第7章 超音速翼型和机翼的气动特性(1)

7.2 超音速薄翼型线化理论
超音速薄翼型线化理论
为了减小波阻，超声速翼型厚度都比较薄，弯度很小甚至 为零，且飞行时迎角也很小。因此产生的激波强度也较弱， 作为一级近似可忽略通过激波气流熵的增加，在无粘假设 下可认为流场等熵有位，从而可用前述线化位流方程在给 定线化边界条件下求解。
超音速薄翼型线化理论
( , ) f1 ( x By) f 2 ( x By)
对超声速翼型绕流的上半平 面流场，由于扰动不能向上 游传播，因此
f 2 ( x By) 0
故上半平面流场小扰动速度位是：
f1 ( ) f1 ( x By)
超音速薄翼型线化理论
故上半平面流场小扰动速度位是：
实线表示激波，虚线表示膨胀波 (a) 小迎角 < (b) 中迎角 >
超音速薄翼型的绕流
如果迎角小于薄翼型前 缘半顶角，则气流流过 翼型时，在前缘处相当 于绕凹角流动，因此， 前缘上下表面将产生两 道附体的斜激波。
小迎角
超音速薄翼型的绕流
当有迎角时，由于上下 翼面气流相对于来流的 偏转角不同，因此，上 下翼面的激波强度和倾 角也不同。
中迎角
超音速薄翼型的绕流
由于在后缘处流动方向和压 强不一致，有一道斜激波和 一族膨胀波,以使后缘汇合 后的气流具有相同的指向和 相等的压强。（近似认为与 来流相同）
实线表示激波，虚线表示膨胀波 (b) 中迎角 >
超音速薄翼型的绕流
受激波和膨胀波的影响，翼型压强在激波后变大，在膨 胀波后变小。
第7章 超音速翼型和机翼的气动 特性(1)
7.1 超音速薄翼型的绕流
超音速薄翼型的绕流
超音速气流流过物体时，如果是钝头体，在物体表面 将有离体激波产生。由于离体激波中有一段较大的正 激波，使物体承受较大的激波阻力（波阻力）。 为了减小波阻力，超音速翼型前缘最后做成尖的如菱 形、四边形和双弧形等尖前缘。
流线方程为
dy dx dx v V u V y d sin 2 ( x Bh) l
dy v 2 d 2 ( x Bh) cos dx V l l
超音速薄翼型线化理论
4 d 2 ( x By ) 压强系数为 C p cos B l l
在线化理论假设下，对于超声 速气流绕过波纹壁面的扰动速 度和流线的幅值均不随离开壁 面的距离而减小。
在壁面处（y=0）的压强分布为
C ps
4 d 2x cos B l l
超音速薄翼型线化理论
dyu 设翼型上表面的斜率为 dx ，根
据翼型绕流的线化边界条件，
代入y向速度公式，得
v y 0

