集合知识点汇总与练习

1.1.1 集合的含义与表示

一集合与元素

1. 集合是由元素组成的

集合通常用大写字母A B、C,…表示，元素常用小写字母a、b、c,…表示。

2. 集合中元素的属性

(1)确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。

(2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。

(3)无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。

3. 元素与集合的关系

(1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A读作“ a属于集合A”

(2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A,读作“ a不属于集合A”

4. 集合相等

如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

二集合的分类

1. 有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；

2. 无限集：集合中元素的个数是不可数的；

3. 空集：不含有任何元素的集合，记做?.

三集合的表示方法

1. 常用数集

( 1 )自然数集：又称为非负整数集，记做N；

(2)正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N";

(3)整数集：全体整数的集合，记做Z

(4)有理数集：全体有理数的集合，记做Q

(5)实数集：全体实数的集合，记做R

3. 集合的表示方法 (1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等

于8 的偶

数构成的集合。

(2)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔幵；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：{ 0,1,2,3，…，100}表示不大于100的

自然数构成的集合。

(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是{ x€ I | p(x) } .

注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”“、

或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准

确。

(4)图示法：主要包括Venn图(韦恩图)、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭

的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直

观表示集合间的关系。

4. 列举法和描述法之间的相互转换

( 1)列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。

( 2)描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。【随堂练一练】

一选择题

1.

下列每组对象可构成一个集合的是 ( )

(A )中国漂亮的工艺品

(C )高一数学第一张的所有难题

2.下列说法正确的是

( )

(A ) { 1,2 }, {2,1 }是两个不同的集合 (B ) 0与{ 0}表示同一个集合 (C ) {x CQ- 是有限集

(D ) {x|x Q 且

是

空集

3.已知a

,

一，则()

(A )

(B )

(C )

(D )

(B )与1非常接近的数 (D )不等式2x+3> 1的解

4.已知集合S 中含有三个元素且为△

ABC 的三边长，那么△ ABC 一定不是

()

(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角

形

5.下列各组集合中，表示同一集合的是( )

(A) M {(3,2)},N{(2,3)}(B) M {2,3},N {3,2}

(C) M {(x,y)|x},N {y|} (D) M {(3,2)},N {(2,4)}

6.用列举法表示集合为( )

(A) {(1,2)}(B){(2,1)}(C) {1,2} (D){ }

7.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是( )

(A) (B)

(C) (D) ,

8. 设a,b都是非零实数，c>0, —- —可能取的值组成的集合为( )

(A) {3} ( B) {3,2,1} (C) {3,1 , -1} (D) {3 , -1}

二填空题

9. 由实数x, -x , , 所组成的集合里最多有__________ 个元素。

10. 用列举法表示集合

11. 集合{1,a,b}与{-1,-b,1} 是同一集合，则a

12. 用符号“ ”“”填空:

(1) 0

(2) 5 (-1,1) { } (-1,1) {(x,y)|y

三解答题

13.已知{2,a,b},N {2a,a, },且M=N试求a和b的值.

14.已知集合}，若2 ，求x.

15.已知集合.若A是单元素集合，求a的值及集合A.

1.1.2集合间的基本关系

子集

1. 子集定义的三种语言

①文字语言: 对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作AB（或A B）,读作集合B含于集合A （或集合B包含集合

②符号语言: 对于任意 a A，都有a B,则称集合A是集合B的子集。

③图形语言: Venn 图

若集合A是集合B的子集，可用右图来表示

集合之间的关系。

★任何一个集合是它本身的子集。

2. 集合相等

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B（AB且B A A=B）

3. 真子集