概率论与数理统计：一维随机变量及其分布
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
概率论与数理统计教案第2章 随机变量及其分布
概率论与数理统计教学教案 第2章 随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 内 容一．随机变量1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量. 二．分布函数1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图．3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有：授课序号02(,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ为大于()P λ．在一次试验中出现的概率为(12,kk nnC p p -.）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p．）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数次才取得第一次成功，前）超几何分布：若随机变量X的分布律为H n N(,,件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03(,)U a b ．内的任一个子区间()E λ．1,0,xe x λ-⎧->⎪⎨⎪⎩其它.）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量()E λ，则对于任意的正数{}{P X s t t P X >+>=为连续型随机变量，若概率密度为2(,N μσ处取到最大值，并且对于同样长度（iii ）当参数μ固定时，σ的值越大，()f x 的图形就越平缓；σ的值越小，()f x 的图形就越尖狭，由此可见参数σ的变化能改变图形的形状，称σ为形状参数．（iv ）当参数σ固定时，随着μ值的变化，()f x 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数．（4）标准正态分布(0,1)XN（i ）概率密度221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞（ii ）分布函数221(),.2t xx e dt x π--∞Φ=-∞<<∞⎰（iii ）根据概率密度()x ϕ的对称性，有()1().x x Φ-=-Φ （5）定理：（标准化定理）若2(,)XN μσ，则(0,1).X Z N μσ-=（6）标准化定理的应用：设,,()x a b a b <为任意实数，则(){}{}{}(),X x x x F x P X x P P Z μμμμσσσσ----=≤=≤=≤=Φ{}{}()().a X b b a P a X b P μμμμμσσσσσ-----<≤=<≤=Φ-Φ6.“3σ”法则：设2(,)XN μσ，则{33}(3)(3)2(3)10.997,P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≈即正态分布2(,)N μσ的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3σ为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3σ”法则. 三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X 表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：0.15(0.5)0.15,0.5,()0,x e x f x --⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它.概率密度()f x 的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N ），其概率密度为13,02;()880,x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）分布函数()F x ；（2）概率{1 1.5}P X ≤≤及{1}P X >.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X 服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，对X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），则X 服从指数分布，其概率密度为0.40.4,0,()0,xex f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中μ=1.25秒，σ=0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，σ=24千克.求常数a ，使抗断强度以不小于95%的概率大于a .授课序号0450。
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
概率论与数理统计随机变量及其分布
问题三 随机变量的一些例子
在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示 每天进入教室的人数X 某个时间段吃饭排队的人数X 电灯泡使用的寿命T 而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否合格，此时样本空间
S=｛合格品，不合格品｝，若用1对应合格品，-1对应不合格品，这 样就都有唯一确定的实数与之对应。
P { 而a 且 Xx i所 成b } 的 任P 何{ a 事 x i 件 b { 的X 概 率x 都i} 能} 够a 求 x i出 b 来p i，
2.2 离散型随机变量及其概率
分P {X 布 I} P {Xxi} p i
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布 两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能
1.随机变量的引入
从上面的例子可以看出随机试验的结果都可用一个实数 来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，它是样本
点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。
2 随机变量的定义
随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S 上的实值函数X=X( )为随机变量。
随机变量的表示： 常用大写字母X,Y,Z或希腊字母
时，
b(k,n, pn)=
lim
讲课本n 例6，例7
l i m k
n
Cnkpnk(1pn)nk
e k!