dyu V dx
超音速薄翼型线化理论
v y 0

dyu V dx
而
df1 u f1( x By) x d x df1 v Bf1( x By) y d y
超音速薄翼型的绕流
但是，超音速飞机总要经历起飞和着陆的阶段，尖头 翼型在低速绕流时，在较小的迎角时气流就有可能在 前缘分离，使翼型的气动特性变坏。 因此，为了兼顾超音速飞机高速飞行的低速特性，目 前，低超音速飞机的翼型，其形状都为小圆头对称薄 翼型。
超音速薄翼型的绕流
下面以双弧形为源自文库，说明翼型超音速绕流的流动特点。
超音速薄翼型线化理论
V d 2 ( x By) ( x, y ) f1 ( x By) sin B l 在流场任意点处，扰动速度为
V d 2 df1 2 ( x By) ' u f1 ( x By) cos x d x B l l df1 2d 2 ( x By) ' v Bf1 ( x By) V cos y d y l l
在上半平面，沿 x 和 y 向的扰动 速度分量为：
df1 u f1( x By) x d x
df1 v Bf1( x By) y d y
函数
f1 ( x By)
可由翼型绕流的边界条件确定。
超音速薄翼型线化理论
函数
f1 ( x By) 可由翼型绕流的边界条件确定。
如对于二维波纹壁面的超声速绕流，设波纹壁面的曲线为
2x y s d sin l
其中，l为波长，d为波幅，d/l<<1。 由壁面边界条件可知，y=0，有
v y 0
v y 0
df1 Bf1' ( x) y y 0 d y
dys V 法向速度边界条件 dx
x By,
x By
将原变量代回得线化方程的通解：
( , ) f1 ( x By) f 2 ( x By)
超音速薄翼型线化理论
( , ) f1 ( x By) f 2 ( x By)
x By 常数, x By＝常数 分别表示倾角为 arctg1/B 和 arctg（- 1/B ）的两族直
小迎角
超音速薄翼型的绕流
靠近翼面的气流，通过激波后，将偏转到与前缘处的切 线方向一致，随后，气流沿翼型表面的流动相当于绕凸 曲线的流动，通过一系列膨胀波。
超音速薄翼型的绕流
从翼型的前部所发出的膨胀波，将与头部激波相交，激 波强度受到削弱，使激波相对于来流的倾角逐渐减小， 最后退化为马赫波。
实线表示激波，虚线表示膨胀波 (a) 小迎角 <
超音速薄翼型的绕流
当翼型处于大正迎角时，上 翼面前缘产生膨胀波，压 强小；下翼面前缘产生激 波，压强大。所以上翼面 的压强低于下翼面的压强 ，压强合力在与来流相垂 直的方向上有一个分力， 即升力。
实线表示激波，虚线表示膨胀波 (b) 中迎角 >
超音速薄翼型的绕流
激波阻力和升力与翼面上的压强分布有关。
超音速薄翼型的绕流
翼面的压强在激波后最大，以后沿翼面经一系列膨胀 波而顺流逐渐减小。由于翼面前半段的压强大于后半 段压强，因而翼面上压强的合力在来流方向将有一个 向后的分力，即为波阻力。(激波阻力形成机理)
超音速薄翼型的绕流
当翼型处于小的正迎角时，由 于上翼面前缘的切线相对于来 流所组成的凹角，较下翼面的 为小，故上翼面的激波较下翼 面的弱，其波后马赫数较下翼 面的大，波后压强较下翼面的 低，所以上翼面的压强低于下 翼面的压强，压强合力在与来 流相垂直的方向上有一个分力 ，即升力。
代入，得：
2 ( , ) 4B 0
2
超音速薄翼型线化理论
2 ( , ) 4B 2 0
上式对ξ 积分得：
( , ) f * ( )
f*是自变量η 的某一函数。
超音速薄翼型线化理论
( , ) f * ( )
将上式进一步积分得：
超音速薄翼型线化理论
2x y s d sin l
v y 0
故 得
dys V dx
v y 0
df1 Bf1( x) y y 0 d y
2 d 2 x Bf1( x) V cos l l
V d 2 ( x By) ( x, y ) f1 ( x By) sin B l
超声速二维流动的小扰动速度位函数，所满足的线化位 流方程为：
2 2 2 B 2 0, 2 x y
其中：B M 1
2
这是一个二阶线性双曲型偏微分方程，x沿来流，y与之 垂直。上述方程可用数理方程中的特征线法或行波法求 解。
超音速薄翼型线化理论
2 2 B 2 2 2 0, x y
df1 u f1( x By) x d x
df1 v Bf1( x By) y d y
可见扰动速度 u、v 沿马赫线 x By 常数 均是常数。 说明在线化理论中翼型上的波系不会衰变的，如上图所示。
超音速薄翼型线化理论
为解出通解，引入变量： 从而有：
其中：B M 2 1
x By, x By
x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 x
2 2 2 2 B2 ( 2 2 2) 2 y
小扰动压强系数为
2u 4 d 2 ( x By ) Cp cos V B l l
超音速薄翼型线化理论
在流场任意点处，扰动速度为
V d 2 df1 2 ( x By) ' u f1 ( x By) cos x d x B l l df1 2d 2 ( x By) ' v Bf1 ( x By) V cos y d y l l
线即马赫线（扰动波传播的方向）。其中，第一条为正向 波特征线，第二条为负向波特征线。
超音速薄翼型线化理论
( , ) f1 ( x By) f 2 ( x By)
其中，
f1 ( x By) f 2 ( x By)
表示沿正向特征线的波函数；
表示沿负向特征线的波函数；
超音速薄翼型线化理论
超音速薄翼型的绕流
当上下翼面的超音速气流流到翼型的后缘时，由于上下 气流的指向不同，且压强一般也不相等，故根据来流迎 角情况，在后缘上下必产生两道斜激波或一道斜激波和 一组膨胀波，以使在后缘汇合的气流有相同的指向和相 等的压强。
超音速薄翼型的绕流
当α ＜，前缘上下均受压缩，
形成强度不同的斜激波；经一
f1 ( ) f1 ( x By)
在上半平面，沿 x 和 y 向的扰动 速度分量为：
df1 u f1( x By) x d x
df1 v Bf1( x By) y d y
超音速薄翼型线化理论
在上半平面，沿 x 和 y 向的扰动 速度分量为：
( , ) f * ( )d f1 ( ) f1 ( ) f 2 ( )
* f 其中： f1 ( ) 是ξ 的某函数， 2 ( ) f ( )d是η 的某函数， 且二者无关。
超音速薄翼型线化理论
( , ) f * ( )d f1 ( ) f1 ( ) f 2 ( )
超音速薄翼型线化理论
线化位流方程：
2 2 B 2 2 2 0, x y
2 2 2 2 2 2 2 2 x
其中：B M 2 1
2 2 2 2 B2 ( 2 2 2) 2 y
系列膨胀波后，由于在后缘处 流动方向和压强不一致，从而 形成两道斜激波。以使后缘汇 合后的气流具有相同的指向和
相等的压强。（近似认为与来
流相同）
实线表示激波，虚线表示膨胀波 (a) 小迎角 <
超音速薄翼型的绕流
如果迎角大于薄翼型前缘 半顶角，则气流绕上翼面 前缘的流动，就相当于绕 凸角流动。上翼面前缘将 产生一组膨胀波，下面仍 为激波。
2 dyl C pl ( x,0 ) B dx
0+ 和0- 是 y=0 平面的上下表面，分别近似代 表翼型的上下表面。
故
u y 0

V dyu B dx
超音速薄翼型线化理论
u y 0 V dyu B dx

代入线化压强系数公式可得：
u 2 dyu C pu ( x,0 ) 2( ) y 0 V B dx
超音速薄翼型线化理论
对下半平面的流动，同理可得扰动速度 位为： f 2 ( ) f 2 ( x By) 同理可推得下半平面的压强系数为：