利用导数求函数最值

练习3： 练习 ：
求函数y = x3 - 3ax + 2(a > 0)的极值,并问方程 x - 3ax + 2 = 0何时有三个不同的实根?
3
何时有连个根?有唯一的实根?
∵ a>0, y ' = 3 x − 3a . x， y， y ' 的 变 化 得 由
2
x
f ′(x)
（ ， a − a (− a, a ) −∞ − ）
x = x3 x = x4
x = x5
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗 如果有 有最大值和最小值吗?如果有 有最大值和最小值吗 如果有, 最大值和最小值分别是什么? 最大值和最小值分别是什么
ymax = f (x3 )
ymin = f (x4 )
x1 x2 x3 x4 x5
在区间[1 [1， 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1， 5]内的最大值和最小值 5]内的最大值和最小值
′(x)=2x解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2 f′(x)=0， 2x–4=0， x
f ′(x)
1
（1 ，2 ） -
2 0
2
（2 ，5 ） +
3.3.3 最大值与最小值
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值) 最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x 如果在函数定义域 内存在x0,使 内存在 得对任意的x∈ 总有f(x) x∈I, 得对任意的x∈ ,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x 为函数f(x) f(x)在定义域上的 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的. 最值是相对函数定义域整体而言的. 定义域整体而言的
x ( 5ax - 3b ) = 0
2 2
∵ x = ±1是极值点， 5a - 3b = 0 ∴ 又∵ x = 0
2
∴ x=0，x= ± 1可能是极值点。
练习: 练习 在 ± 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为 极小值为0 试求 极大值为4,极小值为 试求a,b,c 时有极值 极大值为 极小值为 ,试求 的值 .
已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数 ，使 问是否存在实数a,b 已知三次函数 问是否存在实数 f(x)在[-1,2]上取得最大值 ，最小值 上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出 若存在， 在 上取得最大值 若存在 a,b的值；若不存在，请说明理由。 的值； 的值 若不存在，请说明理由。
练 习
1 4 1 3 1 2 函数 y = x + x + x ，在 4 3 2
［－1 ［－1，1］上的最小值为( 上的最小值为( A.0 B.－ B.－2 C.－ C.－1
A
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.13/12
4x 2、函数 y = 2 、 x +1
（
C
）
A.有最大值 ，无最小值 有最大值2， 有最大值 B.无最大值，有最小值 无最大值， 无最大值 有最小值-2 C.最大值为 ，最小值 最大值为2，最小值-2 最大值为 D.无最值 无最值
上的图象, 回答: 观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象 回答 (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值 有极大值和极小值? 极大: 极大 x = x2 极小: x = x1 极小
x = x3
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗 如果有 有最大值和最小值吗?如果有 有最大值和最小值吗 如果有, 最大值和最小值分别是什么? 最大值和最小值分别是什么 y y = f (x)
3、函数 f (x) = 2 x − cos x在（-∞,+∞)上（ ） 、
A.是增函数 是增函数 C.有最大值 有最大值 B.是减函数 是减函数 D.最小值 最小值
1 例3、求f ( x) = x + sinx在区间 2 [0， [0，2π]上的最值.
解：
函数f(x)的最大值 π, 函数f 是 最小值是0 最小值是0.
求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 复习 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (1)求导数f′(x); 求导数 为极值点.) (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点 (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) 求方程f′(x)=0 用函数的导数为0的点， (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间， 数的定义区间分成若干小开区间 ， 并 列成表格. 列成表格. 检查f′(x) 在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值. 值的符号，求出极大值和极小值.