2.3 随机变量的分布函数
随 机 变( 量 的 分布x函数)
定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=P{X≤x} 为X的分布函数。有时记作X~F（x） 这个概率具有什么特点呢? 具有累积性 这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。 注：①X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间
概率论与数理统计教案随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教案章节一：随机变量的概念1.1 教学目标了解随机变量的定义与分类理解随机变量分布函数的概念掌握随机变量期望的计算方法1.2 教学内容随机变量的定义随机变量的分类：离散型与连续型随机变量分布函数的定义与性质随机变量期望的计算方法1.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量的概念及其分类通过例题，讲解随机变量期望的计算方法开展小组讨论，巩固随机变量分布函数的理解教案章节二：离散型随机变量的概率分布2.1 教学目标掌握离散型随机变量的概率分布的定义与性质学会计算离散型随机变量的概率分布理解离散型随机变量期望与方差的计算方法2.2 教学内容离散型随机变量的概率分布的定义与性质几种常见的离散型随机变量概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布离散型随机变量期望与方差的计算方法2.3 教学方法采用讲授法，讲解离散型随机变量的概率分布的定义与性质通过例题，讲解几种常见的离散型随机变量概率分布的计算方法开展小组讨论，巩固离散型随机变量期望与方差的计算方法教案章节三：连续型随机变量的概率密度3.1 教学目标理解连续型随机变量的概念掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质学会计算连续型随机变量的概率密度3.2 教学内容连续型随机变量的概念连续型随机变量的概率密度的定义与性质几种常见的连续型随机变量概率密度：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 教学方法采用讲授法，讲解连续型随机变量的概念及其概率密度的定义与性质通过例题，讲解几种常见的连续型随机变量概率密度的计算方法开展小组讨论，巩固连续型随机变量概率密度的理解教案章节四：随机变量的期望与方差4.1 教学目标理解随机变量期望与方差的概念与性质掌握计算随机变量期望与方差的方法学会运用期望与方差描述随机变量的特征4.2 教学内容随机变量期望与方差的概念与性质计算随机变量期望与方差的方法期望与方差在描述随机变量特征中的应用4.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量期望与方差的概念与性质通过例题，讲解计算随机变量期望与方差的方法开展小组讨论，巩固期望与方差在描述随机变量特征中的应用教案章节五：随机变量及其分布的综合应用5.1 教学目标掌握随机变量及其分布的基本知识学会运用随机变量及其分布解决实际问题培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力5.2 教学内容随机变量及其分布的综合应用实例实际问题中随机变量及其分布的建模方法运用概率论与数理统计思维分析问题的方法5.3 教学方法采用案例教学法，讲解随机变量及其分布的综合应用实例通过实际问题，讲解随机变量及其分布的建模方法开展小组讨论，培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力教案章节六：大数定律与中心极限定理6.1 教学目标理解大数定律的含义及其在实际中的应用掌握中心极限定理的条件及其意义学会运用大数定律和中心极限定理分析随机变量序列的性质6.2 教学内容大数定律的定义及其表述中心极限定理的定义及其表述大数定律和中心极限定理在实际中的应用6.3 教学方法采用讲授法，讲解大数定律和中心极限定理的定义及其表述通过例题，讲解大数定律和中心极限定理在实际中的应用开展小组讨论，巩固大数定律和中心极限定理的理解教案章节七：随机样本及抽样分布7.1 教学目标理解随机样本的概念掌握抽样分布的定义及其性质学会计算样本统计量的分布7.2 教学内容随机样本的概念抽样分布的定义及其性质样本统计量的分布的计算7.3 教学方法采用讲授法，讲解随机样本的概念和抽样分布的定义及其性质通过例题，讲解计算样本统计量的分布的方法开展小组讨论，巩固抽样分布的理解教案章节八：假设检验与置信区间8.1 教学目标理解假设检验的基本原理掌握构造检验统计量的方法学会判断假设检验的结果8.2 教学内容假设检验的基本原理构造检验统计量的方法假设检验的结果的判断8.3 教学方法采用讲授法，讲解假设检验的基本原理和构造检验统计量的方法通过例题，讲解判断假设检验结果的方法开展小组讨论，巩固假设检验的理解教案章节九：回归分析与相关分析9.1 教学目标理解回归分析的概念及其应用掌握线性回归模型的建立与估计学会利用回归分析解决实际问题9.2 教学内容回归分析的概念及其应用线性回归模型的建立与估计利用回归分析解决实际问题9.3 教学方法采用讲授法，讲解回归分析的概念及其应用和线性回归模型的建立与估计通过例题，讲解利用回归分析解决实际问题的方法开展小组讨论，巩固回归分析的理解教案章节十：总结与展望10.1 教学目标总结本门课程的主要内容和知识点了解概率论与数理统计在实际中的应用激发学生继续学习概率论与数理统计的兴趣10.2 教学内容本门课程的主要内容和知识点的总结概率论与数理统计在实际中的应用对未来学习的展望10.3 教学方法采用讲授法，总结本门课程的主要内容和知识点通过案例分析，讲解概率论与数理统计在实际中的应用鼓励学生发表对概率论与数理统计学习的看法和展望重点和难点解析：1. 随机变量的概念与分类：理解随机变量的定义以及离散型和连续型随机变量的区别是本章节的核心。
练习二(一维随机变量及其分布)--1_参考答案
【参考答案】
A 7.设随机变量ξ 服从 0-布,又知ξ 取 1 的概率为它取 0 的概率的一半,则p{ξ = 1} 是( )。
1 密 A. 3
B.0 1
C. 2 D.1 【参考答案】
A
8.离散型随机变量ξ 的分布律为P (ξ = k) = bλk ,(k = 1,2,⋯),的充分必要条件是( )。
A.b >0且0 < λ <1
)。 【参考答案】 空（1）: 0.0455
3.设随机变量ξ
的分布函数为F (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1−
k2 x2 + 2kx + 2 2
e −kx,x
≥0
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0,
x <0
,则p
⎧ ⎪⎪⎨⎪− ⎪ ⎩
1 k
≤ξ
≤
1 k
⎫ ⎮ ⎮ ⎬ ⎮ ⎮ ⎭
=
( )。 【参考答案】
空（1）:
线
【参考答案】
ξ 的概率密度为φ (x) =
1
− (x −1) 2
e8
2 2π
【参考答案】
ξ 的概率密度φ (x) =
⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩
λe −λx 0
x >0 x ≤0
y = 1 x3+2的反函数x = h (y) = 3 3(y−2) 3
⎧⎪
1
⎪
h '(y) =
−2
(3y−6) 3
,φ
⎥
⎦
x 0
= 1 − 1 e −x+ 1 =1− 1 e −x
22
2
2
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ex
一维随机变量函数的分布
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
明德概率论与数理统计第二章第一节(1)
即任一分布函数处处右连续.
