平面图形的镶嵌练习题
初中数学多边形与平面镶嵌
初中数学——多边形与平面镶嵌一、选择题。
1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.一个四边形截去一个角后内角个数是（）A.3个B.4个C.5个D.3个或4个或5个3.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.64.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A.4√2B.4√3C.4D.65.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分6.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（）A.4B.5C.6D.87.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 78.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数为 ( )A. 19B. 10C. 11D. 129.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 810.如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，50ABG ∠=︒，则FAE ∠的度数是（ ）A.22︒B.32︒C.50︒D.130︒11.若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于α，则α等于( )A. 30B. 120C. 135D. 10812.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A.9B.10C.11D.12二、填空题。
13.若将多边形边数增加1倍，则它的外角和是__________度.14.一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是 ．15.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．B ．用计算器计算：sin15°32' （精确到0.01）16.若一个多边形的每个外角都是 72° ，则这个多边形是 边形.三、解答题。
平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌
温粟棋
2131729 1定义：
用一种或几种形状、大小相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面图形的密铺。
2探究一：只用同一种图形,哪些图形可以镶嵌呢?
（1）正三角形
（2）几个任意的全等三角形
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角，它们的和为360°；同一种任意三角形可以镶嵌。
（3）正四边形—正方形
（4）同一种任意四边形
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角，它们的和为360°；同一种任意四边形可以镶嵌。
（5）正六边形
用一种正多边形进行镶嵌只有正三角形、正方形、正六边形三种情况。
3探究二：用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以进行镶嵌呢?
①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌（每个顶点周围有三个正
②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
有两种情况：每个顶点周围有四个正三角形和一个正六
边形每个顶点周围有两个正三角形和两个正六边形
③尝试用正方形和正八边形镶嵌（每个顶点周围有一个正方形
用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：正三角形和正方
形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等。
4探究总结：
任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌。
任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌。
用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、
正方形、正六边形。
用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角
形和正六边形、正方形和正八边形。
中考数学总复习训练 多边形与平面镶嵌(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
多边形与平面镶嵌一、选择题1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．92．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．93．正十边形的每个外角等于（）A．18° B．36° C．45° D．60°4．正六边形的每个内角都是（）A．60° B．80° C．100°D．120°5．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形6．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形8．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形9．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正六边形 C．正方形D．正五边形10．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能11．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30° B．36° C．38° D．45°12．如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确13．如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（）A．60° B．72° C．108°D．120°二、填空题14．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．15．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．16．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．17．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为．19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．21．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为cm2．22．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．23．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．24．如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是度．多边形与平面镶嵌参考答案与试题解析一、选择题1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选：B．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n ﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）=1080，解得：n=8．故选C．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．3．正十边形的每个外角等于（）A．18° B．36° C．45° D．60°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．【解答】解：360°÷10=36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键．4．正六边形的每个内角都是（）A．60° B．80° C．100°D．120°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】先利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．【解答】解：（6﹣2）•180°=720°，所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，或：360°÷6=60°，180°﹣60°=120°．故选D．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．5．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）=360，解此方程即可求得答案．【解答】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n﹣2）=360，解得：n=4．∴这个多边形是四边形．故选A．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n﹣2）．6．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【考点】多边形内角与外角．【专题】应用题．【分析】任何多边形的外角和是360度，内角和等于外角和的一半则内角和是180度，可知此多边形为三角形．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°=180°，解得：n=3．故选D．【点评】本题主要考查了已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：360÷36=10．故选C．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．8．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．【解答】解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．9．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正六边形 C．正方形D．正五边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．【解答】解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．10．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论．因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果．【解答】解：∵内角和是1620°的多边形是边形，又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，故选D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况．11．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30° B．36° C．38° D．45°【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．【解答】解：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=36°，故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数．12．如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【考点】平行四边形的判定．【分析】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．【解答】解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．【点评】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．13．如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（）A．60° B．72° C．108°D．120°【考点】旋转的性质；正多边形和圆．【分析】由六边形ABCDEF是正六边形，即可求得∠AFE的度数，又由邻补角的定义，求得∠E′FE 的度数，由将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，可得∠EFE′是旋转角，继而求得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE==120°，∴∠EFE′=180°﹣∠AFE=180°﹣120°=60°，∵将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，∴∠EFE′是旋转角，∴所转过的度数是60°．故选A．【点评】此题考查了正六边形的性质、旋转的性质以及旋转角的定义．此题难度不大，注意找到旋转角是解此题的关键．二、填空题14．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 6 ．【考点】多边形内角与外角．【专题】探究型．【分析】先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，∴=120°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．15．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 300°．【考点】多边形内角与外角．【专题】数形结合．【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．【解答】解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．故答案为：300°．【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．16．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为9 ．【考点】正多边形和圆．【分析】分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．【解答】解：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．故答案是：9．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．17．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．【解答】解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，故答案为：6．【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度．【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题；数形结合．【分析】利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，故答案为：240．【点评】考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于15 ．【考点】等腰梯形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4，EF=PH﹣HF﹣EP=8﹣4﹣2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．21．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为40 cm2．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．【解答】解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：=135°，∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=20，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=10，∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）．故答案为：40．【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出四边形ABGH面积是解题关键．22．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是2．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故答案是：2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．23．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm．【考点】正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质．【分析】每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，然后计算出弧长，最后乘以六即可得到答案．【解答】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，∴运动的路径为：=；∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O运动的路程6×=4πcm故答案为：4π．【点评】本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形的中心运动的路径．24．如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是60 度．【考点】旋转对称图形．【分析】本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．【解答】解：将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是=60度．【点评】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．。
平面图形的镶嵌课题学习
1.任意全等的三角形都 __可__以__密铺, 2.在每个拼接点处有 _六__个角，而这 _六__个角的
和恰好是这个三角形的内角和的 _两__倍，也 就是它们的和为 _3_6_0_o，
3.任意全等的四边形 __可__以_密铺. 4.在每个拼接点处有 _四__个角，而这 __四_个角的
和恰好是这个四边形的四个内角之 _和__,也就 是它们的和为 _3_6_0_o.
