3.2 一维双原子链

第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到 写成
µn =
1 Q(q)e − inaq ∑ Nm q * 取复共轭 µn =
µn =
1 Q(−q)einaq ∑ Nm − q 1 Q* (q)einaq ∑ Nm q
µn 是实数 µn = µ
* n
Q* ( q ) = Q ( − q ) 可知
第二个关系式实际上是线性变换系数的正交条件
这是两个典型的运动方程。 当原子链包含 N 个原胞 (即有 N 个 P 原子和 N 个 Q 原子), 它实际代表 2N 个方程的联立方程组
这个方程组有下列形式的格波解
µ2 n = Aei[ωt −(2 na ) q ] µ2 n +1 = Bei[ωt −(2 n +1) aq ]
代入到运动方程得到
β
iaq '
1 − ina ( q + q ') ) N ∑ e n
β
2m
Q(q ) (1 − eiaq ) Q(−q ) (1 − e − iaq ) ∑
q *
= ∑ Q(q)Q (q)
q
β
2m
( 2 − 2 cos aq )
1 1 2 2 * 2 = ∑ ωq Q(q )Q (q) = ∑ ωq Q(q) 2 q 2 q
带回到方程组，可求出相应的 A 和 B 的解
2 mω+ − 2β B =− 2β cos aq A + 2 mω− − 2β B =− 2 β cos aq A −
由格波解可知相邻原胞之间(原胞大小为 2a )的 位相差为 2aq, 所谓相邻原胞之间的位相差应 理解为相邻原胞 P 原子( Q 原子) 之间的位相差 同样, 如果把 2aq 改变 2π 的整数倍, 所有原子的振动 实际上完全没有任何不同, 这表明 q 的取值只需限制在
1 N eina ( q − q ') = δ qq ' ∑
n=0 N −1
q = q’时, 式子两边都等于 1, 显然是正确的 h × 2π h 为整数 q ≠ q’ 时, 令 q’－q = s, 注意到 q = , Na
1 N einas ∑
n =0 N −1
1 = N
(eias ) n ∑
n =0
因此 Q(q) 确实是系统复数形式的简正坐标 也可以写出实数形式的简正坐标，令
1 Q( q) = [ a(q) + ib(q)] a(q) 和 b(q) 分别表 示其实部和虚部 2 1 * Q (q) = Q(−q) = [ a(q) − ib(q)] 2
代回到动能和势能的表达式中得
T= 1 ɺ a 2 (q) + b 2 (q) ∑ɺ 2 q >0 U= 1 2 ωq a 2 ( q ) + b 2 ( q ) ∑ 2 q >0
N (2aq ) = 2π h, (h = 整数）
即
h q= 2π 2 Na
由于 q 的取值范围是由 －π/2a 到 π/2a , 所以上面 的 h 只能取由–N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同取值
所以， 由 N 个原胞组成的一维双原子链
q 可以取 N 个不同的值， 每个 q 对应两个解， 加起来共有 2N 个不同的格波， 数目正好等于链的自由度, 这表明已得到 链的全部振动模
可见 a(q)，b(q) 即为实数形式的简正坐标
3. 声子 (phonon) 一旦找出简正坐标, 直接可以过渡到量子理论。每 个简正坐标, 对应一个谐振子方程, 波函数是以简 正坐标为宗量的谐振子波函数, 能量本征值为
ε nq = n + ℏωq 2
1
由 N 个原子组成的一维单原子链 其振动模为 N 个格波, 在简谐近似下格波是相互独立的 格波的振幅对应着系统的简正坐标 按量子理论每种简正振动的能级是量子化的，能量激 发的单元是 ħωq
−mω 2 A = β (e −iaq + eiaq ) B − 2β A 2 − iaq iaq −mω B = β (e + e ) A − 2β B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
( mω 2 − 2 β ) A + 2β cos aqB = 0 2β cos aqA + ( M ω 2 − 2β ) B = 0
势能
1 1 − inaq iaq − inaq ' iaq ' = β∑ (1 − e ) ∑ Q(q ')e (1 − e ) ∑ Q ( q )e 2 n Nm q q'
=
=
∑ Q(q) (1 − e ) Q(q ') (1 − e 2m
iaq qq '
2 mω− − 2 β B =− 2 β cos aq A −
表明在长声学波时，原胞中两种原子的运 动是完全一致的，振幅和位相都没有差别
对于长光学波, 当 q→0时, 频率趋于下列有限值
2β ω+ → mM m+M
1/ 2 m+M m+M 4mM 2 2 ≈β ω+ = β sin aq {2} 1 + 1 − 2 mM mM (m + M )
iωq t
因此 Q(q) 就是简正坐标, 它表示了格波的振 幅, 而线性变换（因为是复数解的形式, 线性 变换为么正变换）系数为
1 − inaq anq = e N
Q(q) 是否确实是简正坐标，需要证明经过 变换后，动能和势能都具有平方和的形式
证明需要利用两个关系式
Q* (q) = Q(−q) N −1 1 eina ( q − q ') = δ qq ' N ∑ n =0
它的有解条件是
mω 2 − 2β 2β cos aq 2β cos aq M ω 2 − 2β
= mM ω 4 − 2β (m + M )ω 2 + 4β 2 sin 2 aq = 0
可以看成是决定 ω2 的方程, 从而得到两个 ω2 值
ω2 ω m+M =β 2 mM ω−
2 + 1/ 2 4mM 2 sin aq 1 ± 1 − 2 (m + M )
q 的取值范围 − a < q ≤ a 称为布里渊区
π
π
q 在布里渊区是怎样分布的?