如：对例1,
0 , x 0, 1 F ( x ) , 0 x 1, 2 1, x 1.
1
1 2
F (x )
o
1
x
一个函数若具有上述性质, 则此函数一定是某个随 机变量的分布函数.
例2： 已知随机变量X 在整个实轴上取值, 其分布
X x
x
x
F ( x ) P ( X x ),
F(x) 是随机变量 X 取值不大于 x 的概率.
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
P ( a X b) P ( X b) P ( X a )
] （
a
]
b
请 填 空
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a ) P (a X b) F (b) F (a 0)
而X在xk（k=1,2, · ）处的概率就是F(x) · ·
在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b}
F ( b 0) F ( a 0) F (b) F (a )
例3 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，
3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算： P{0 X 2}, P{0 X 2}. 解 X={ 取得的新球个数 }，其分布律为
方法1. P{0 X 2}
P{ X 1} P{ X 2}
0.6 0.3 0.9
P{0 X 2} P{ X 0} P{ X 1}
F ( x) 0.7, 1 x 2 1, x2
概率论与数理统计2-1 一维随机变量及其分布 (3)
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
概率论与数理统计2
x0 x0
1 ( 2)当 x 时, f 2 ( x ) cos x 0, 不是 2 2
( 3)
f 3 ( x )dx 2,
不是
例
设随机变量X的概率密度为
ke 3 x f ( x) 0 x0 x0
试确定常数k, 并求X的分布函数及 P(X>0.1)。
第二章 随机变量及其分布
第一节 一维随机变量及分布
第二节 第三节 第四节 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布
第三节、 连续型随机变量
第三节 连续型随机变量
一 连续型随机变量及其概率密度函数
二 常见的连续型随机变量的分布
1 均匀分布 2 指数分布
3 正态分布
1、概率密度的概念与性质
S1
x1
f ( x)d x
1
o
x1 x2
S1
x
1.2 概率密度函数的性质
(1) f(x)0, xR, 表明密度曲线在 x轴上方。
f ( x)
1
o
（2）
x
f ( x)dx 1
这表明介于密度曲线 y f ( x)与x轴之间的面积为1。
（ 3 ）
P ( x 1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
x
U(a,b)的分布函数为
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
应用模型 在区间上“等可能投 点”“随机投点”的试 验的数学模型。
1
a o
b
x
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量
第二节 离散型随机变量
离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量表示方法 三种常见分布
一、离散型随机变量及其分布律
例1 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 . (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为:
3 P { X 0} 3 5 1 3 10 5 6 3 10 5 3 3 10
2) 二项分布的泊松近似
定理(泊松定理)：在n重伯努利试验中，
概率论
事件A在每次试验中发生的概率为p， 如果n 时，np ( 0为常数 )， 则对任意给定的非负整数k，有： n k n k lim p 1 p = e n k k!
k 3 k
3 k
, k 0,1,2,3
=0.104
3. 泊松分布(Poisson Distribution)
1) 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k )
概率论
k
e
,
k 0,1,2,,
k!
其中 λ>0 是常数, 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布,记作X~π(λ).