4、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六 边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形 可以进 行平面镶嵌？
⑤设一个拼接点处有x个正方形，y个正六边形， 则有90x+120y=360， 方程没有正整数解， 所以用正方形和正六边形不能进行平面镶嵌；
4、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六 边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形 可以进 行平面镶嵌？
的正多边 边之间的关 形 系
A、 3
B 、4
C、5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一 个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则 该正多边形的边数为（ A ）
A、3
B、4
C、5
D、6
4、用正五边形和什么多边形能密铺？请你 设计一种图案。
解：如下图所示，
概念
平面镶嵌
可以进行
平面镶嵌
拼接点 处各角 之间的 关系
3、在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正 六边形中取一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形 可 以进行平面镶嵌？
所以正三角形、正方形、正六边形能单独 进行平面镶嵌， 正五边形不能进行平面镶嵌。
用同种正多边形能进行镶嵌的条件是：
正多边形的一个内角的度数能整除 360 ° 可以用一种图形单独作平面镶嵌的 正多边形有 正三角形、正方形、正 六边形
初一数学课题学习 镶嵌试题
初一数学课题学习镶嵌试题1.形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能否单独作镶嵌_______(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】本题考查了平面镶嵌的条件由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．任意三角形内角和为180°，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌．而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，故能密铺．因为任意三角形的内角和为180°，所以，即拼接点处有6个角，能镶嵌；任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，能镶嵌。
2.只用同一种正多边形铺满地面，请你写出一种这样的正多边形；___________.【答案】正边三角形（或正四边形，正六边形）【解析】本题考查了平面镶嵌的条件求出正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能密铺；正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺；正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能密铺．3.图中几个图形都是由同一个长方形变化而来的，只用其中一种图形来铺地板，不能选用的个数为________ .【答案】【解析】本题考查了平面镶嵌的条件根据每个图形的特征即可判断得到结果。
观察图形可知每一个图形的缺口部分均恰好可以由本图上的部分补足，故不能选用的个数为4.某生产厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一个角都受到了同样的损坏如图所示，在有人决定将这批瓷砖全部报废时，一位技术员设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地用了，请画图表示这位技术员的设计方案.【答案】如图所示：【解析】本题考查了平面镶嵌的条件可截去一部分变成一个有规律得图形，且边长正好能相互补足即可。
如图所示(提供两种设计方案)：5.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )A．正八边形和正方形B．正五边形和正十边形C．正六边形和正三角形D．正六边形和正八边形【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．A、正方形和正八边形内角分别为90°、135°，由于90°+135°×2=360°，故能镶嵌；B、B、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，由于108°×2+144°=360°，故能镶嵌．C、C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60°×2+120°×2=360°，故能镶嵌；D、D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，由于120m+135n=360，得，显然n取任何正整数时，m均不能取得正整数，故不能镶嵌．E、故选D．6.用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有个正三角形、个正六边形，则满足的关系式是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为，而正三角形和正六边形的每一个内角分别为、，根据题意可知，化简得到．故选D．7.用正三角形和正六边形镶嵌，在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形，或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.【答案】2，2；4，1【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．