曲面积分习题课

Dxy
若 : z z( x, y) 下侧，则
R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy
Dxy
: x x( y, z), P( x, y, z)dydz P x( y, z), y, zdydz
Dyz
: y y( x, z), Q( x, y, z)dzdx Q x. y(z, x), zdzdx
2 zdxdy 4 4 16 1
1.设 L 为 4x2 y2 a2 的逆时针方向，
z z f (x, y)
柱面：y y( x)
O
y
x 准线L : y y( x)
四 典型题目
例1 计算
y
0,1
1 L x yds
。 2 L x ydx o
1,0 x
L : x y 1,从 1,0到0,1
解
1 L : y 1 x,ds 1 y2dx 2dx
L
x
yds
1
0 1
2dx
2
或L x yds L1ds L ds 2
2 L : y 1 x, x :1 0,
L
x
y dx
0
1 1
dx
1
例2 求
x2 y2
n
ds,
L
L : y a2 x2 上半圆周
解 改写L：x2 y2 a2 , y 0
x2 y2
n
ds
a2
n
ds
L
L
a2n ds a2n1 L
[(2 cos t)( sin t) (2cos t 2 sin t) cos t 2
(cos t sin t)(sin t cos t)]dt
0
(2sin t 2cos t 2cos 2t 1)dt 2 2
例5 求 x2dS
：x2 y2 z2 R2，第一卦限部分.
2
y
解
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P x
C
O Bx
x2 y2 0
A
积分与路径无关
因积分与路径无关，
y
CF
可选路径AEFC，则
OB x
A
E
xdy ydx 1 dx 1 dy 0 dx
I
L
x2 y2
1 1 x2 1 1 y2 1 1 x2
5
1 dx 0 1 x2
曲线的方向是由起点到终点（定积分） 或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲 面上点的法向量所指向的侧来确定.
问题3 设 是半球面 x2 y2 z2 R2 ( y 0)
的外侧.有人说：“由对称性知 zdS 0
故同样也有 zdxdy 0 ”, 对吗?
不对
讨论题
已知一柱面的准线（平面曲线）和高， 可以利用积分求出它的面积吗？
解法1 : z R2 x2 y2
dS
1
zx
2
z
2 y
dxdy
Rdxdy R2 x2 y2
Dxy : x2 y2 R2 , x 0, y2 0
: z R2 x2 y2
dS
1 zx2 zy2 dxdy
Rdxdy R2 x2 y2
x2dS
Dxy
Rx2dxdy R2 x2 y2
L
L
所以 (2xy 3x2 4 y2 )ds 12a
L
例4 计算曲线积分
(z y)dx ( x z)dy ( x y)dz
L
其中L是曲线
x2
y2
1
, 从z轴正向看去，
x y z 2
L取顺时针方向.
解 这里L由一般方程给出，首先要将一般
方程化为参数方程. 注意到 x2 y2 1
由此给出对弧长的曲线积分的几何意义.
提示：由定积分的几何意义推广.
答：柱面的侧面积
z z f (x, y)
L f ( x, y)ds
O
x
y
y=y(x)
（准线y=y(x)为底边，z=f (x,y)为高的面积）
平面上对弧长的曲线积分几何意义：
L f ( x, y)ds 表示柱面y y( x)介于
平面z 0与z f ( x, y)之间部分的面积.
记其所围成的空间区域为 由已知，
P z2 2x, Q 0, R 2z. 于是， P Q R 0.
x y z
由高斯公式，得 ：
(z2 2x)dydz - 2zdxdy 0dv 0.
1
于是，
(z2 2x)dydz - 2zdxdy
(z2 2x)dydz - 2zdxdy 1
z
3)
x
y
1与 2 在xoz面上的投影区域相同,即
Dzx z, x | 1 z 3,0 x 2
而侧相反，故
zdzdx zdzdx zdzdx zdzdx zdzdx 0
1
2
Dzx
Dzx
.
对于 xdydz : x 4 y2 (1 z 3) 前侧
在yoz面上的投影区域为
Dyz ( y, z) | 2 y 2,1 z 3
故 xdydz 4 y2 dydz
Dyz
3
2
dz
4 y2 dy
1
2
2 1 22 4 .
2
因此，原积分 4 0 0 4
例8 计算 e x cos ydx e x sin ydy L
其中L：x2 y2 x( y 0)从A1,0到O0,0
例3 设L为椭圆 x2 y2 1, 其周长为a，求
43
(2xy 3x2 4 y2 )ds
L
解 原式= 2xyds (3x2 4 y2 )ds
L
L
因为积分曲线L关于y轴对称，函数 2xy是x
的奇函数，因此有 2xyds 0
L
而 (3x2 4 y2 )ds 12ds 12a
解 由高斯公式，得
原式= 2x 3 2dv 2 xdv dv
= 2
1
xdx
22 x
dy
33 x
3 2
y
dz
1
1
2
3
0
0
0
6
= 4 1 5
例12 求 (z2 2x)dydz - 2zdxdy,
其中
为
z
1
(x2
y2)
介于 z 0
与Байду номын сангаас
z2
2
之间部分的下侧.