概率论
随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，其分布律为：
PX k p 1 p
k 1 k
,
k 0,1
0
p 1
或
X
0
q
1
p
pk
称 X 服从（0-1）分布或两点分布 或
X ~ b(1, p)
概率论
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元 素，即 W {1 , 2 }，我们总能在W上定义一个服从 （0－1）分布的随机变量．
概率论与数理统计01 第一节 随机变量及其分布函数
第二章随机变量及其概率分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节一维随机变量及其分布函数内容分布图示★随机变量概念的引入★随机变量的定义★例1★例2★例3★引入随机变量的意义★课堂练习★习题2-1内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)XX(e 为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1 (讲义例1) 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为=S {正面, 反面},记赢钱数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面ϖϖϖX 例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH ϖ易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.四. 随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ解 (1)由题设, )(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 并有,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.(2)因)(x F 在),2/(ππ上单调下降, 所以)(x F 不可能是分布函数. (3)因为)(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 且有 ,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.离散型随机变量的分布函数例5（讲义例2）设随机变量X 的分布律为 ,2/16/13/121i p X求)(x F .解 }{)(x X P x F ≤=当0<x 时，,}{∅=≤x X 故0)(=x F 当10<≤x 时，31}0{}{)(===≤=X P x X P x F 当21<≤x 时, 216131}1{}0{)(=+==+==X P X P x F 当2≥x 时，1}2{}1{}0{)(==+=+==X P X P X P x F 故 ,2,121,2/110,3/10,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=x x x x x F )(x F 的图形是阶梯状的图形, 在2,1,0=x 处有跳跃, 其跃度分别等于},0{=X P },1{=X P }.2{=X P例6 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F )2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤= )3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当例7（讲义例3）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.解 由于)(x F 是一个阶梯型函数, 故知X 是一个离散型随机变量, )(x F 的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图.故X 的概率分布为 .19/419/619/9321i p X课堂练习设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1321i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第二章 一维随机变量
P(
=
xi
)，得
0
F
(
x
)
=
0.5 0.5 + 1− 2q
0.5 + 1 − 2q + q2
, x. −1 , x [ −1, 0 ) , x [ −1, 0 ) , x [1, + )
0
, x −1
F
(
x
)
=
0.5
, x [ −1, 0 )
2 − 0.5 , x [ 0,1)
P{ X
1}, 2
P{3 X 5},
2
2
解： X 的分布函数为
0, x −1
F(
x
)
=
0.25, 0.75,
−1 x 2 2 x3
1,
x3
1 P{X } = P{X = −1} = 0.25,
2
3
5
P{ X } = P{X = 2} = 0.5,
2
2
例9 设是离散型随机变量，分布列为：
试求常数c及其分布函数。
解：利用规范性
+
b
1 = p( x)dx = cdx = c(b − a)
−
a
c = 1 b−a
1
p(
x
)
=
b
−
a
,
0 ,
x (a, b) 其它
称服从(a,b)上的均匀分布，记为 ~ U(a,b)
利用分布函数是密度函数积分的定义得
当x a时，F ( x) =
1
, x [1, + )
例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红 绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿 灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立， 以 记该 车首次遇到红灯前已通过的道口 数，求的概率分布。
《概率论与数理统计》第三章
§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
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P{ X = k} =
λk e λ
, k = 0,1,2,L ,
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示 泊松分布随机数演示
泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 α 们做了2608次观察(每次时间为 秒)发现放射 次观察( 们做了 次观察 每次时间为7.5秒 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数 服从泊松分布. 服从泊松分布.
以X记 A在 n 次试验中发生 的次数,X为一个随机变量 其分布律为
n k P( X = k ) = p (1 p) n k 记 q = 1 p k
n k nk P( X = k ) = p q k
n k n k L p q L k 称这样的分布为二项分布 二项分布.记为 称这样的分布为二项分布 记为 X ~ b(n, p).
2.说明 说明
(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率 此随机变量的取值也有一定的概率规律. 此随机变量的取值也有一定的概率规律
则
X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
400 P{ X = k } = (0.02)k ( 0.98)400 k , k = 0,1,L,400. k 因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399= 0.9972.