∵正三边形和正六边形内角分别为、，又∵，或，∴在每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形，或在每个顶点处有4个正三角形和1个正六边形.8.用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图3所示的规律，拼成若干个图案.（1）第四个图案中有白色地砖_______块；（2）第个图案中有白色地砖_______块.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查了图形的规律性问题易得第一个图形中有6块白色地砖，找到其余图形中白色地砖的块数是在6的基础上增加几个4即可．第一个图形中有6块白色地砖；第二个图形中有块白色地砖；第三个图形中有块白色地砖；第4个图形中有块白色地砖；…第n个图形中有块白色地砖．9.为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌；B、正方形的每个内角是90°，4个能镶嵌；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能镶嵌．故选C．10.列举几个你所见到的能够密铺的“基本单位”：_____、_____、_____．（至少写出三种）【答案】正三角形，正方形，正六边形【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．。
北师大版平面图形的镶嵌高频题
北师大版平面图形的镶嵌高频题1、教学楼里的大型多功能厅建成阶梯形状是为了（答案C 解析2、正方形、正方形和正方形的位置如图4所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：A．10B．12C．14D．1 答案D 解析3、对图的对称性表述，正确的是（;）．A．轴对称图形B．中答案B 解析4、下列图形中，不是轴对称图形的是（;）答案A 解析5、如果不等式组 ;的解集是,那么m的取值范围是（答案B 解析6、已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（答案B 解析7、2的平方根是A．4B．2C．±2D．±答案D 解析8、－(－2)的相反数是A．2B．C．－D．－2 答案D 解析9、下列图形是轴对称图形的是Am 答案B 解析10、已知，化简二次根式的正确结果是答案A 解析11、解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（）A．B．C．D．答案D 解析考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：先写出数轴上表示的不等式的解集，再分别求出不等式的解集，比较后确定答案．解答：解：数轴上表示的不等式的解集为：-3<x≤2．A、不等式的解集为：x≥2，所以A不正确；B、不等式的解集为：x＜-3，所以B不正确；C、不等式的解集为：空集，所以C不正确．D、不等式的解集为：-3<x≤2，所以D正确；故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．部审青岛版用数轴表示一元一次不等式（组）的解集12。
“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x 答案C 解析13、下列各点中是抛物线图像与x轴交点的是( )A．(5，0)B．(6，0)C 答案C 解析14，反比例函数y＝的图象位于 -------------------------------------- (m 答案B 解析。
2022春八年级数学下册 第6章 平行四边形综合与实践 平面图形的镶嵌习题课件北师大版
4．用一种正多边形铺满地面的条件是( D ) A.内角是整数度数 B.边数是3的倍数 C.内角可以整除180° D.内角可以整除360°
5．阿男的父亲想购买一种大小一样、形状相同的地板 砖铺设地面．阿男根据所学的知识告诉父亲，为了 能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形 状不能是( C ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
*3.【2019·绍兴】把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图 的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB， AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边 形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)，则四边形 MNPQ的周长是____________．
【点拨】如图，正方形边长为 2，其中点 O 为正方形的中心，点 E，F 分别为 AB，AD 的中点．可知：AE＝AF＝FD＝1，EF ＝BO＝CO＝ 2.图①的周长为：1＋2＋3＋2 2＝6＋2 2；图 ②的周长为：1＋4＋1＋4＝10； 图③的周长为：3＋ 2＋5＋ 2＝8＋2 2.
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You made my day!
由题意易知((xx＋－yy))22＝＝81
100， 600.
所以xx＋－yy＝＝9400，，解得xy＝＝2655.，
答：长方形瓷砖的长和宽分别为 65 cm，25 cm.
14．如图是某广场用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边 形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外 的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正三角形，第 2 层包括 6 个 正方形和 18 个正三角形，依此递推，求第 8 层中含有正三角 形的个数．
解：设 B 的一个内角度数为 x，则 A 的一个内角度数为32x，∵2 个正多边形 A 和 3 个正多边形 B 可绕一点周围镶嵌(密铺)， ∴3x＋2×32x＝360°.解得 x＝60°.
