谐振腔在加速器的应用中的电子加速分析

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,谐振腔腔长L = 2。
������
设粒子质量 m,电量 q, 以光速穿过谐振腔,过程能量变化对速度的影响可以忽略, 即粒子在腔体中运行的时间������0 = 2������ = 2
������ ������
下面研究在时间段 0~T 某时刻进去谐振腔的粒子最终的能量变化△E(△E=E2-E1) 。 设粒子进入时刻为 tin,0 ≤ ������������������ < ������,则粒子以光速运动到 z 处的时刻t(������) = ������������������ + ������。 由电场力做功,过程中粒子能量变化:
1 1−β2
m0 c 2 ,P=mv=
β
1−β2
m0 c
dP dβ 1 dE dP = , = β2 2 P β 1−β E P 在单元谐振腔内由能量关系得:T 为渡越时间 d (∆E)T = NeV(sinφ − sinφs ) dt ⇒
由������ = ������
������
̇ ������
进入的电子可以在
通过谐振腔后粒子能量变化为∆E = ∫0 (−e)������������ (������, ������(������))������������。相对第一个问题来说,电子 进入速度为 1ev, 及初速度������0 = 4.194 × 105 ������/������。 在刚进入的一段时间内加速效果会很明显, 电子速度变化很大,t(������)不能由 z 显示表达,因此很难将∆E = ∫0 (−e)������������ (������, ������(������))������������的解析解 求出。下面我们利用数值解法研究不同时刻进入谐振腔的电子的加速效果。 数值计算要求我们首先将有关物理参量定量化。 笔者选定的基准参数组合如下: ������������������ = 100������������������ ������������������ = 628 ������ rad/s ������������������ = 10������������ ������������������ = c/������������������ = 3m
0~137.6 0~135.9 0~63.06
由各组出射能量随入射相位的变化图和表二对照表一我们可以得到如下结论: (1) 由参数组合 1,2 和 5,6 可得,当射频频率和腔长一定时,改变射频幅值,电子 最大出射能量基本成比例变化,且为正相关,而电子能获得加速的入射相位段 略有减小,最佳入射相位变化很小。 (2) 由参数组合 2,3,4,7 可得,当射频幅值和腔长一定时,改变射频频率,电子最 大出射速度和电子能获得加速的入射相位段都会发生变化。变化关系为,射频 频率越大电子最大出射能量会略有降低, 电子能获得加速的入射相位范围缩小。 结论(2)里就包含着这样一个问题,是不是射频频率越小越好呢?如果是的话,最好 的加速电场不是恒稳电场及静电加速吗?答案是否定的。 我们知道静电加速器遇到加速上限 是因为在电压超过某个限值时绝缘物质将被击穿而不能加速粒子。 理论证明, 在频率很高的 交变电场电场下物质可以承受更高的电压,可以将粒子加速到更高的能量。二战以后,高功 率微波的出现使直线加速器突破了静电加速器的击穿困境。 所以说, 直线加速器中射频频率 不是越低越好,射频幅值也不可能无限提高,实际中我们还要考虑加速器材料的物理特性。 综上可知,要想使更多的电子获得加速,有三种措施:在允许的范围内适当减小电场幅 值;在允许的范围内适当减小震荡频率;适当增加谐振腔的长度。 三·环形加速器的纵向稳定性问题 纵向稳定性问题即相运动问题,如果相运动向一个方向,相运动就是不稳定的,因为这 会导致粒子落入加速相位, 粒子不能得到持续加速。 对于由单元谐振腔组成的环形加速器相 运动的稳定性条件是在每个谐振腔内加速相位能都能稳定在同步相位一定的范围内。 下面用微扰法进行研究。 设同步粒子的回旋频率为 ωs ,同步相位为 φs ,单元谐振腔内同步粒子获得的能量 ∆E = eV sinφs,相位为φ的粒子获得的能量为∆E = eV sinφ。 对于偏离了理想同步粒子的粒子的参数表示为: E =������������ + ∆E; P=������������ + ∆P; ω = ������������ + ∆ω; φ = ������������ + ∆φ。 由相对论和动量表达式有 E = mc 2 =
2
4
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
数值计算思路:将谐振腔和进入相位离散化;对应某个初始相位点,分段向后进行数值 计算,直到最后出腔,得到出腔的能量;然后利用循环,计算各个初始相位点的最后能量。 计算过程中,如果出现负能量则将能量置零,进行下一相位计算。C++程序代码见附录。 计算结果如下: 图一 参量组合 1 出射能量随入射相位的变化图
,在强聚焦加速器中已知在低能阶段Γ < 0,在高能阶段Γ > 0。所以,
相运动稳定性条件是: 在低能阶段cos ������������ > 0; 在高能阶段cos ������������ < 0。 同时又要满足加速, 即∆E = eV sinφ������ > 0, 由于电子带负电,所以要求sinφ������ < 0。 综 上 论 述 可 得 : 加 速 电 子 时 , 在 低 能 阶 段 要 求 − < ������������ < 0 ; 在 高 能 阶 段 要 求
������ ������
∆E = ∫ ������������������ (������, ������(������))������������
0 ������ ������ ������ = ������������0 ∫ sin ( ������) sin (������ (������������������ + )) ������������ ������ ������ 0
