【最新】课件-垂径定理PPT

合都能得到另外三个。
简称“二推三”
应用1：垂径定理的有关计算
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截 面圆心O到水面的距离 ．
圆心到圆的一条弦的
． O
距离叫做弦心距．
A
C
16
B
应用1：垂径定理的有关计算
练习2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 E
⌒⌒ , AD=BD
?
C
C
CB
AE
O
O
O
E
E
A
BA
B
D
D
D
直径垂直弦 才能平分弦,平分弦所对的弧.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E.
A
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式： 求弧AB的四等分点．
错在哪里？
Ｅ
练习6 已知：⊙O中
弦AB∥⌒CD。⌒
C
求证：AC＝BD
A
M
D
∟.
B
O
N
小结:
A
.
O
C
B
A
O.
E AC
DB
M
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是
①过圆心作弦的垂线，
②作垂直于弦的直径，
③连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
六、总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
九年级上 册
两节课内容
提问：圆是什么对称图形？
O
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形
圆的轴对称形
●O
经过圆心的每 一条直线都是它的 对称轴。
或：任意一条直径
所在的直线都是圆 的对称轴。
判断：任意一条直径都 是圆的对称轴（ ）
探索规律
• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
探索规律
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所 对 的两 条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
以下三个图,是否有 AE=BE
⌒⌒ , AC=BC
A．3 B．6cm C．41 cm D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是 弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 A
C．3<OM<5
D．4<OM<5
．OAMB Nhomakorabea应用1：垂径定理的有关计算
练习1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的 距离为 3 cm,求⊙O的半径.
O
D
A
B
C
应用1：垂径定理的有关计算
小结：1．画弦心距是圆中常见的 辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
A
弦长AB 2 r 2 d 2 .
O．
dr
C
B
3．拱高，半径，弦长，弦心距之间的数量关系；
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
A
C
M
D
B
应用2:垂径定理有关的证明题.
练习5. 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。
证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ
∵ＯＥ⊥ＡＢ ∴ＡＥ＝ＥＢ ∵ＯＥ⊥ＣＤ
.O
A
E C
D
B
∴ＣＥ＝ＥＤ ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ
即ＡＣ＝ＢＤ
应用2:垂径定理有关的证明题.
C
G
1．作AB的垂直平分线CD Ｎ Ｍ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
强调：等分弧时一定要作
弧所对的弦的垂直平分线．
C
m
E
F
A
n
G
B
D
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
实际上推论不由止①这③C一ADM是个=直，B径M其他可任推意得 两个④⑤②条AA⌒⌒CCD件D==⊥BB⌒⌒组CDA,.B,
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
应用2:垂径定理有关的证明题.
例3 如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ． 求证：AC=BD ．
．O
。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
24 F
D
E
B
.F
D
O
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
2、已知：AB是⊙O直径，CD是弦， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F
求证：EC＝DF
B
O.
A EC
∟
MD F
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm， 最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A M└
B
●O
D
探索规律
能够重合的
• 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
弧叫等弧
∴AM=BM.
C
A M└ ●O
D
B ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, ⌒ A对D折和B时⌒D,重点合A.与点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
C
M
N
H
A
E
DF
B
O
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长AB 2 r 2 d 2 .
1 ．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
解：过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ
A
E8
B
3
O
Ｃ
Ｏ
Ａ
９ Ｅ １Ｂ
Ｄ
练习2：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，
Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的 长．
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度 为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C， CD=2.4m，现有一 艘宽3m，船舱顶部为方形并 高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船 能否顺利通过这座拱桥？