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-图形的镶嵌与图形的设计
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-图形的镶嵌与图形的设计1.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正五边形．故选C．【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．2.（2011湖北十堰，8，3分）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形考点：平面镶嵌（密铺）。
专题：几何图形问题。
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解答：解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4﹣n，明显n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能铺满；D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能铺满．故选A．点评：考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．3.（2011湖南岳阳，6，3）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老总告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她举荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【专题】几何图形问题．【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判定，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【解答】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．4.（2010福建泉州，6，3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形考点平面镶嵌（密铺）分析分别求出所给图形的内角，依照密铺的性质进行判定即可．解答解：A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；D、∵正七形的内角是，，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．点评本题考查的是平面镶嵌的性质，解这类题目时要依照组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．5.（2011•贵阳9,3分）有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留间隙、不重叠地铺设的地砖有（）A、4种B、3种C、2种D、1种考点：平面镶嵌（密铺）。
图形镶嵌试题解析及答案
图形镶嵌试题解析及答案一、单项选择题1. 一个多边形能否进行平面镶嵌，关键在于多边形的内角和是否能够整除360°。
下列多边形中不能进行平面镶嵌的是（）。
A. 正三角形B. 正方形C. 正六边形D. 正五边形答案：D解析：正三角形的每个内角为60°，6个正三角形可以进行平面镶嵌；正方形的每个内角为90°，4个正方形可以进行平面镶嵌；正六边形的每个内角为120°，3个正六边形可以进行平面镶嵌；正五边形的每个内角为108°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌。
2. 用两种正多边形进行平面镶嵌，下列组合中不能实现的是（）。
A. 正三角形和正方形B. 正三角形和正六边形C. 正三角形和正八边形D. 正四边形和正八边形答案：C解析：正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，3个正三角形和2个正方形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°，2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正八边形的每个内角为135°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌；正四边形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，2个正四边形和1个正八边形可以进行平面镶嵌。
3. 用三种正多边形进行平面镶嵌，下列组合中不能实现的是（）。
A. 正三角形、正方形和正六边形B. 正三角形、正四边形和正十二边形C. 正三角形、正五边形和正六边形D. 正三角形、正四边形和正八边形答案：C解析：正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，正六边形的每个内角为120°，2个正三角形、1个正方形和1个正六边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正四边形的每个内角为90°，正十二边形的每个内角为150°，2个正三角形、1个正四边形和1个正十二边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正五边形的每个内角为108°，正六边形的每个内角为120°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正四边形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，1个正三角形、1个正四边形和1个正八边形可以进行平面镶嵌。
初一数学人教版(下册)镶嵌习题二(含答案)
镶嵌习题二基础·巩固1.用相同的正多边形拼地板时，只有_________、________、________三种正多边形可以单独拼成.解析：要能单独拼成地板，要求此正多边形的内角是360°的约数.答案：正三角形正方形正六边形2.(广西柳州、北海模拟) 如图7-4-7是由６个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，那么，这种正多边形是_______________.图7-4-7解析：正多边形的各角相等,又由题意知,六个相等的角加在一起等于360°,所以每个角等于60°,根据多边形的内角和公式可以求出正多边形的边数.答案：等边三角形3.(湖北武汉模拟) 小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点.为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）A.正三角形、正方形、正六边形B.正三角形、正方形、正五边形C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形解析：要铺满地面而不重叠,就要求拼在一个顶点的四个角的和等于360°,因此正多边形的内角度数只能是360的约数,正五边形的内角度数等于108°,不满足这个条件.答案：A4.用m个正方形和n个正八边形铺设地面，则m、n满足的关系式是（）A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+n=4D.m+2n=6解析：能铺设地面的要求是拼在一个顶点处的多边形的角的和为360°,因此有：90m+135n=360,化简得2m+3n=8.答案：A5.如图7-4-8，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（）图7-4-8A.48 cm,12 cmB.48 cm,16 cmC.44 cm,16 cmD.45 cm,15 cm解析：设地砖长为x cm，宽为y cm，由图形有4y=60,所以y=15，又x+y=60，所以x=45. 答案：D综合·应用6.阅读下列情景，并回答问题.图7-4-9他们的话对吗？分析原因，并画出草图.解析：平面镶嵌的一个基本条件是拼在一个顶点的各个角的和等于360°.答案：对.因为三角形内角和等于180°，把3个形状相同的三角形的3个不同角放在一起，就等于180°，再这样放三个就可以得到360°,如下图所示.因为凸四边形的内角和等于360°，因此，任意形状的凸四边形的四个不同顶点拼在一起都可以拼成360°，如下图所示.7.试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，你能想出几种方法？解析：平面镶嵌的一个基本条件是拼在一个顶点的各个角的和等于360°.答案：正三角形和正六边形、正三角形和正十二边形、正四边形和正八边形都能进行平面镶嵌.方法如图所示：（还有很多）8.(2010福建泉州模拟) 只用同一种正多边形铺满地面，请你写出一种这样的正多边形：____________.解析：限用一种正多边形进行平面镶嵌时，有三种情况：正三角形、正四边形、正六边形. 答案：正三角形、正四边形、正六边形（填一种即可）.9.(2010山西吕梁模拟) 幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形②四边形③正五边形④正六边形⑤正八边形A.③④⑤B.①②④C.①④D.①③④⑤解析：限用一种正多边形进行平面镶嵌时，有三种情况：正三角形、正四边形、正六边形.另外任意形状的三角形和四边形也能进行平面镶嵌.所以在①三角形，②四边形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形五种图形中：①三角形②四边形④正六边形这三种图形可以用来进行平面镶嵌.答案：B。
