全国名校高中数学题库--直线方程

★【题 7】过点（1， 2）的直线 l 将圆(x－2)2＋y2＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最 小时，直线 l 的斜率 k＝ ． 2 2
★【题 8】直线 x + y = 1 与圆 x 2 + y 2 − 2ay = 0( a > 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是 A． (0, 2 − 1)
高三数学第一轮总复习讲义 讲义 31 直线的的方程、两条直线的位置关系
一、基本知识体系： 1、 直线的倾斜角、斜率、方向向量：
1
π y -y 求直线斜率的方法： （1） 、定义法：k= tanα (α≠ )；②斜率公式：k= 2 1 (x1 2 x2-x1 → ≠x2） ； 当 x1=x2 时， 斜率不存在。 ③直线的方向向量： 直线 L 的方向向量为 m = （a,b), 则该直线的斜率为 k= b a 常数的几何意义 (x1,y1)为直线上的一个定 点，且 k 存在 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 适用范围
3、 判断两条直线的位置关系的条件： 斜载式：y=k1x+b1 y=k2x+b2 相交 垂直 平行 重合 k1≠k2 k1·k2=-1 k1=k2 且 b1≠b2 k1=k2 且 b1=b2
4、 直线 L1 到直线 L2 的角的公式：tanθ = 直线 L1 与直线 L2 的夹角公式：tanθ = |
2
B． ( 2 − 1, 2 + 1)
2
C． (− 2 − 1, 2 + 1)
D． (0, 2 + 1)
▲解：由圆 x + y − 2ay = 0( a > 0) 的圆心 (0, a) 到直线 x + y = 1 大于 a ，且 a > 0 ， 选 A。 ★ 【题 9】 ．若圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 10 = 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax + by = 0 的 距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是：A． [
用心
爱心
专心
|－k cos θ－sin θ |
▲解：圆心坐标为（－cosθ，sinθ）d＝
1＋k 2 ＝|sin （θ＋ϕ） | ≤1
＝
1＋k 2 |sin （θ＋ϕ） | 1＋k 2
;故选
（B） （D） ※★【题 15】在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为２，宽为１， AB 、 AD 边分 别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合（如图５所示） ．将矩 形折叠，使 A 点落在线段 DC 上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 k ，试 写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值． ▲解： （Ⅰ）( i ) 当 k = 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程
★【题 10】7．圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 10 = 0 上的点到直线 x + y − 14 = 0 的最大距离与最小距离 的差是
用心 爱心 专心
A．36
B. 18
C. 6 2
D. 5 2
▲． 解： 圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 10 = 0 的圆心为(2， 2)， 半径为 3 2 ， 圆心到到直线 x + y − 14 = 0 的距离为
▲解：两条直线 y = ax − 2 和 y = (a + 2) x + 1 互相垂直，则 a( a + 2) = −1 ，∴ a=－1， 选 D. ★【题 2 】已知过点 A ( −2，m ) 和 B ( m， 4 ) 的直线与直线 2 x + y − 1 = 0 平行，则的值为 ( ) A 0 B −8 C 2 ▲解： (m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8, 选(B)
两点式
(x1,y1)、 (x2,y2)为直线上 的两个定点， a 是直线在 x 轴上的非零 截距，b 是直线在 y 轴上 的非零截距 斜率为 距为 为 -A ，在 x 轴上的截 B
截距式
一般式
Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
任何位置的直线
பைடு நூலகம்
-C ，在 y 轴上的截距 A
-C B 一般式：A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0 A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0 A1B2-A2B1= A1C2-A2C1= B1C2-B2C1≠0=0
用心 爱心 专心
1 时两直线斜率乘积为 −1 ，从而可得两直线垂直；当 m = −2 时两直线一 2 1 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要 2
对于②这种情况多数考生容易忽略. ★【题 4】 若三点 A（2，2） ，B（a，0） ，C（0，b） （0 ,b）(ab ≠ 0)共线，则, 等于 ________ 1/2 ★【题 5】已知两条直线 l1 : ax + 3 y − 3 = 0, l2 : 4 x + 6 y − 1 = 0. 若 l1 // l2 ，则 a = ____. ▲解：已知两条直线 l1 : ax + 3 y − 3 = 0, l2 : 4 x + 6 y − 1 = 0. 若 l1 // l2 ， −
|a| = 2 ，∴ a 的值±2，选 B． 2
★【题 12】如图，l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线，l1 与 l2 间的距离是 1， l2 与 l3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上，
4 6 3 17 2 21 （C） （D） 3 4 3 ★【题 13】如图，三定点 A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1); 三动点 D，E，M y
k2-k1 (k1k2≠-1) 1+k1k2 k2-k1 | (k1k2≠-1) 1+k1k2 | Ax0+By0+C| A2+B2
5、点到直线的距离：点 P（x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d=
用心 爱心 专心
