大学物理 光的衍射

光栅衍射的实质是光栅衍射图样是每一条单缝 衍射和多缝间衍射光干涉的总效果。
E
L1 S
L2
dA
f
D
L1、L2 透镜 A：光栅E：屏幕 条纹特点：亮、细、疏
中央 明纹
1、衍射条纹的形成 ）各单缝分别同时产生单缝衍射
注意：每一个单缝衍射的图样 和位置都是一样的。
I
）各单缝衍射的平行光产生多光 干涉。显然干涉条纹要受到衍 射光的影响。
m=467(nm)
对应于第4级明纹的衍射方向4，狭缝处的波面能被分成半波带 数目为
a sin4
(2k
1)
2
(2
4
1)
2
9
2
即，可分为9个半波带。
例补：在某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种
波二级长衍射1 和极小2重，合若，求1：的第一级衍射极小与 2 的第
（1）这两种波长有何关系？ （2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还
sin
a
半线宽度：中央中心到第一级暗纹的距离。
x1 f tg
中央明纹宽度：
2 x1
f 2f
a
f
a
Y
1级明纹
P1 1级暗纹
O
a
x1 中央明纹 I
f
P2 -1级暗纹
D 焦平面
-1级明纹
3、其他各级明纹宽度（相邻两暗纹间距）
a sink
2k
2
a
sin k 1
2(k
1)
2
sin k
k
a sin2 k22 k2 1、2
1 2
k2 2k1 的各级暗纹均重合。
二、单缝衍射图样的特征 1、中央明纹强度最大。各级明纹的光强度随衍射
角 的增加而迅速减小。
2、中央明纹的宽度（中央明纹两侧的第一级暗纹的 距离）：
a sin k 1 暗纹 a sin k 1 暗纹
半角宽度：第一级暗纹对应的衍射角。
k' 1. 2. 3...
综合：
如果只有衍射：
I
-2
-1
1
2
如果只有干涉： I
干涉、衍射均有之：
缺
-2
级
-5 -4 -2 -1
I
缺
级
2
1 2 45
（3）光栅明纹主极大条件：
同时满足：(a b)sin k k 0、1.2.3...
asin k '
k ' 1.2.3...
（4）两相邻主极大之间的角宽度：
E
L1
L2
S
aA
L1、L2 透镜 A：单缝 E：屏幕
f
D
中央 明纹
2、单缝衍射公式
A
P
a BC
12
3
4
f5
D
98
7
6
焦平面
BC=aSin
X
2级明纹
I 1级明纹
中央明纹
-1级明纹 -2级明纹
P点的光强是单缝处各面元上平行光的叠加 称为衍射角
半波带法：
当 a sin
A
E
a
DC
B
P2
一级暗纹
P0
二、布喇格公式：
1913年英国布喇格父子（W.H .bragg .WL Bragg)建立了一个公式--布喇格公式。不但能 解释劳厄斑点，而且能用于对晶体结构的研究。
半波带 半波带 半波带
C
B
2
2
2
22
半波带
半波带
B
结论的推广：
平行单色光垂直入射，衍射角为 ，当该方向子波间
最大光程差（即两边缘光程差）为 BC a sin
即，单缝衍射公式：
BC a sin
2k
(2k
2 1)
2
暗纹（对应AB分为偶数个半波带） 明纹（对应AB分为奇数个半波带）
注：一般情况下，波振面AB不能分割成整数个波带，则 相干叠加后既不是最亮也不是最暗。
k
a
sin k 1
k 1
(k
1)
a
第k条暗纹到中心的距离：
xk
ftg
f
f
k
a
第k＋1条暗纹到中心的距离：
xk 1
ftg
f
f
(k
1)
a
相邻暗纹间距：
l xk1 xk f a
（是中央明纹宽度的一半）
4、缝宽a对条纹分布的影响：
（1） 一定：
sin a增大减小；a减小增大
a
又 l f 1 a增大l减小；a减小l增大
(a b)sin k k 0 1. 2.3...