两点分布随机数演示 两点分布随机数演示
2.离散型均匀分布(等可能分布) 离散型均匀分布(等可能分布) 离散型均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为 a1 a2L an X 1 1 1 L pk n n n 其中 ( ai ≠ a j ), ( i ≠ j ) , 则称 X 服从等可能分布 . 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有
X
0
1
10 200
pk
190 200
服从(0 分布. 则随机变量 X 服从 —1)分布 分布
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是 明天是否下雨,种籽是否发芽等, 女,明天是否下雨,种籽是否发芽等 都属于两点 分布. 分布
二项分布
n=1
得 X 的分布律为 X 0 1 n n 1 n pk q pq 1
L
k
L
n
pn
两点分布
二项分布的图形
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
次射击,每 例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击 每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 则击中目标的次 的二项分布. 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布
(3)随机变量与随机事件的关系 随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 念之内 或者说 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 随机现象 而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象. 机现象 (4) 随机事件可以用随机变量表示
在生物学,医学,工业统计, 在生物学,医学,工业统计,保险科学及 泊松分布是常见的. 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 例如地震,火山爆发,特大洪水, 例如地震,火山爆发,特大洪水,交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 话呼唤次数等 都服从泊松分布
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
只可能取0与 两个值 设随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
1 p
分布或两点分布. 则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布
实例1 抛硬币 试验,观察正 抛硬币" 观察正, 实例 "抛硬币"试验 观察正,反两面情 况. 0, 当e = 正面 , X = X (e ) = 1, 当e = 反面. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布 分布. 其分布律为
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示 均匀分布随机数演示
3.二项分布 二项分布
n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P( A) = 1 p.
将 将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
例3 (续)
8 e P ( X = 0) ≈ 0!
0
8
=e ,
8
8 e P( X = 1) ≈ 1!
1
8
= 8e
8
8 0 e 8 P ( X ≥ 2) ≈ = 1 e 8 8e 8 = 0.997 0!
上面我们提到 二项分布
np → λ ( n → +∞ )
泊松分布
单击图形播放/ ESC键退出 单击图形播放/暂停 ESC键退出
离散型随机变量的分布律
定义
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 , 即事件 xi (i = 1, 2 , L), X 取各个可能值的概率 { X = xi } 的概率 , 为 P{ X = xi } = P ( xi ), 称此为离散型随机变量 或概率分布 . i = 1, 2, L . X 的分布列(或分布函数)
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 0.4 3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43
5 4 0.6 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
例3 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概 率 . 解 设击中的次数为 X ,
说明
(1) P ( xi ) ≥ 0, i = 1,2, L;
(2) ∑ P ( xi ) = 1.
i =1 ∞
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
x2 L xn L p2 L pn L
X
pk
x1 p1
x2 L xn L p2 L pn L
二,常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布 两点分布
实例1 实例 结果: 结果
掷一个硬币, 掷一个硬币 观察出现的面 , 共有两个
w1 = (反面朝上),
w2 = (正面朝上),
即 X (w) 是 一个随机变 w = 反面朝上. 量. ( 事件{正面朝上}和 {反面朝上} 就可分别用 ( X = 1) 和 X = 0) 表示 P( X = 1) = P{出现正面} = 1 / 2 P( X = 0) = P{出现反面} = 1 / 2
例3告诉我们:一个事件尽管在一次实验中发 生的概率很小,但在大量的独立重复试验中 这个事件几乎是一定发生的,也就是说:小 概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视 的.
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, L , 而取各个 值的概率为 k! 其中λ > 0 是常数.则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P(λ ).
第二章
一维随机变量及其分布
一,随机变量及其分布 二,离散型随机变量的分布函数 三,离散型随机变量的概率函数 四,连续型随机变量及其概率密度 五,随机变量的函数的分布
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的,为了更方便有力的研究随机现象, 性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用 数学分析的方法来研究, 数学分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的 推导和计算,就需将任意的随机事件数量化. 推导和计算,就需将任意的随机事件数量化.当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 就建立起了随机变量的概念. 就建立起了随机变量的概念.
1, X ( w) = 白色0,
w = 红色, w = 白色.
红色
白色
X (ω )
1
0
R
红色, 这样便将非数量的 ={红色,白色 数量化了 红色 白色} 数量化了.
实例2 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 实例 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的 则
X (w) = 此 的 车 间, 人 等 时
是一个随机变量. 是一个随机变量 且 X(w) 的所有可 能取值为: 能取值为 [0,5].
定义
是一随机试验, 是它的样本空间, 设E是一随机试验, 是它的样本空间, 若
按 ω ∈ 一定法则→ 实数X (ω)
则称 上的单值实值函数 X ( ω)为随机变 量 随机变量一般用 X, Y , Z ,…或小写希腊字母 ξ, η, ζ 表示
{出现i点} 就可以用 ( X (w) = i)表示,并且 表示, P( X ( w) = i ) = P{出现i点} = 1 / 6
随机变量的分类
(1)离散型 离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或