概率论与数理统计：一维随机变量及其分布

例3告诉我们:一个事件尽管在一次实验中发 生的概率很小,但在大量的独立重复试验中 这个事件几乎是一定发生的,也就是说:小 概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视 的.
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, L , 而取各个 值的概率为 k! 其中λ > 0 是常数.则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P(λ ).
第一节
随机变量及其分布
一,随机变量的概念 二,随机变量的分布函数 三,小结
一,随机变量的概念
实例1 在一装有红球,白球的袋中任摸一个球, 实例 在一装有红球,白球的袋中任摸一个球 观察摸出球的颜色. 观察摸出球的颜色 红色, 红色 白色} ={红色,白色
X (红色 ) = 1
X (白色 ) = 0
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 0.4 3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43
5 4 0.6 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
例3 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概 率 . 解 设击中的次数为 X ,
(3)随机变量与随机事件的关系 随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 念之内 或者说 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 随机现象 而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象. 机现象 (4) 随机事件可以用随机变量表示
1, X ( w) = 0,
w = 正面朝上,
实例2 实例
抛掷骰子,观察出现的点数 抛掷骰子 观察出现的点数. 则有 观察出现的点数
={1,2,3,4,5,6} , , , , ,
样本点本身就是实数
X (w) = w
恒等变换
X (1) = 1, X (2) = 2, X (3) = 3, X (4) = 4, X (5) = 5, X (6) = 6,
泊松资料
P{ X = k} =
λk e λ
, k = 0,1,2,L ,
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示 泊松分布随机数演示
泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 α 们做了2608次观察(每次时间为 秒)发现放射 次观察( 们做了 次观察 每次时间为7.5秒 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数 服从泊松分布. 服从泊松分布.
离散型随机变量的分布律
定义
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 , 即事件 xi (i = 1, 2 , L), X 取各个可能值的概率 { X = xi } 的概率 , 为 P{ X = xi } = P ( xi ), 称此为离散型随机变量 或概率分布 . i = 1, 2, L . X 的分布列(或分布函数)
例3 (续)
8 e P ( X = 0) ≈ 0!
0
8
=e ,
8
8 e P( X = 1) ≈ 1!
1
8
= 8e
8
8 0 e 8 P ( X ≥ 2) ≈ = 1 e 8 8e 8 = 0.997 0!
上面我们提到 二项分布
np → λ ( n → +∞ )
泊松分布
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1, X ( w) = 白色0,
w = 红色, w = 白色.
红色
白色
X (ω )
1
0
R
红色, 这样便将非数量的 ={红色,白色 数量化了 红色 白色} 数量化了.
实例2 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 实例 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的 则
说明
(1) P ( xi ) ≥ 0, i = 1,2, L;
(2) ∑ P ( xi ) = 1.
i =1 ∞
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
x2 L xn L p2 L pn L
X
pk
x1 p1
x2 L xn L p2 L pn L
二,常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布 两点分布
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示 均匀分布随机数演示
3.二项分布 二项分布
n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P( A) = 1 p.
将 将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
第二章
一维随机变量及其分布
一,随机变量及其分布 二,离散型随机变量的分布函数 三,离散型随机变量的概率函数 四,连续型随机变量及其概率密度 五,随机变量的函数的分布
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的,为了更方便有力的研究随机现象, 性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用 数学分析的方法来研究, 数学分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的 推导和计算,就需将任意的随机事件数量化. 推导和计算,就需将任意的随机事件数量化.当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 就建立起了随机变量的概念. 就建立起了随机变量的概念.
则
X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
400 P{ X = k } = (0.02)k ( 0.98)400 k , k = 0,1,L,400. k 因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399= 0.9972.