平面图形的镶嵌练习评测练习
平面图形的镶嵌练习1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（）A、三角形B、正方形C、任意四边形D、正八边形2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（）A、3B、4C、5D、63、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A、3B、4C、5D、64、(2008年中考题）边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（）①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④5、（2009年山东烟台）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种6、用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）Ａ、正方形Ｂ、正六边形Ｃ、正十二边形Ｄ、正十八边形7、（2009 佛山课改）如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是_____度．8、图中黄色卡片为正五边形，空白处是怎样的四边形？这个四边形各个角的度数是多少？多边形与平面图形的镶嵌一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．85．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是度．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．四边形的内角和等于度．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．27．求下图中x的值．多边形与平面图形的镶嵌参考答案与试题解析一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，所以不能密铺；D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．故选C．【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据内角的度数计算出外角度数，再用360°÷外角的度数即可得到边数．【解答】解：∵n边形的每个内角为150°，∴它的外角是180°﹣150°=30°，∴n=360°÷30°=12，故选：D．【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是掌握多边形的内角与相邻的外角互补．3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【考点】多边形内角与外角．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°=1080°，∴n=8，所以该多边形的边数是八边形．故选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．5．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故选B．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是36度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB=∠DAE=（180°﹣108°）=36°，∴∠CAD=108°﹣36°﹣36°=36°．【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180度的倍数，由此即可找出答案．【解答】解：因为多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，在这四个选项中是180的倍数的只有4320度．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是需要识记的内容．8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想．【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°+x=570°解之，得n=．∵n为正整数，∴930﹣x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=5．解法2：∵0＜x＜180．∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，∴390＜（n﹣2）•180°＜570，解之得4.2＜n＜5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．二、填空题9．四边形的内角和等于360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：（4﹣2）•180°=360°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据了多边形的外角和定理即可得到答案．【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．故答案为360°．【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题；方程思想．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍列方程求解．【解答】解：设这个多边形是n边形．则（n﹣2）×180°=5×360°，n=12．5×360°=1800°．答：这个多边形内角和是1800°，是6边形．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．【考点】多边形的对角线．【专题】探究型．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；∵n边形共有n个顶点，∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，∴能引条．∴凸八边形的对角线条数应该是：=20．【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正三角形的内角和为60°，而正方形、正六边形的内角分别为90°、120°，由于60+90×2+120=360，故能进行平面镶嵌，进而得出即可．【解答】解：因为三种瓷砖都必须用到，所以在每一个顶点处正三角形1个，正方形2个，正六边形1个即可．如图：【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，需要掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，即围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．【解答】解：（1）∵2300°÷180°=12…140°，则边数是：12+1+2=15；（2）该内角应是180°﹣140°=40°．【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．17．求下图中x的值．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据五边形的内角和定理即可列方程求解．【解答】解：根据五边形的内角和是（5﹣2）•180=540°得到：2x+120+150+x+90=540解得：x=60．【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．。
