应用PDE讲义01_绪论

1 对于多于两个自变量的偏微分方程，可以有类似的定义和特性描述。
2.1 线性偏微分方程
Laplace 方程
特征值方程 ∆
热方程
∆ 0， 为常数
∆ 0， Schrodinger 方程
0 为常数
∆ 0， 为纯虚数 Kolmogorov 方程
0，
，
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其中， ， ， 1，2， Fokker‐Planck 方程
变量；因此，两个自变量 ， 的一阶和二阶线性偏微分方程的一般形
式分别为
，
，
，
，
和
，
2，
，
，
，
，
，
分别带有不同的系数函数 ， ， ， ， ， ， 和另一
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个不包含 的函数 ， 。
称 ， 0的线性方程
0
为齐次线性方程；且非齐次线性方程
， 的任何两个不
同解的差也是
Leabharlann Baidu0的一个解。
拟线性偏微分方程是其中最高阶导数线性地出现的方程，例如
的发展动态。若将人口分若干年龄组，在把每个年龄组的个体同等对
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待，就可以得到一个用常微分方程组来描述的模型．更恰当的方法， 是考虑年龄的连续变化的影响，这就引导到用偏微分方程描述的模型。
1.3 Foerster 模型
考虑一个稳定社会中的人口发展过程。设人口数量不仅和时间
有关，还和年龄 有关；人口数量足够大，以连续函数 ， 描述
，
中的人
数
， ，从而
，
，
对等号两边的函数分别作 Taylor 展开
，
，
忽略二阶小量
，得到 ， 应满足方程
0
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实际上，还必须考虑死亡的影响．年龄在 ，
人口在时段
，
中的死亡数可自然地假设与此年龄段中人口数 ，
成正比，并与时间区间长度 成正比，其比例系数记为 ，称为
死亡率．假设社会是稳定的，与年龄有关的死亡的 可设为与时间
§1 生物群体演化模型
对生物群体（包括人口）的发展建立用偏微分方程描述的数学模 型，假定生物群体总数很多，可用一个连续模型来描述。
1.1 Malthus 模型
假设在时刻 时人口总数为 ，是 的一个连续可微函数，
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不是整数的值也是可以容许的．在时段 ， d ，人口的增长量为
d
d
dd
应等于此时段中出生数减去死亡数。
无关．
在时刻 ，
，年龄在 ，
中的人数 ，
应等于时刻 ，年龄在
，
中的人数
，
减去时段 ，
，年龄在
，
中的死亡数
， ，类似地得到
，
主部为常系数的一阶偏微分方程。
人口密度 ， 还应满足的一定的定解条件．设初始人口密度
分布为 ，则有
作为初始条件。
0 时： ，0
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在推导方程时只考虑了死亡，没
有考虑出生，出生婴儿数应该作为
应用偏微分方程与科学计算 讲义（ ）
Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and
Scientific Computing No. 1
马石庄
2011．09．06．
1
第 1 讲 绪论：科学计算的核心
教学目的： 微分方程与数学模型紧密联系，求解微分方程是科学计算的核
体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，
就要进行生存竞争．因此，总数大了以后，不仅有一个自然的线性增
长项 ，还有一个竞争项来部分地抵消这个增长，人口增长的指
数规律不再成立。此项可改为
，相当于还存在—个与 成
正比例的死亡率
．
Malthus 模型修改为
d d
Verhulst Logistic 模型。其中，和 称为生命常数，通常， 。因
常大．例如，根据统计数字，取 1961 年为 ， ＝30.6 亿，而
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1951‐1961 十年中每年人口净增长率 0.02，就有 3.06 10 exp 0.02 1961
将这个公式用于倒推计算在 1700‐1961 年间的人口，和实际情况是 符合得较好的，在这段时间内地球上入口约每 35 年增加一倍．
1.2 Verhulst 模型
Malthus 模型是不完善的，不加限制地使用，就会出现很不合理
的情况：到 2510 年，人门达2.0 10 亿，即如果地球上海洋全部变
成陆地，每人不足一平方米的活动范围．
Malthus 模型假设人口净增长率 为常数，从而人口方程是线性
常微分方程，只在群体总数不太大时才合理。在总数增大时，生物群
exp 即人口总数按指数增长，此即 Malthus 人口模型。容易地证明人口每 34.6 年增加一倍。
现在来看这个模型本身的正确性．如果承认这个模型，式中 及
可以容易地根据人口统计数字来确定。 就是某一年统计的人口总
数， 就是每年人口的净增长率．可以看到，这个规律在一个不太长
的时间中使用是相当精确的，但是在一个相当长的时间中，差距就非
0；而当
/2 时 ， 成 立
0。因此，
的形状为如
图的 S 形曲线．这说明：在人口总数达 到饱和值的一半之前，是加速增长时期；
过底为减速增长时期．
为了利用这个模型来预测地球上的人口，必须确定 和 两个生命
常数．据一些生态学家估计，可取 0.029．由前面 1961 年的统计
数字，人口净增长率为 0.02，代入Verhulst 模型，可以估计出
0
ln
exp
exp
因此，当
∞时，
/ 。可以看到，无论初值 大小，生
物种群的总数都在足够多次繁衍后，趋于有生命常数决定的恒定饱和
值 A。
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当0
的情形，是具有实际意义的，
单调上升趋于 ，从而 / 0。由于
0，由于
d
d
d
2
d
d
d
d 2
d
因此，在 的增长的过程中，当
/2 饱 和 值 的 一 半 时 ， 成 立
设出生率为 ，死亡率为 ；假定出生数和死亡数与人口和时间
间隔成正比，则在时段 ， d 人口出生数为
d ，死亡数为
d 。人口净增长率
– ，则得到人口满足的常微分方程，
设已知时刻
d d
时人口总数为 ，有初始条件
，
因此，得到支配人口增长的 Cauchy 问题
d d ，
称为Malthus 模型。由高等数学知道，解为
时段出生的
婴儿总数应等于在年龄区间 0， 的人数 0， ，于是得在 0
处的边界条件为
0： 0，