������������������0 ������ · cos ( ������) sin(������0 ������) 2������ ������ ������������0 ������0 ������ · sin ( ������) cos(������0 ������) 2 2������ ������
=
������������������0 cos(������������������������ ) 2
T 3������ 4
由计算结果可以��������������� < 腔内获得加速。 二·电子以 1ev 的动能进入单元谐振腔的加速问题 为了讨论方便又不失效,这里取加速粒子为正电子。
2 ������
−π < ������������ < − 2 。 四·电磁场畸变对带点粒子运动影响的分析及横向稳定性问题 为了讨论方便又不失效,这里取加速粒子为正电子。 谐振腔在两端开口会使腔内电磁场发生畸变, 会对带点粒子的运动产生影响, 电场会有 径向分量,磁场会有角向分量。 对于������������ (������, ������) = ������0 sin (������ ������) sin(������0������),根据麦克斯韦方程组可以导出近轴近似: 1 ������������������ ������������ = − · ������ 2 ������������ ������������ = 将������������ 带入上面两式得: ������������ = ������������ = 由牛顿运动定律: ������ (������������̇ ) = ������������������ − ������������̇ ������������ ������������ 将������������ ,������������ 带入得: ������ ������������������������0 ������ ������������0 ������0 ������ (������������̇ ) = · cos ( ������) sin(������0 ������) − ������������̇ · sin ( ������) cos(������0 ������) ������������ 2������ ������ 2������ 2 ������ ������ ������ ������z ������ (������������̇ ) = (������������̇ ) · (������������0 ������̇ ) · ż = ������������ ������������ ������������ ������������
电子在单元谐振腔加速问题分析
清华大学工程物理系 一·电子以光速进入单元谐振腔的加速问题 已知������������ (������, ������) = ������0 sin (������ ������) sin(������������),周期T =
������ 2������ ������
������ ������������
= ������Γ Ε
ΔΕ
������
2������������������ ( ������̇) = NeV(sinφ − sinφs ) dt ������Γ������������ 2 ������2 ������Γ������������ 2 ������������������ ⇒ 2 (Δ������) = [ cos ������������ ] · Δφ dt 2������������������ 令φ = ������������ + ������ ,则������̇ = ������̇ ⇒ η̈ = Ωη̇
∗ ∗ 定义φ = kz − ������0 ������为电子相对射频场的相位,归一化的横向动量������������ = βγṙ ,������0 = ������ e������0
0 ������ 2
������
������
1 ������������������ · ������ 2������ 2 ������������
表一各个对照组的物理参量值
参量 组合 物理 参量 射频频率 /MHz 射频角速 度 /Mrad/s 射频电场 幅度/× 108V/m 谐振腔腔 长/m
1 (基准 2 参数)
3
4
5
6
7
100 628
100 628
110 690.8
120 753.6
50 314
50 314
130 816.4
2
4
4
4
4

d
其中Ω =
������������������ 2 ������������������ 2������������������
cos ������������
相运动稳定的条件是Ω < 0,即Γ cos ������������ < 0 由于Γ =
2 ������������ −1+������������ 2 ������������
参量 组合 物理 参量
1 (基准 2 组合)
3
4
5
6
7
最大出射 150.5 300.6 能量/Mev 最佳入射 0 0 相位/° 电子能获 0~92.87 0~90 得加速的 入射相位 范围/°
281.5 0 0~81.4
255.5 0 0~73.95
360.8 44.71
180.6 44.14
224.3 0
图二 参量组合 2 出射能量随入射相位的变化图
图三 参量组合 3 出射能量随入射相位的变化图
图四 参量组合 4 出射能量随入射相位的变化图
图五 参量组合 5 出射能量随入射相位的变化图
图六 参量组合 6 出射能量随入射相位的变化图
图七 参量组合 7 出射能量随入射相位的变化图
表二 各参量组合对应对电子的加速效果
������
������
������ =
������������������ 2
= 1.5m
������0 = 2× 108 V/m 考虑到实际情况,当谐振腔一旦做好,腔长不能再变,所以后面一个对照组的腔长都是
1.5m,而不是按������ =
������������������ 2
随射频的频率变化而变化。各对照组的参数组合如下页表一所示。
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