专题8——镶嵌问题
专题八：镶嵌问题一、镶嵌方案设计例1：小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
列举以下四种铺设的示意图供参考二、铺设方案设计例2： 某一广场进行装修，所用三种板材（0.50.5,0.20.5,0.20.2)a b c =⨯=⨯=⨯规格如图所示（单位：米）．⑴根据铺设部分面积的不同大小，设计如下列图案1、2、3有一定规律的图案：中间部分 由a 种板材铺成正方形，四周由种种和c b 板材镶边．①请直接写出图案2的面积；②若某一图案的面积为211.56m ，求该图案每边有b 种板材多少块？⑵在第⑴题②所求图案的基础上，根据实际需要中间由a 种板材铺成的部分要设计成长方形，四周仍由种种和c b 板材镶边，要求原有的三种板材不能浪费，如果需多用材料，只能用b 种板材不超过6块，请求出其余的铺设方案有几种．a 种b 种c 图案1 图案解：⑴ ①()21.96m②设每边有b 种板材x 块， 依题意得2(0.50.22)11.56x +⨯=整理为：0.50.4 3.4x +=±解 得：()126,7.6x x ==-舍去∴只取6x =∴该图案每边有b 种板材6块。
⑵依题意，中间部分的a 种板材共有36块363611821239466=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ⅰ）b 种板材共需()361274+⨯=块ⅱ）b 种板材共需()182240+⨯=块ⅲ）b 种板材共需()123230+⨯=块ⅳ）b 种板材共需()94226+⨯=块依题意，b 种板材最多可用64630⨯+=块∴符合条件的其余的铺设方案有2种。
练习：1.2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种。
平面图形的镶嵌问题
图 ５
点评 ： 本题 可先从 多项 式 ２ ＋５６ ｂ 的 ０ ＋２ 因式 分解人手 ，由于 ２２ ａ ＋２ ２ ＋ｂ ａ＋５ｂ ｂ＝（ａ ）
图３
Ｉ一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 Ｉ
ｌ Ｉ
Ｉ
Ｉ
（ ＋２ ） 口 ，因此要拼成 面积为 ２２ ａ ＋２ ａ＋５ｂ ｂ 的 矩形 ， 形的长为 ｎ ６ 宽为 ２ ＋６至此易 该矩 ＋２ ， ｎ ．
故选 Ｄ ．
兰 一
图１ 图２
点评 ： 本题要结合多边形内角和 、 外角和的
知识进行解答．
’例 ２ 用两种正多边形镶嵌 ，不能与正三 角形匹配 的正 多边形 是 （ ） ．
Ａ Ｂ ｃ ・ 寺 ・ ｛ 。 寻
解 析 ： 接从 “ 天鹅 ” 手较 难 ， 意到 直 小 入 注
纸片 （ 每种 至少用 一次 ） 图 ４的虚线 方框 中 在
ａ ｂ ｂ
拼成一个矩形 （ 每两个 纸片之 间既不重叠 ， 也
无缝隙 ， 出的图 中必须保 留拼图 的痕迹 ）使 拼 ，
拼 出的矩形 面积 为 ２２ Ⅱ ＋２ ｚ并标 出此矩 口＋５６ ｂ，
形的长和宽．
。
［ ６ ［］ ＝口 ］
略举几 例解析 如下 ， 同学们 学 习 供 局部求解 ， 往往无法解决 ； 而从 全局着眼 ， 体 角度 问题 ， 整
板 中的梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ。易知梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积是 解 析 ：要 确 保矩 形 的面 积 为 ２２ ａ ＋ ａ＋５ｂ 正方形 纸片 ２ 。ｘ 块 ａ ｂ的正方形纸片 ５ ， 块 通过
—
同一 种 地 面 砖 ，则 下 列 多 边 形 中不 能 选 用
2021学年初中数学《平面镶嵌》同步练习(一)含答案及解析
2021学年初中数学《平面镶嵌》同步练习(一)含答案及解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、填空题（共7题）1、如下图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角(指钝角)是．2、我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这三个内角都等于度．3、有下列多边形：①正八边形和正方形，②正六边形和正十边形；③正六边形和正三角形；能够进行密铺的是。
(填序号)4、如图，将6个大小、形状相同的等腰梯形和2个全等的等边三角形密铺成一个四边形，这个四边形的最大内角等于．5、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）.6、用边长相等的正多边形磁砖铺地板，围绕一个顶点处的磁砖可以是2块正三角形磁砖和_____块正六边形磁砖．7、观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个．二、选择题（共10题）1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形2、只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形3、在地面上某一点周围有a个正三角形、b个正十二边形a、b均不为0 ，恰能铺满地面，则a＋b的值为（）A 2B 3C 4D 54、下列图形中，不能用同一种作平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形5、李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以平面镶嵌的是（）Ａ．①②④Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②③6、用两个正三角形与下面的( )若干个可以形成平面镶嵌.A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形7、为迎接2008年奥运会的到来，某大型商城进行装修，准备用一种彩色砖对地面密铺，下列图形中，不能用同一种作平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形8、下列所述图形中，不能铺满地面的是 ( )A．正方形 B．正三角形和正方形组合C．任意三角形 D．正六边形和正九边形组合9、使用同一种规格的下列地砖，不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形10、 8. 只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）（A）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形三、解答题（共5题）1、那根管我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）。
人教版中考数学导学案-多边形与平面图形的镶嵌
多邊形與平面圖形的鑲嵌◆課前熱身1.一個多邊形的內角和與它的外角和相等，則這個多邊形的邊數是2．若正六邊形的外接圓半徑為4，則此正六邊形的邊長為．3.若一個正n邊形的一個外角為36°，則n等於（）A、4B、6C、8D、104．若正多邊形的中心角為200，那麼它的邊數是__________．5．從多邊形一個頂點可作17條對角線，則這個多邊形內角和為度．【參考答案】1.4 2.4 3.D 4.18 5.3240◆考點聚焦知識點多邊形多邊形的內角和和外角和平面圖形的鑲嵌大綱要求1.瞭解多邊形的內角和與外角和公式和正多邊形的概念2.瞭解平面圖形的鑲嵌，掌握簡單的鑲嵌設計考查重點和常考題型求多邊形的邊數、內角和、外角和及正多邊形的角、邊長及半徑、邊心距，以正五邊形、正六邊形為常見，多見於填空題和選擇題，◆備考兵法多邊形的內角和隨邊數的增加而增加,但多邊形的外角和隨邊數的增加沒有變化，外角和恒為360 º．◆考點連結1. 四邊形有關知識⑴n邊形的內角和為．外角和為．⑵如果一個多邊形的邊數增加一條，那麼這個多邊形的內角和增加，外角和增加．⑶n邊形過每一個頂點的對角線有條，n邊形的對角線有條．2. 平面圖形的鑲嵌⑴當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個____________時，就拼成一個平面圖形.⑵只用一種正多邊形鋪滿地面，請你寫出這樣的一種正多邊形____________．◆典例精析例1（浙江寧波）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，則∠AED的度數是（）A．110°B．108°C．105°D．100°【分析】知識點：多邊形的內角和（n －2）×180°，外角的和是360°。