6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线 Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 之间的距离 |C1-C2| d= A2+B2 7、直线系方程：①、过定点 P（x0,y0)的直线系方程：y-y0=k(x-x0)；②、平行的直线系方程： y=kx+b；③、过两直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 8、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称： 二、典例剖析： π ★【例题 1】 、设函数ƒ（x）=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为 x= ,则直线 ax-by+c=0 4 的倾斜角为（B ） π 3π π 2π B C D 4 4 3 3 ★【例题 2】已知集合 A={（x,y)|x=cosθ且 y=sinθ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若 A∩ -1 B 有两个元素，则 k 的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[ ,0) 2 ★【例题 3】已知直线过点 P（-1，2）,且与以点 A（-2，-3） 、B（3，0）为端点线段相交， -1 则直线 L 的斜率的取值范围是__ (k≥5,或 k≤ ) 2 三、巩固练习： A ★【题 1】已知两条直线 y = ax − 2 和 y = ( a + 2) x + 1 互相垂直，则 a 等于 （A）2 （B）1 （C）0 （D） −1
2、 直线方程的五种形式： 名称 方程的形式
点斜式 斜截式
y-y1=k(x-x1) y= kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 (x1≠x2,y1≠y2 x y + =1 a b (a,b≠0)
不垂直于 x 轴的直线 不垂直于 x 轴的直 线 不垂直于 x 轴和 y 轴 的直线 不垂直于 x 轴和 y 轴， 且不过原点的直线
| 2 + 2 − 14 | = 2 5 >3 2 ，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R 2
=6 2 ，选 C. ★【题 11】设直线过点(0，a)，其斜率为 1， 且与圆 x2+y2=2 相切，则 a 的值为( ) A．± 2 B．±2 B．±2 2 D．±4 ▲解；直线过点(0，a)，其斜率为 1， 且与圆 x2+y2=2 相切，设直线方程为 y = x + a ，圆心 (0，0)道直线的距离等于半径 2 ，∴
π π ，] 12 4
B． [
π 5π ， ] 12 12
C．
π π [ ，] 6 3
D． [0， ]
π 2
▲解： 圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 10 = 0 整理为 ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = (3 2) 2 ， ∴圆心坐标为(2， 2)，半径为 3 2 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax + by = 0 的距离为 2 2 ，则 圆心到直线的距离应小于等于 2 ， ∴
2
x
→ BC， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． ∴kDE =
∴
xD=－2t+2 yD=－2t+1
同理
xE=－2t ． yE=2t－1
－1 B
yE－yD 2t－1－(－2t+1) = = 1－2t． xE－xD －2t－(－2t+2)
∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
→ → (Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t， 4t2－2t)． ∴ x=2(1－2t) y=(1－2t)2 ， ∴y= x2 ， 即 x2=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2， 4
2]． 即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2] ※★【题 14】已知圆 M： （x＋cosθ）2＋（y－sinθ）2＝1，直线 l：y＝kx，下面四个命题： （A） 对任意实数 k 与θ，直线 l 和圆 M 相切； （B）对任意实数 k 与θ，直线 l 和圆 M 有 公共点； （C） 对任意实数θ，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切； （D）对任意实数 k，必存 在实数θ，使得直线 l 与和圆 M 相切；其中真命题的代号是 ______________（写出 所有真命题的代号）
1 1 + 的值 a b
a 2 = − ，则 3 3
a = 2.
★【题 6】已知圆 x 2 －4 x －4＋ y 2 ＝0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x － y －1＝0 的距离 是 ． ▲ 解：由已知得圆心为： P (2,0) ，由点到直线距离公式得： d =
| 2 − 0 −1| 2 = ； 2 1 +1
则△ABC 的边长是(D):（A） 2 3
（B）
→ → → → → → 满足AD=tAB， BE = t BC， DM=t DE， t∈[0，1]． (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率 的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程．
C D M
1
A
－2 －1 O → → → ．▲解： 如图， (Ⅰ)设 D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由AD=tAB， BE = t E
| 2a + 2b |
a 2 + b2
≤ 2 ，∴
a a ( )2 + 4( ) + 1 ≤ 0 ， ∴ b b
a −2 − 3 ≤ ( ) ≤ −2 + 3 ， b
a π 5π k = −( ) ，∴ 2 − 3 ≤ k ≤ 2 + 3 ，直线 l 的倾斜角的取值范围是 [ ， ] ，选 B. b 12 12
y
D C
y=
1 ， 2
O
(A) 图5 B x
( ii ) 当 k ≠ 0 时，设 A 点落在线段 DC 上的点 A′( x 0 ,1) ， ( 0 ≤ x 0 ≤ 2 ) ， 则 直 线 OA′ 的 斜 率
D 10
★【题 3】 “ m =
1 ”是“直线 ( m + 2) x + 3my + 1 = 0与直线( m − 2) x + ( m + 2) y − 3 = 0 2
相互垂直”的（ B ）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条 件 D．既不充分也不必要条件 ▲【详解】当 m = 条斜率为 0，一条 斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此 m = 条件. ●注意：对于两条直线垂直的充要条件① k1 , k2 都存在时 k1.k2 = −1 ；② k1 , k2 中有一个不存 在另一个为零；