按照玻恩－卡曼边界条件(即周期性边界条件), q 在布里渊区均匀分布
2π q= h, Na
h 为－N/2 到 N/2 的整数, 共 N 个
什么是长波极限? 格波的波数满足 q <<π/a, 即波长λ>>a 此时 ω正比于 q，类似于连续介质波的情况
平衡时相邻原子间的距离 a, P、 Q 的质量分别用 m 和 M 表示
原子限制在沿链的方向运动, 偏离格点的位移 用 …, μ2n,μ2n+1,…, 表示, 仍假设只有相邻 原子间存在相互作用, 互作用能取简谐近似 类比一维单原子链的情况, 可以得到原子的运动方程 P 原子 Q原子
ɺɺ m µ 2 n = − β (2 µ 2 n − µ 2 n +1 − µ 2 n −1 ) ɺɺ M µ 2 n +1 = − β (2 µ 2 n +1 − µ 2 n + 2 − µ 2 n )
将根式对 q² 展开
1/ 2 m+M 4mM 2 2 ω− = β sin aq 1 − 1 − 2 mM (m + M ) 2β m + M 1 4mM 2 = (aq) 2 ≈β 1 − 1 − (aq) mM 2 (m + M ) 2 m + M
2β ω ≈ (aq) 2 m+M
2 −
或
2β ω− ≈ a q m+M
表明对于声学波频率正比于波数, 长声学波就是把 一维链看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么 称 ω－ 支为声学波的原因 对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B →1 A −
N −1
1 1 − eiNas 1 1− e = = ias 2π ih / N = 0 N 1− e N 1− e
iNa
h 2π Na
利用这二个关系式化简系统动能和势能的表达式 动能
1 ɺ2 T = m∑ µ n 2 n 1 1 ɺ (q)e −inaq Q(q ')e −inaq ' = m ∑ ɺ ∑ ∑Q 2 Nm n q q'
q = 9π/2a 的波与 q =/2a 的格波等价吗?
等价, aq 相差 2π整数倍的格波就原子的振动来 看是相同的波 什么是格波的色散关系? 格波的 ω (频率)与 q(波矢) 之间的关系 什么是布里渊区? 对于格波来说, aq 相差 2π整数倍就原子的振动来 看是相同的波, 可以将 aq 限制在一定范围之内
−π < 2aq ≤ π π π − <q≤ 2a 2a
范围内
这个范围就是一维双原子链的布里渊区
这个范围内任意 q 有两个格波解, 它们的频率为 ω＋ 和 ω－ 和一般波的解一样, 格波解可以有任意的振幅和位 相, 但是两种原子振动的振幅比和位相差是确定的 仍采用周期性边界条件
1 ω=2 sin aq m 2
β
色散关系 格波、布里渊区
−
π
a
<q≤
π
a
2π q= h 玻恩－卡曼（周期性）边界条件 Na π 长波极限 q≪ , λ≫a a iωq t 简正坐标与格波振幅 Q(q ) = Nm Aq e
声子, 格波的量子
ℏωq
§3-3 一维双原子链 声学波和光学波
一维双原子链可以看作最简单的复式晶格： 每个原胞含 2 个不同的原子 P 和 Q 1. 运动方程及格波解 m M
以上的结论，可以用声子的“语言”来表述 声子是指格波的量子, 它的能量等于 ħωq 一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子
1 当这种振动模处于 nq + ℏωq 本征态时, 2
称有 nq 个声子, nq 为声子数 当电子(或光子)与晶格振动相互作用, 交换能量以 ħωq 为单元, 若电子从晶格获得 ħωq 能量, 称为吸收一个 声子, 若电子给晶格 ħωq 能量, 称为发射一个声子
2. 声学波和光学波
2β
µ
2β m
属于ω＋ 的格波称为光学波 属于ω－ 的格波称为光学波 q≈0 的长波在许多实际问 题中具有特别重要的作用 光学波和声学波的命名也 主要是由于它们在长波极 限的性质
2β M
先讨论声学波 ω－在长波极限的情形, 当 q→0时, ω－ →0. 当 q 很小时,
4mM 4mM 2 sin aq ≈ (aq) 2 ≪ 1 (m + M )2 (m + M )2
2. 简正坐标 上述根据牛顿定理用直接求解运动方程的方法, 求链的振动模, 与根据分析力学原理, 引入简正 坐标是等效的。这里讨论二者之间的关系 前面得到的本征解
µnq = Aq e
i (ωq t − nwk.baidu.comq )
表示第 q 个格波引起第 n 个原子的位移
原子的总位移为所有格波的叠加
µn = ∑ µnq = ∑ Aq e
利用声子的“语言”来描述晶格振动不 仅可以使表述简化, 而且有深刻的理论意 义 声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它 反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元 多体系统集体运动的激发单元，常称为元激发 在固体中有很多种类型的元激发, 处理这些元激发 的理论方法是相类似的, 声子是一种典型的元激发
§3-2 一维单原子链 小 结
q q
i (ωq t − naq )
变换一下形式
µn =
1 Q(q)e −inaq ∑ Nm q
mi µi = ∑ aij Q j
3N j =1
1 m µn = N
Q(q )e − inaq ∑
q
Q(q) = Nm Aq e
iωq t
1 − inaq anq = e N
Q(q) = Nm Aq e
1 − ian ( q + q ') ɺ (q )Q(q ') 1 ɺ = ∑Q N ∑e 2 qq ' n 1 ɺ ɺ = ∑ Q(q )Q(−q) 2 q 1 ɺ (q) 2 ɺ (q)Q* (q ) = 1 ɺ = ∑Q ∑Q 2 q 2 q
1 U = β ∑ ( µn −µn −1 ) 2 2 n