x1 +8x2 St. x1 +2x2 12 （原料A） 5x1 +2x2 20 （原料B） x1 ，x2 0
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 52.00000 REDUCED COST 0.000000 0.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 14.000000 2.000000 X2 8.000000 4.000000 5.600000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 12.000000 8.000000 8.000000 3 20.000000 40.000000 8.000000
x2
Max z = 2x1 +3x2 St. x1 +2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 ，x2 0
直线B
直线C
Q 3• 4
Q3
•
•
Q2
直线A
（6）当目标函数的直线顺时针旋转，其斜 率等于直线B的斜率时，直线Q1 Q2 上的任一 点都是最优解。 （7）当目标函数的直线继续顺时针旋转， x1 则顶点 Q1 是最优解。
2.4 灵敏度分析 1、价值系数的变化范围的确定
1）非基变量的系数 2）基变量的系数
2、右手项（资源总量）的变化范围的确定 3、技术系数的变化对最优解的影响
1）基变量系数变化了 2）非基变量系数的变化范围
2.4 灵敏度分析
2.4.1 目标函数系数的变化
1.用图解法
（1）当目标函数的斜率在直线B的斜率和直线 A的斜率之间变化时，顶点Q2 仍是最优解； （2）当目标函数的直线反时针旋转，其斜 率等于直线A的斜率时，直线Q2 Q3 上的任一 点都是最优解。 （3）当目标函数的直线继续反时针旋转， 介于直线A和直线C的斜率时，则顶点 Q3 是 最优解。 （4）当目标函数的直线继续反时针旋转， 其斜率等于直线C的斜率时，直线Q3 Q4 上的 任一点都是最优解。 （5）当目标函数的直线继续反时针旋转， 则顶点 Q4 是最优解。
可以买进这种资源；而当某种资源的影子价格低于市场价格时（特别是当影子价
格为零时），则企业可以卖出该种资源，以获得较大的利润。 3、企业在新产品投产之前，可利用影子价格，通过分析新产品使用资源的经济 效果，以决定新产品是否应该投产.
4、利用影子价格分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响。
5、利用影子价格可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益。 6、根据互补松弛定理可知，当一种资源的影子价格为0时表明这种资源尚未用 完，而当一种资源的影子价格大于0时，表明这种资源已经用完，属于紧缺资源， 增加这种资源可以增加总的利润。
直线B 直线C
假设c1 =2不变
由
2 c2
0.5
可得
3
Q4
Q3 Q2
直线A
0c2 4 （3）当c1 、c2 都变化时， 只要c1 、c2 满足 Q1 4 8 Z=2x1 +3x2 =9 x1
c1 c2
0.5
0
Q2 仍为最优解
单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解
F1 厂 原料A 原料B 30 10 F2 厂 12 20 合计 42 30
公司的OR分析人员根据经理提出的资源分配方案及各工厂提供的技术系 数、利润系数，为两厂分别建立了数学模型，并求出了模型的最优解：
F1 厂的数学模型为：
（L1 ）
Max z = 10x1 +8x2 St. 6x1 +10x2 30 4x1 + 2x2 10 x1 ，x2 0
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.428571 3) 0.000000 1.857143 NO. ITERATIONS= 0
（L1 ）
Max z = 10x1 +8x2 St. 6x1 +10x2 30 4x1 + 2x2 10 x1 ，x2 0
0
Q1 • 4
8 Z=2x1 +3x2 =14
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题的基本解
直线A的方程： x1 +2x2 = 8 直线B的方程： x1 目标函数 =4
x2 = 0.5x1 + 4 即 即
c1 c2
直线A的斜率： 0.5
0x2 = x1 + 4
x2 c1 c2 x1 z c2
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
Max z = 2x1 +3x2 St. x1 +2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 ，x2 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
目标函数的值 1)
14.00000
灵敏度分析
REDUCED COST 0.000000 0.000000 减少的代价
（原料A） （原料B）
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 10.000000 6.000000 5.200000 c1 的变化范围 X2 8.000000 8.666666 3.000000 c2 的变化范围 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE b1 的变化范围 2 30.000000 20.000000 14.999999 b2 的变化范围 3 10.000000 10.000000 4.000000
ALLOWABLE DECREASE 4.000000 8.000000 4.000000
2.5 影子价格和 灵敏度分析的应用
例2-4 长城化工公司有两个工厂F1 和F2 。 F1 厂生产两种产品： D1 和D2 ， F2 厂也生产两种产品： D3 和D4 。这4种产品的生产都需要使用原料A和B。 根据合同，公司每日可获得原料A和B分别为42公斤和30公斤。公司经理 提出了如下的原料分配计划：
影子价格为0，该资源在系统中供大于求
（3）系统内部资源数量和市场价格的任何变化都会引起影子价格的变化 3.影子价格在经济管理中的应用 若资源的影子价格高（低）于其市场价格，则该资源在系统中有（无）获 利能力应买入（卖出）该资源
影子价格在经营管理中的应用
1、影子价格说明增加哪一种资源对增加经济效益最有利。 三种资源的影子价 格为（1.5,0.125,0），说明首先应考虑增加资源A(即设备)，因为相比之下它能 给收益带来的增加最大。 2、影子价格又是一种机会成本。 企业经营决策者可以把本企业资源的影子价 格与当时的市场价格进行比较，当年该资源的影子价格高于市场价格时，则企业
RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 8.000000 2.000000 16.000000 16.000000 12.000000 INFINITY
约束总量的变化范围 ROW
b1 的变化范围 b2 的变化范围 b3 的变化范围
2 3 4
（原料A） （原料B）
最优解如下表所示： 10 8 0 0
CB XB
8 10
b
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/7 1/14 3/7
x4
3/14 5/14 13/7
x2 15/7 x1 10/7
z
220/7
单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解 目标函数的值
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
c1 的变化范围 c2 的变化范围
b1 的变化范围 b2 的变化范围
b的变化只影响原问题的基本解，不影响检验数（对偶问题的解）。
（L1 ）、 （L2 ）中b1 （原料A的总量）、 b2 （原料B的总量）分别在下 面的范围内变化时，对偶问题的最优解（即原料A、原料B的影子价格） 保持不变。 ∆b1 的变化范围 （L1 ） （L2 ） 15 ∆ b1 20 8 ∆ b1 8 ∆ b2 的变化范围 4 ∆ b2 10 8 ∆ b2 40