2.说明 说明
(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率 此随机变量的取值也有一定的概率规律. 此随机变量的取值也有一定的概率规律
两点分布随机数演示 两点分布随机数演示
2.离散型均匀分布(等可能分布) 离散型均匀分布(等可能分布) 离散型均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为 a1 a2L an X 1 1 1 L pk n n n 其中 ( ai ≠ a j ), ( i ≠ j ) , 则称 X 服从等可能分布 . 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有
只可能取0与 两个值 设随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
1 p
分布或两点分布. 则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布
实例1 抛硬币 试验,观察正 抛硬币" 观察正, 实例 "抛硬币"试验 观察正,反两面情 况. 0, 当e = 正面 , X = X (e ) = 1, 当e = 反面. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布 分布. 其分布律为
实例1 实例 结果: 结果
掷一个硬币, 掷一个硬币 观察出现的面 , 共有两个
w1 = (反面朝上),
w2 = (正面朝上),
即 X (w) 是 一个随机变 w = 反面朝上. 量. ( 事件{正面朝上}和 {反面朝上} 就可分别用 ( X = 1) 和 X = 0) 表示 P( X = 1) = P{出现正面} = 1 / 2 P( X = 0) = P{出现反面} = 1 / 2
合理配备维修工人问题 为了保证设备正常工作, 例4 为了保证设备正常工作 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 工人配备多了就浪费 现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的 各台工作是相互独立的, 产),现有同类型设备 现有同类型设备 台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 发生故障的概率都是 在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 的故障可由一个人来处理 我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 问至少需配备多少工人 才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 但不能及时维修的概率小于 解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的 设备 台数为 X , 那么, X ~ b( 300,0.01). 所需解决的问题
在生物学,医学,工业统计, 在生物学,医学,工业统计,保险科学及 泊松分布是常见的. 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 例如地震,火山爆发,特大洪水, 例如地震,火山爆发,特大洪水,交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 话呼唤次数等 都服从泊松分布
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
X (w) = 此 的 车 间, 人 等 时
是一个随机变量. 是一个随机变量 且 X(w) 的所有可 能取值为: 能取值为 [0,5].
定义
是一随机试验, 是它的样本空间, 设E是一随机试验, 是它的样本空间, 若
按 ω ∈ 一定法则→ 实数X (ω)
则称 上的单值实值函数 X ( ω)为随机变 量 随机变量一般用 X, Y , Z ,…或小写希腊字母 ξ, η, ζ 表示
以X记 A在 n 次试验中发生 的次数,X为一个随机变量 其分布律为
n k P( X = k ) = p (1 p) n k 记 q = 1 p k
n k nk P( X = k ) = p q k
n k n k L p q L k 称这样的分布为二项分布 二项分布.记为 称这样Hale Waihona Puke Baidu分布为二项分布 记为 X ~ b(n, p).
泊松定理(Poisson) 的非负整数k,有
设λ为一常数,
n是正整数,若np = λ,则对任一固定
k n k λ λ nk lim pn (1 pn ) = e n →∞ k k!
我们可以用泊松分布来算: λk e λ , k = 0,1,2,....... λ = np = 400 × 0.02 = 8 P{ X = k} = k!
二项分布
n=1
得 X 的分布律为 X 0 1 n n 1 n pk q pq 1
L
k
L
n
pn
两点分布
二项分布的图形
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
次射击,每 例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击 每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 则击中目标的次 的二项分布. 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布
{出现i点} 就可以用 ( X (w) = i)表示,并且 表示, P( X ( w) = i ) = P{出现i点} = 1 / 6
随机变量的分类
(1)离散型 离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或
无限可列个, 叫做离散型随机变量. 无限可列个 叫做离散型随机变量
(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 连续型 满某个区间,叫做连续型随机变量 满某个区间 叫做连续型随机变量. 叫做连续型随机变量
X
0
1
10 200
pk
190 200
服从(0 分布. 则随机变量 X 服从 —1)分布 分布
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是 明天是否下雨,种籽是否发芽等, 女,明天是否下雨,种籽是否发芽等 都属于两点 分布. 分布
X
pk
0 1 2
1
1 2
实例2 200件产品中 有190件合格品 件不合格 件产品中,有 件合格品,10件不合格 实例 件产品中 件合格品 现从中随机抽取一件,那末 品,现从中随机抽取一件 那末 若规定 现从中随机抽取一件 那末,若规定 取得不合格品, 1, 取得不合格品 X = 取得合格品. 0, 取得合格品