光栅方程
光 栅
透d 镜
a b
C
B
屏
幕
（主最大）
3级明纹
2级明纹
1级明纹
I 中央
明纹 -1级明纹
-2级明纹
-3级明纹
（2）缺级现象 在某些特定的衍射方向，满足光栅方程中的明纹 条件，但又满足衍射的暗纹条件时，这一特定方 向的明纹将不出现的现象，称为“缺级”。
§11－7光栅衍射
光栅衍射是一种多缝的夫琅和费衍射。
光栅：具有周期性的空间结构或光学性能（如折射率、 透射率）的衍射屏。
（以一维透射光栅为例）
一、光栅公式
a--表示透明 b--表示不透
a
条纹宽度 明条纹宽度
定义：光栅常数 d=a+b
b
数量级：10-5--10-6m （即一厘米内刻有1000 ---10000条刻痕）
中央明纹
两个波带上的子波在P2点产生的光强全部抵消 故P2点光强为零。出现第一级暗纹。
当 a sin 3
2
A
a
3
C
B
2
P3 一级明纹
一级暗纹
P0
中央明纹
三个波带中有两个波带的子波在P3点产生的光强 全部抵消，余下一个波带的子波在P3点产生光强 ，出现第一级明纹。
A
A
a
A
C
C
B
a
B
2
2
2
22
A BC=aSin
21 d
r I
爱 d里
斑 I
f
L
r
S1 S2 S1 S2 S1 S2
能分辨 恰能分辨 不能分辨
瑞利判据： 像点刚能分辩开的条件：一个物点的衍射图样（爱理 斑）的中央极大处与另一个物点的衍射图样的第一极 小处（爱理斑的边缘）重合，则两图样刚能分辩。
这是两物点在透镜处所张开的角称最小分辩角。
由衍射第一级极小条件可得：
k
arcsin
kr
d
求出：
k 1,
1
arcsin r
d
11.7
k 3,
3
arcsin 3r
d
37.6
§11－8晶体的X射线衍射
一、X射线：
1895年伦琴发现用高速电子冲击固体时，有一
种新射线从固体上发出来。
-
+
阴级 性质：
阳级
具有很强的穿透能力，能使照片感光，空气 电离。
X线的波长太短，只有一埃（1Å），一般光栅观 不到衍射，而晶体可以。因为晶体有规范的原子 排列，且原子间距也在埃的数量级。是天然的三 维光栅。
k a b k 2k 2,4,6, a
所以，只看到 k 0，1， 3， 5
共七条谱线。这些谱线对应的衍射角分别为
中央明纹
0 0
一级明纹
1 arcsin(0.1638) 926
三级明纹
3 arcsin(0.1638 3) 2926
五级明纹
5 arcsin(0.1638 5) 5459
重叠条件：
sin k 1
sin
k即
k a
1 b
紫
a
k
b
红
反之不重叠
（7）单色光斜入射：
平行光以 角斜入射时，光栅主极大公式为：
(a b)(sin sin ) k
k 0.1.2
“＋”号适用于入射光与衍射光位于法线同侧； “－”号适用于入射光与衍射光位于法线异侧。
Hale Waihona Puke 【例11-3】 用波长=546.1nm的绿光垂直照射于每厘米有3000条 刻线的光栅上，该光栅的刻痕宽度（不透光部分）与透光缝宽度 相等。问：能看到多少条光谱线？各谱线的衍射角有多大？
【例11-4】 一衍射光栅，每毫米刻线300条，入射光中包含红光和 紫光两种成分，垂直入射于光栅，发现在与光栅法线成24角的方 向上红光和紫光谱线重合。试问：
（1）该红光和紫光的波长值各为多少？ （2）在什么角度处还会出现这种复合谱线？ （3）在什么角度处出现单一的红光谱线？
解 （1）光栅常数 d 1 mm 300
三、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
菲涅耳衍射是研究光源附近的衍射效应，称近场衍射。 因光源或显示屏同衍射物距离较近，所以不是平行光。
S
屏
夫琅和费衍射是研究衍射物无限远处的衍射，称远场 衍射。因距离都较远，所以是平行光。
可用会聚透镜来实现
S 屏
§11－2单缝衍射
一、单缝衍射公式的导出
1、单缝衍射实验装置
各单缝衍射的平行光产生什么样的 多光干涉？
ddd
aaa bbb
BBB CCC
I
从不同单缝射出的平行光依次相差
相同的光程BC或相同的相位差
BC (a b)sin d sin
2
BC
2、光栅衍射公式：
（1）光栅方程
Y
2 BC 2 a b sin
2k
k 0 1. 2. 3...