ymax = f (a)
ymin = f (x1)
a O
x1 x2 x3 b
x
二.如何求函数的最值? 如何求函数的最值? (1)利用函数的单调性; (1)利用函数的单调性; 利用函数的单调性 如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. y=2x+1在区间[1,3]上的最值. 在区间[1,3]上的最值 (2)利用函数的图象; (2)利用函数的图象; 利用函数的图象 在区间[1,3]上的最值. 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. y=(x－ +3在区间[1,3]上的最值 (3)利用函数的导数; (3)利用函数的导数; 利用函数的导数
5
f (x) 3
11
故函数f 在区间[ 内的最大值 故函数f (x) 在区间[1，5]内的最大值 11，最小值为2 为11，最小值为2
若函数f(x)在所给的区间 内有唯一的极值，则它是函数的 在所给的区间I内有唯一的极值 若函数 在所给的区间 内有唯一的极值， 最值
1 3 上的最大值与最小值. 例2 求函数 f (x) = x − 4x + 4在[0,3]上的最大值与最小值 上的最大值与最小值 3 解: 令 f ′(x) = x2 − 4 = 0, x ∈[0,3]
若 a>0, y ' = 5 ax 2 ( x 2 − 1 ). x， y， y ' 的 变 化 得 由
（0 ，1 ） 1 0
极小
x （ ，1） -1 (-1,0) 0 −∞ −
f ′(x)
(1,+∞) +
+
0
极大
-
0
无极值
f (x)
−a + b + c = 4 a = 3 ∴ a − b + c = 0 ∴ b = 5 5a = 3b c = 2
练习: 练习 在 ± 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为 极小值为0 试求 极大值为4,极小值为 试求a,b,c 时有极值 极大值为 极小值为 ,试求 的值 .
若a<0,y' = 5ax 2 ( x 2 − 1 ). 由x，y，y ' 的变化得 a = -3 b = -5 c = 2
已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数 ，使 问是否存在实数a,b 已知三次函数 问是否存在实数 f(x)在[-1,2]上取得最大值 ，最小值 上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出 若存在， 在 上取得最大值 若存在 a,b的值；若不存在，请说明理由。 的值； 的值 若不存在，请说明理由。
3 2
y
a
x
作业： 作业：
1.已知函数 已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx在点 在点x=1处有 已知函数 在点 处有 极小值-1，试确定a,b的值 并求出f(x)的 的值， 极小值 ，试确定 的值，并求出 的 单调区间。 单调区间。
2.三次函数 三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间 在区间[-1,1] 三次函数 在区间 上有极大值和极小值，求常数a的取值 上有极大值和极小值，求常数 的取值 范围. 范围
[a, b]
f (x )
注意: 注意: 1.在定义域内 最值唯一;极值不唯一; 在定义域内, 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大. 2.最大值一定比最小值大. 最大值一定比最小值大
上的图象, 回答: 观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象 回答 (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值 有极大值和极小值? 极大: 极大 x = x1 极小: x = x2 极小
求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 上的最大值与 最小值的步骤如下: 最小值的步骤如下 (1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f 比较, 点处的函数值 (a), f (b) 比较 其中最 大的一个是最大值, 大的一个是最大值 最小的一个是最 小值. 小值
a
( a , +∞ )
+
0
极大
-
0
极小
+
f (x)
x
f ′(x)
（ ， a − a (− a, a ) −∞ − ）
a
( a , +∞ )
+
0
极大
-
0
极小
+
f (x)
∴当f( a） 2 − 2 < 0, = 即a>1时， 方程有三个不同的根； 当a=1时，有两个根。 当0<a<1时，有唯一根
− a
解得 x = 2 . 当0≤x<2时，f’(x)<0;当2<x≤3时，f’(x)>0 时 当 时
4 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) = − . 有极小值 3 又由于 f (0) = 4, f (3) =1 , 1 3 上的最大值是4, 上的最大值是 所以, 所以 函数 f (x) = x − 4x + 4在[0,3]上的最大值是 3 4 最小值是 − . 3
8 练习： 练习：求函数 y = 2 x + 的极值 x
x=-2时，y有极大值 ， 时 有极大值-8， 有极大值 有极小值8 当x=2时，y有极小值 时 有极小值
练习: 练习 在 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在 x=±1时有极值 极大值为 极小值为 , 时有极值,极大值为 极小值为0 ± 时有极值 极大值为4,极小值为 试求a,b,c的值 . 试求 的值 4 2 提示：y' = 5ax − 3bx . ' = 0.得 由y