解 构造辅助平面 1：z 2(x2 y2 4) 取上侧.则 1构成分片光滑的封闭曲面，
因此可令 x cos t, y sin t,再由 z 2 x y
得 z 2 cos t sin t, t 从2 变到0.
x cos t,
L参数方程
y
sin
t
,
t 从2 变到0.
z 2 cos t sin t,
于是 (z y)dx ( x z)dy ( x y)dz L 0
从A , 到B ,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
P
(t ),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt
2．曲面积分的计算（化为二重积分）
（1）对面积（第一类）的曲面积分
若 : z z(x, y)
f (x, y, z)dS
f x, y, z(x, y)
1
z
2 x
(
6
例6 求 x2 y2 z x2 y2dxdy， : z 1 x2 y2 z 0 的下侧.
解 下向xoy面的投影区域Dxy : x2 y2 1
x2 y2 z x2 y2dxdy=
Dxy
2
d
1 2d 2
0
0
3
x2 y2 dxdy
例7 求 xdydz zdzdx y2 zdxdy
)dv
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
为外侧.
三 问题与思考
问题1 设 为平面 x z a 在柱面
x2 y2 a2 内那一部分的上侧，
下面两个积分的解法是否正确？
(1) ( x z)dS a dS a 的面积 2 a3
正确
(2) (x z)dxdy a dxdy a 的面积
5arctan x |10
5
4
D
y C
请思考：能否取折线ADC
不能 x2 y2 0
OB x A
例10 求 y tan2 xdx tan xdy
L
L是从点 A(1, 0) 沿 y
1 2x2到B(
2 , 0)
2
的弧段.
解 将L补上直线段BA：y 0, x从 2变到 2 ,
2
2
使其成为闭曲线 L1 L BA,
前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需 考虑方向性,而后者被积函数是向量函数,必须考 虑方向.因此,一个函数的积分可以由积分区域的 有向或无向分为两种类型的积分.
在所学过的积分中区域无向的积分有： 重积分,第一类曲线积分和第一类曲面积分 区域有向的积分有： 定积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分.
L1
（D为上半椭圆域）
D
D
dxdy
4
.
y tan2 xdx tan xdy y tan2 xdx tan xdy
L
L1 BA
2 0 2 .
4
4
例11 x2 2 ydydz 3 y zdzdx 3x 2zdxdy,
: x 0, y 0, z 0, x y z 1所围成曲面内侧. 1 23
如果 是下侧，则
(x z)dxdy a dxdy a3
D
问题2. 如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的 概念？ 答：由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种 类型,有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问 题导出第一类线面积分;有关变力作功,流体流过 曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分.
x
积分 y tan2 xdx tan xdy
L L1 BA
y tan2 xdx tan xdy 0
BA
dy 0
B
o Ay
由格林公式
Q P
L
Pdx
Qdy
D
x
y
dxdy
P tan2 x, Q sec2 x
y
x
y tan2 xdx tan xdy (sec2 x tan2 x)dxdy
第十章 习题课
曲线积分与曲面积分
一 基本要求
1．理解两类曲线和曲面积分的概念,了解 两类积分的性质以及两类积分的关系.
2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.
3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分 与路径无关的条件.
4.了解高斯公式,并会用公式求曲面积分.
5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何 量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量, 引力、功和流量等）.
Dxy : x2 y2 R2 , x 0, y2 0
R
2 d
R 3 cos2 d R4
0
0 R2 2
6
解法2 由对称性（轮换性）
x2dS y2dS z2dS
x2dS 1 x2 y2 z2 dS
3
R2
dS R2 1 4 R2 R4
3
38
二.要点提示
1.曲线积分的计算——化为定积分计算 （1）对弧长（第一类）
设L：x (t), y (t), t
f ( x, y)ds f (t), (t) 2(t) 2(t)dt,
L
弧微分 ds 2(t) 2(t)dt,
（2）对坐标（第二类）
设L：x (t), y (t),
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)dxdy
Dxy
: x x( y, z), dS
1
x
2 y
xz2 dydz
: y y( x, z), dS 1 yx2 yz2dxdz
（2）对坐标（第二类）的曲面积分
若 : z z( x, y) 上侧，则
R( x, y, z)dxdy R x, y, z(x, y)dxdy
Dzx
3.格林公式 ——平面上曲线积分与二重积分的关系
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
L取正向.
（1）曲线积分与路径无关的条件 Q P
x y
以及等价关系.
（2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线， 利用格林公式求曲线积分.
4.高斯公式 —— 曲面积分与三重积分的关系
P Q R
(
x
y
z
2 a3
错误
( x z)dS 2 a3, ( x z)dxdy 2 a3
因为第二个积分是对坐标的曲面积分，
其中的微元 dxdy 是dS 在xoy面上的投影，
故正确的作法是：
(x z)dxdy a dxdy a dxdy
a D的面积 a3
D D : x2 y2 a2
的上半圆周.
解 Q e x sin y P 积分与路径无关
x
x
另选直线AO : y 0, x :1 0 x
e x cos ydx e x sin ydy L
0ex cos0dx 1 e 1
o
Ay
例9
求I
L
xdy x2
ydx y2
L是有向折线ABC
这里 A(1, 1), B( 1 , 0),C(0,1)
是 x2 y2 4 x 0介于 1 z 3
之间的部分，它的法向量指向前侧.
解 由于曲面 在xoy面的投影为一半圆周
z
曲线，面积为0，所以
y2 zdxdy 0
y
x
对于 zdzdx, 分为两块
z
1
:
y 4 右侧
x2
( x 0,1 z 3)
2
1
2
:
y 左侧
4
x2
( x 0,1