【例11-1】 一单缝宽a=0.6mm，在缝后放一焦距为f=40cm的汇 聚透镜，用平行光垂直照射单缝，则通过透镜在屏幕上形成衍 射条纹。若第四级明纹距零级明纹中心为1.4mm，则入射光的 波长是多少？对应于第四级明纹，在狭缝处的波阵面可以分成 几个半波带？
解 按菲涅耳半波带法，单缝衍射的明纹满足
第十一章 光的衍射 §11－1光的衍射现象
惠更斯－菲涅耳原理
一、光的衍射现象
当光遇到障碍物时，光绕过障碍物偏离直线传播，而在 观察屏上出现光强不均匀的现象。
圆孔衍射 钉子衍射
二、惠更斯－菲涅耳原理
同一波振面上各点都可以认为是相干波源，它们发出 的子波在空间相遇时，其强度分别是相干叠加的结果。 光的衍射是同一光束中无数子波在障碍物后相干叠加 的结果。
asin 2k 1
2
k 1,2,3,
因一般情况下 很小，所以 sin tan x
所以
f
2a sin 2a x
(2k 1)
(2k 1) f
其中x为第k级明纹在屏幕上相对于中心O的距离。 对第4级明纹，有
对第4级明纹，有
2a (2k 1)
x f
2 0.6 103 (2 4 1)
1.4 103 40 102
解 光栅常数 d (a b) 1 cm 3000
根据光栅方程知，第k级光谱线的衍射角k满足下式：
sink
k
(a b)
k 546.1109 m (1/ 3000) 102 m
0.1638k
因 sink 1
所以 k 1 6.1 0.1638
取整数，得
kmax
6
说明最多能看到6级谱线
再根据题中条件a = b知，谱线在如下级次发生缺级：
D sin1
1.221
sin 1
1.22
D
D
D=2R
21
d
f L
I r
爱 d里 I斑
r
S1
I
S2
称之为最小分辨角
1.22
D
D为光学仪器的孔径
1
D
定结义论：：光提学高仪光器学分仪辨器率分辨R率分的途径： 1.22
1）加大光学仪器的孔径； 目前天文望远镜孔径最大已达5米，最小
分辩角达1.5510-7弧度. 2）减小波长--电子显微镜(=1埃)
aa
即缝越狭窄，衍射效果越显著。
（2）a sin 1
a
衍射条纹密集在狭小区间内，导致衍射现象“消失” 光呈沿直线传播。
5、波长 对条纹分布的影响：
若a一定，则
sin 增加增加；减小减小
a
白光衍射得彩色光谱，对同一级衍射条纹有
红 蓝 紫
§11－5光学仪器的分辩率
D D=2R
由明纹公式（光栅方程）：
(a b)sin k(1)
由单缝衍射的暗纹公式：
k 0 1. 2. 3... k 称为干涉级
a sin k'(2) k' 1. 2.3...
在同一衍射方向同时满足，
k' 称为衍射级
式（1）（2）得： 缺级公式：
ab k a k'
k k' a b k' d (3) aa
光栅方程 d sin k
可决定在 =24角方向上红光和紫光谱线的级次。
设红光波长为r，则根据可见光波长与颜色的关系可知，
r
~
kr
700nm，以= 700nm代入得
d sin r
1 103 sin 24 300
700 109
1.94
取整数，kr=2
设紫光波长为v ，则v ~ 400nm，以= 400nm代入得
sin
k 1
sin
k
a
1
[(k b
1)
k]
ab
k1
k
ab
（5）最高级次条件：
(a b)sin k
kmax
(a b) sin 900
ab
（6）当白色光入射光栅时，将产生彩色的衍射 光谱。从中央到两则将出现由紫到红的光 谱。
-2级光谱 -1级光谱
中央明纹
1级光谱
2级光谱
色序为近紫远红 在高级次发生重叠
kd
对r，最大级次
k
d
r
4.8
取整数，为4级；
d
对v，最大级次 k v 7.2 取整数，为7级
所以还能出现红光第4级和紫光第6级的复合谱线，其对应的 衍射角满足：
d sin krr 4 677.8nm
54.4
（3）红光谱线最大不超过4级，其中，2级、4级为复合谱线， 所以只有1级和3级为单一谱线，其对应的角度可由公式
有其他极小相重合？
解： （1）单缝衍射暗纹公式：
a sin 2k (k 1、2 )
2
对 1 的第一级衍射极小和 2 的第二级衍射极小有：
a sin1 1
由题意： 1 2
a sin2 22
1 22
（2） 1 的单缝衍射极小是：
a sin 1 k11 2k12 k1 1、2
2 的单缝衍射极小是：
kv
d sin v
3.39
取整数，kv=3
将kr=2和kv=3代入光栅方程，可解得该红光和紫光波长的具体 数值为
r
d sin
2
677.8nm
v
d sin
3
451.9nm
（2）两种谱线重合的条件为
即 kv r 3 , 6 , kr v 2 4
krr kvv
能出现的最大级次由 sin 1 限定