【答案】D例2（山東煙臺）現有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）A ．2種B ．3種C ．4種D ．5種【分析】知識點：兩個正多邊形的內角中各取一個內角的和是360°。
平面图形镶嵌
平面图形的镶嵌一．选择题（共5小题）1．（2020•赤峰）以下平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A．任意一种三角形B．任意一种四边形C．任意一种正五边形D．任意一种正六边形2．以下图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．（2004•包头）用边长均为a的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为a的正十二边形的平面图形，现有6个正方形，1个正六边形，那么还需要正三角形（）A．8个B．6个C．4个D．2个4．从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种5．以下边长相等的正多边形的组合中，不能镶嵌平面的是（）A．正三角形和正方形B．正三角形和正六边形C．正方形和正八边形D．正五边形和正方形二．填空题（共6小题）6．（2003•徐州）有以下边长相等的三种图形：①正三角形，②正方形，③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）：_________，或_________．7．（2020•株洲）按下面摆好的方式，并利用同一种图形，只通过平移方式就能够进行平面镶嵌（即平面密铺）的有_________（写出所有正确答案的序号）．8．（2005•陕西）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，那个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是_________．9．如图是由4个完全相同的等腰梯形镶嵌成的图形．那么等腰梯形较大的内角的度数是_________度．10．用黑白两种颜色的正六边形的地面砖（如图）镶嵌成假设干图案．第4个图案中，白色的地砖有_________块；第n个图形中，白色的地砖有_________块．11．用正多边形来镶嵌平面的原理是共极点的各个角之和必需等于360°．此刻有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形能够是：_________．（请用序号表示，只需写出两种即可）三．解答题（共9小题）12．（2020•青岛）问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中到处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，关于单种多边形的镶嵌，要紧研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天咱们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，一起来探讨．咱们明白，能够单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，能够发此刻一个极点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：若是用正六边形来镶嵌平面，在一个极点周围应该围绕着_________个正六边形的内角．问题提出：若是咱们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是不是能够同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：咱们能够将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中能够发觉，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，确实是在镶嵌平面时，一个极点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角能够拼成一个周角．依照题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，咱们能够找到惟一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个极点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角能够拼成一个周角，因此同时用正方形和正八边形两种正多边形组合能够进行平面镶嵌．猜想2：是不是能够同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？假设能，请依照上述方式进行验证，并写出所有可能的方案；假设不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，咱们探讨了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部份情形，仅仅取得了一部份组合方案，相信同窗们用一样的方式，必然会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探讨出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证进程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．13．（2003•陕西）在日常生活中，观看各类建筑物的地板，就能够发觉地板经常使用各类正多边形地砖铺砌成漂亮的图案．也确实是说，利用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下﹣丝空白，又不相互重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一路的几个多边形的内角加在一路恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请依照以下图形，填写表中空格：正多边形边数 3 4 5 6 …正多边形每个内角的度数…（2）如图，若是限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；（3）正三角形、正四边形、正六边形当选一种，再在其他正多边形当选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探讨这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．14．（2020•凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖假设干块，所有地板砖的长都相等．（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？15．有以下正多边形：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正十二边形，从中任选二种或二种以上的图形结合在一路作平面镶嵌（每种图形可重复利用）．请你设计4种符合上述条件的平面镶嵌方案，并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号（不需要作出平面镶嵌图形）．16．（2005•济南）咱们经常使用各类多边形地砖铺砌成漂亮的图案，也确实是说，利用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不相互重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．咱们明白，当围绕一点拼在一路的几个多边形的内角的和为360°时，就能够够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探讨用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方式：若是用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y=360°，化简得x+2y=6．因为x、y都是正整数，因此只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形能够拼成一个无裂缝、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方式研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示用意（只要画出一种图形即可）；（2）若是用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？