第5章控制系统的稳定性

例11 系统特征方程式为
4 3 2
D(s) s 2s Ts 10s 100 0
按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
s 3 s 2 s
s
1
4
1 2 T-5
10T-250 T-5
T 10 100
100

T 5 0,
10T 250 T 5
0
s
0
100
即必须 T > 25 系统才能稳定。
g( t ) Ci e
i 1
k
pi t
Ai e
i 1
r
i t
sin(i t i )
pi 0
i 0
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
★★ 控制系统稳定的充分必要条件为：系
统特征方程的根全部具有负实部。系统特 征方程的根就是闭环极点，所以控制系统 稳定的充分必要条件也可以表示为：闭环 传递函数的极点全部具有负实部，或者说 闭环传递函数的极点全部位于平面的S左半 面内。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
k ( s z1 )( s z2 )( s zm ) F( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导， 那么称f（Z）在Z0解析。 如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在 D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。 如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z） 的奇点。
第五章
控制系统的稳定性分析
一、稳定性的概念和定义 二、稳定的充要条件 三、代数稳定判据－劳斯判据 四、劳斯判据的特殊情况
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统 正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中， 总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负 载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数 的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时， 系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且 越偏越远，即使扰动消失了，也不可 能恢复原来的平衡状态。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下: 4 第一列 3 为零
s s
1 3

4 12
16 16
16
s s
2 2
0
s
1
12-
48
s
0
16

0
系统不稳定， 且有两个根 具有正实部
练习 系统特征方程为 D(s) s 2s s 2s 1 0
4 3 2
si t
si 0
发散
lim g(t) lim e (A i cos i t jB i sin i t) 0
t t i 1
n t i n
lim Ci e (sin i t i ) 0 i 0
i t t i 1
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
s
4
1
12
6
s
3
2
s
s
1
s
0
61 6 455 6
6
11
6
第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
6
例 系统特征方程为
D(s) s s 19s 11s 30 0
4 3 2
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下: 4
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连 续正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)， 或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不
经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映
射曲线LF，也是一封闭曲线。
s
1
3
s 6 s 5s K 0
3 2
系数都为正实数
s
0
30-k 6
1 6
5 k
k
(2)列劳斯阵列表
s
3
1 6
30-k 6
5 k
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
s
s
2
1
即 K > 0，30 - K > 0 0 < K < 30, 其稳定的临界值为30。
s
0
k
4 2
设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的 范围 C (s) k R( s ) 1 ( s 1)( s 5) s
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
C ( s) K ( s) R( s) s( s 1)( s 5) K 特征方程为：
s 2 s
例
一个单位反馈系统的开环传递函数为
k G(s) 试说明系统是否稳定。 s (2s 1) k 0
解：系统的闭环传递函数为 G( s) k k ( s) 2 1 G ( s) s (2s 1) k 2s s k
D(s) 2s 2 s k 0
当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)
将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时 针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。
• 令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围 于Ls内的F(s)的极点数，则 N=Z-P • 向量F(s)的相位为
F ( s) (s zi ) (s pj)
s 3 s s
0
1 1
-12 11
30
30
s -30 1 s 12
2
有两个根位于s 平面的右半平面
30
练习 系统特征方程为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
乃奎斯特稳定性判据（预备知识）
时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域 判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或 不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点： ① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法 或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
an1s an 0
a2 a3 b2 c2 a4 a5 b3 c3
1 a0 a2 b1 a1 a1 a3
直至其余
1 a0 a4 b2 a1 a1 a5
1 a0 a6 b3 a1 a1 a7
bi 项均为零。
a3 b2
1 a1 c1 b1 b1
1 a1 a5 1 a1 a7 c2 c3 b1 b1 b3 b1 b1 b4
解辅助方程得:
20
16
s
0
8 3
24 16
s1,2 j 2 s3,4 j 2
例
系统特征方程为
s 3s 3s + 9s - 4s 12 0
5 4 3 2
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。 s5 1 3 4
s4 s3 s3 s2 s1 s0
3 0 12 9 2 50 12
二阶系统稳定的充要条件：
a0 0 ， a1 0 ，a2 0
三阶系统稳定的充要条件：
a0 0 ， a1 0 ，a2 0 ， a3 0
a1a2 a0 a3
例 系统特征方程为
D(s) s 6s 12s 11s 6 0
4 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决 于系统本身的结构和参数，而与输入无关。 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振 荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零 初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
5.2 系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 (t ) ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 g (t ) ， g (t ) 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的 情况。如果当 t 时，脉冲过渡函数 g (t ) 收敛于 系统原平衡工作点，即下式成立：
g1 an
按此规律一直计算到n -1行为止。 结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
D( s) a0 s a1s
n
n 1

an1s an 0
9 0 18 12 0
12 0 F (s) 3s4 9s 2 12
练习
5
系统特征方程为
4 3 2
s 2s 3s + 6s - 4s 8 0
s5 s4 s3 3 s s2 s1 s0 1 2 0 8 3 100 3 8 3 6 0 12 8 0 4 8 0
F (s) 2s 6s 8
1 1 8k s 1,2 4
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
D( s) a0 s n a1s n1
2. 劳斯稳定判据
sn s n 1 s n2 s n 3 s1 s0 a0 a1 b 1 c1 f1 g1
g (t ) c(t ) Ai e
i 1
n
si t
若系统稳定 (1)若 为实数
lim g (t ) lim Ae 0 i
si t t t i 1
n
si lim Ai e 0 si 0 t (2)若 s 为复数 s j i i i i
判别系统的稳定性。
s 3 s s2 s
1
4
1 2

2 1 2
1 2 1
1

0
系统不稳定， 且有两个根 具有正实部
s0
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数 均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关 于原点对称的根。 (1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。 (2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。 (3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
lim g (t ) 0
则线性系统是稳定的。
t
C ( s ) G ( s ) R( s ) C ( s ) G ( s )
c(t ) g (t ) lim c(t ) 0
t
M ( s) 设系统闭环传递函数为： ( s)
系统闭环特征方程为: 闭环特征根为:
D( S ) 0
D( s )
s1 , s2
sn
设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
M ( s) n Ai ( s) D( s) i 1 s si
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
Ai C ( s) ( s) i 1 s si
n
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
例 系统特征方程为
D(s) s 6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0
判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下: 6
s 4 s3 s
3来自百度文库
s5
s 2 s
1
8 6
2 2 0
1
12 12 0
8
16 16 F (s) 2s4 12s2 16
劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号， 则系统临界稳定，否则不稳定。

例 系统特征方程为
D(s) s 3s 4s 12s 6 0
4 3 2
判别系统的稳定性。
5.1 系统稳定性的基本概念 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
B
f
A
'
'
B" A
A
A"
A0
(a)
(b )
(c )
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。