，
因此，人口问题的偏微分方程模型构成定解问题：
，0
0，
，
由于在边界条件中包含了未知函数的积分，是一个非局部的定解问题．
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§2 典型偏微分方程
偏微分方程（PDE）包含且确定多元自变量的函数，而包含单一 自变量函数的微分方程称为常微分方程（ODE）。因此，常微分方程 实际上是偏微分方程的一种特殊情况。
此，当 不太大的时候，可以忽略竞争项，简化为 Malthus 模型； 但是，当 增大时，竞争项就不能忽略。国家越发达，生命常数 就越
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小。对Verhulst 模型中方程分离变量，积分得到 d
从而
从而 故得 解出 ，
ln
若初值
/
，则解
const；若初值
。则在
时，恒
有解
/ ，但是
。因此，
在
∞
时，即在解存在的范围内恒成立
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偏微分方程是纯粹数学和应用数学的核心，通常出现在因变量作 为空间和时间为自变量的连续变化的函数的模型中。偏微分方程最引 人注目的特点是普适性，可以从物理科学、工程科学、生命科学甚至 金融科学领域中找每一个数学概念的来源。这种应用性随着现代科学 计算技术的发展而日益而增长。
适定性是现代偏微分方程分析的主要目的之一。粗略地说，一个 偏微分方程的定解问题是适定的，如果它有解，唯一，且对输入数据 的微小改变的响应也是很小的。前两个准则是一个有意义的物理模型 所要求的，第三个准则是实验观察的基础。考虑适定性时还要主义实 际问题通常得不到显示解，因此数值解在应用中就尤其重要。偏微分 方程的适定性与科学计算的中心问题紧密相关：对一个给定一定精度 的问题，数值解的精度有多少。不但如此，必须准备同时面对适定和 不适定的问题。
人口在任意固定时刻 按年龄坐标 的分布密度，即在时刻 ，年龄
在，
中的人口数 ， ．因此在时刻 的人口总数为
，
，
积分上限其实只须取为人的最大年龄 。
下面推导 ， 所满足的偏微分方程．如
果不考虑死亡，那末对任何人来说，时间的增量
就等于年龄的增加。因此，在时段 ，
，
年龄在 ，
中的人数 ，
应
等于时刻 ，年龄在
2.941 10 故人口的饱和值接近 100 亿。
上述模型都是常微分方程的，根本缺陷是将群体中的每一个体都
同等对待，原则上只适用于低等动物；对人群来说，必须考虑不同个
体间的差别，特则是年龄因素的影响．人口的数量不仅和时间有关，
还应和年龄有关，人口统计也要统计不同年龄的人数，同时出生率、
死亡率等都应和年龄有关．不考虑年龄因素，就不能正确地把握人口
设 ， 表示自变量，对于物理科学而言，分别表示空间变量和时 间变量；设 ， 是依赖于 ， 的函数，采用记号
，
，
，
，
具有型如
，， ， ， ， ， ，
0
的关系式就称为关于函数 ， 的偏微分方程。
偏微分方程的阶是指方程中出现的最高阶导数的阶。线性偏微
分方程是生成函数 线性地依赖于除自变量 ， 以外的其它所有自
心内容；建立常微分方程与偏微分方程的密切联系，建立课程的模式 偏微分方程和基本概念。 主要内容： §1 生物群体演化模型 ............................................................................. 3
1.1 Malthus 模型................................................................................ 3 1.2 Verhulst 模型 ............................................................................... 5 1.3 Foerster 模型 ............................................................................... 8 §2 典型偏微分方程 ............................................................................... 11 2.1 线性偏微分方程 ........................................................................ 12 2.2 非线性方程 ................................................................................ 14 2.3 模式方程：对流‐扩散方程 ....................................................... 16 §3 解及其确定 ....................................................................................... 19 3.1 通解、一般解和特解 ............................................................... 19 3.2 线性偏微分方程的特征理论.................................................... 23 3.3 线性迭加原理 ............................................................................ 30 习题 1 ..................................................................................................... 31 附录 1：量阶符号和微分算子 ............................................................. 34 附录 2：计算机代数系统 ..................................................................... 37
0 时的边界条件．现计算时段
，
中出生的婴儿总数．假设社
会中男女各半，且男女按年龄的密度
分布也基本相等，再假定适龄男女都
能及时婚配，从而排除对影响生育率
的不必要干扰．设生育率为 与年龄 有关，即年龄在 ，
的
人口在时段 ，
中出生婴儿数为
， 。从而在时段
，
中出生的婴儿总数为：
，
其中的积分实际上也是在有限区间上的积分． ，