假设能，请在方格纸中画出密铺的设计图．17．（2021•济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面别离写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请你用画树形图或列表的方式列举出可能显现的所有结果；（2）若是在（1）中各类结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能组成平面镶嵌的概率；（3）假设两种正多边形组成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每一个内角的度数，那么有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．18．（1）如图1，是某市公园周围街巷的示用意，A点表示1街与2巷的十字路口，B点表示3街与5巷的十字路口，若是用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A点到B点的一条途径，那么，你能一样的方式写出由A点到B点尽可能近的其他两条途径吗？（2）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌，请全数写出这两种正多边形．并从其中任选一种探讨这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．（3）如图2所示，已知AB∥CD，别离探讨以下四个图形中∠P（均为小于平角的角）与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．（4）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各极点的连线，将多边形分割成假设干个小三角形．如图3给出了四边形的具体分割方式，别离将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．请你依照上述方式将图4中的六边形进行分割，并写出取得的小三角形的个数和求出每一个图形中的六边形的内角和．试把这一结论推行至n边形，并推导出n边形内角和的计算公式．19．（2020•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．（1）求那个镶嵌图案中一个正三角形的面积；（2）若是在那个镶嵌图案中随机确信一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）20．用一样图案的正方形地砖（图1），能够铺成如图2的正方形和正八边形镶嵌成效的地面图案（地砖与地砖拼接线忽略不计）．已知正方形地砖的边长为a，成效图中的正八边形的边长为20cm．（1）求a的值；（2）咱们还能够在正方形地砖上画出与图1不同的图案，使它能拼出符合条件的图2镶嵌成效图，请你按那个要求，在图3中画出2种与图1不同的地砖图案，而且所画的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020•赤峰）以下平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A．任意一种三角形B．任意一种四边形C．任意一种正五边形D．任意一种正六边形考点：平面镶嵌（密铺）。
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平面图形的镶嵌练习题
1.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就拼成一个平面图形
2.用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种
3.用两种边长相等的正多边形进行平面密铺，以下哪几种是可行的？
A．正三角形和正方形B．正方形和正八边形C．正方形和正五边形
D．正八边形和正六边形E．正三角形和正十二边形F．正三角形和正五边形
4.用三种不同的正多边形进行平面密铺，请写出符合题意的不同组合．
例如：①正三角形、正方形、正六边形；②正三角形、正九边形、正十八边形；
③；；；④；；
5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）
A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形
6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）
A 正方形
B 矩形
C 正八边形 D正六边形
7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（）
A正三角形 B正五边形 C正六边形 D正八边形
8.某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以（）
A 正三角形
B 正四边形
C 正六边形
D 正八边形
9.下列正多边形中，能够铺满地面的（）①正方形②正五边形③正六边形④正八边形
10.下列正多边形的组合中，能铺满地面的是（）
①正八边形和正方形②正五边形和正八边形③正六边形和正三角形④正三角形和正四边形
11.用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：
①第4个图案中有白色地砖_ ___块；②第n个图案中有白色地砖__ _块
12.用正方形和正八边形作平面镶嵌：
∵正方形一个内角的度数是______ ，正八边形的一个内角的度数是______，而且____________＝360°，∴用正方形和正八边形组合能铺满地面，在一个顶点周围有_____个正方形的角和______个正八边形的角。
13.用正三角形和正十二边形作平面镶嵌：
∵正三角形一个内角的度数是_____ ，正十二边形的一个内角的度数是______，而且___________＝360°，∴用正三角形和正十二边形组合能铺满地面，在一个顶点周围有_____个正三角形的角和______个正十二边形的角。
14.用正三角形、正方形和正六边形作平面镶嵌时，在一个顶点周围有______个正三角形的角、______个正方形的角和______个正六边形的角
15.只用正五边形能正好铺满地面吗?只用正八边形能吗? 请说明理由
16.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．思考：（1）用全等的正五边形材料能够密铺
地面吗？（2）用边长相同的m个正三角形和n个正方形材料组合密铺地面应满足的方程是，此时m、n的值存在吗？若存在，请画出密铺地面的示意图．（3）在边长相同的正三角形、正方形、正六边形材料中，哪几种材料组合能够密铺地面？
17.如果用形状，大小相同的如图方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图
18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?（4）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
部分答案
16.分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：（1）∵正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，∴不能密铺地面；（2）∵正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，∴60°m+90°n=360，∴满足的方程是2m+3n=12，∵当m=3，n=2时，2m+3n=12，∴m、n的值存在，如图，故答案为：2m+3n=12；
（3）∵正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4﹣n，显然n取任何整数时，
m不能得正整数，∴不能铺满，符合题意；∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴能铺满地面，∵正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120度，∵2×60°+2×120°=360°，∴能铺满地面，正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度，∵60°+2×90°+120°=360°，∴能铺满地面．∴正三角形与正方形，正三角形与正六边形，正三角形与正方形与正六边形组合能够密铺地面．
17.如图所示：。