高三数学-苏州市2016届高三调研测试数学试题

苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题 2016.1参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 得方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 设全集U ＝｛x | x ≥2,x ∈N ｝,集合A ＝｛x | x 2≥5,x ∈N ｝,则UA ＝ ▲ .【答案】{2}.【命题立意】本题旨在考查集合补集得运算.考查概念得理解与运算能力,难度较小. 【解析】∵U ＝｛x | x ≥2,x ∈N ｝,A ＝｛x | x 2≥5,x ∈N ｝∴{}{}22UA x x x N =≤<∈=.2． 复数i(0)12ia z a =<+,其中i 为虚数单位,||z 则a 得值为 ▲ . 【答案】－5.【命题立意】本题旨在考查复数得运算,复数模得几何意义.考查概念得理解与运算能力,难度较小.【解析】()()()i 1-2i i 2i 12i 12i 1-2i 5a a a az +===++,||z ,故5a =-. 【方法技巧】本题主要考查复数代数形式得基本运算以及复数模得考查,进行复数得除法得运算需要分子、分母同时乘以分母得共轭复数,同时将i 2改为-1.在复数得除法运算中,共轭复数就是一个重要得概念,通过它能将分母中得虚数单位i 化去,因),())((22R b a b a bi a bi a ∈+=-+,所以复数bi a z +=得共轭复数为bi a z -=,这与实数中得互为有理化因数类似,所以在复数得四则运算中,可类比二次根式得运算,从而更好地掌握共轭复数.3． 双曲线22145x y -=得离心率为 ▲ .【答案】32. 【命题立意】本题旨在考查双曲线得离心率.考查概念得理解与计算,难度中等、 【解析】双曲线22145x y -=,224,5a b == ,由222c a b =+ 得2459c =+= ,22293,42c e e a ===.4． 若一组样本数据9,8,x ,10,11得平均数为10,则该组样本数据得方差为 ▲ . 【答案】2.【命题立意】本题旨在考查统计数据得平均数与方差.考查概念得理解与运算能力,难度较小.【解析】9+8+x+10+11=10×5,解得x=12,这对应得方差为s 2=15(12+22+22+02+12)=2. 5． 已知向量a =(1,2),b =(x ,-2),且a ⊥(a -b ),则实数x = ▲ . 【答案】9.【命题立意】本题旨在考查平面向量得坐标运算与数量积.考查运算与推理能力,难度中等、 【解析】()1,4a b x -=- ,∵()a ab ⊥-∴()0a a b ⋅-= ,即()11240x -⨯+⨯= ,解得9x =.6． 阅读算法流程图,运行相应得程序,输出得结果为 ▲ .【答案】53.【命题立意】本题旨在考查算法得流程图中得直到型循环结构及其应用.考查运算与推理能力,难度较小.【解析】由算法得流程图,开始时x=1,y=1,此时z=2,满足z<6;接下来有x=1,y=2,z=3,此时满足z<6;接下来有x=2,y=3,z=5,此时满足z<6;接下来有x=3,y=5,z=8此时满足z>6;结束循环,输出53y x =. 7． 函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤得值域为 ▲ .【答案】(,1]-∞.【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数得图象与性质,函数得值域.考查数形结合得数学思想,难度较小、【解析】当0x ≤时,()2xf x =,∵()f x 在0x ≤单调增,∴()01f x <≤;当0x >时,()21f x x =-+,∵()f x 在0x ≤单调减,()1f x ≤,综上所述()f x 得值域为(,1]-∞.8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),则事件“两次向上得数字之与等于7”发生得概率为 ▲ . 【答案】16. 【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用.考查运算与推理能力,难度较小.【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上得数字用(x,y)表示,两次向上得数字共有36种,(第6题图)两次向上得数字之与等于7得情况有6种:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),根据古典概型得概率公式可得所求得概率为61366P ==. 9． 将半径为5得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥得底面半径依次为123,,r r r ,则123r r r ++＝ ▲ . 【答案】5.【命题立意】本题旨在考查圆锥得几何性质与展开图.考查计算与推理能力,难度中等、 【解析】半径为5得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形,三个扇形得圆心角分别为2,,33πππ ,由弧长公式l r α=,所对得弧长分别为510,,533πππ,三个扇形作为三个圆锥得底面半径得与为151055233ππππ⎛⎫++=⎪⎝⎭. 10． 已知θ就是第三象限角,且2sin 2cos 5θθ-=-,则sin cos θθ+＝ ▲ . 【答案】3125-. 【命题立意】本题旨在考查同角三角函数得基本关系.考查概念得理解与运算能力,难度较小.【解析】由同角三角函数得基本关系得()()222sin 2cos 15sin cos 12θθθθ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩,解得7cos 25θ=-,3cos 5θ=,∵θ就是第三象限角∴3cos 5θ=(舍),∴7cos 2524sin 25θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,31sin cos 25θθ+=-. 11． 已知{}n a 就是等差数列,a 5＝15,a 10＝－10,记数列{}n a 得第n 项到第n +5项得与为T n ,则n T 取得最小值时得n 得值为 ▲ . 【答案】5或6.【命题立意】本题旨在考查等差数列得通项公式与求与公式.考查数列得单调性,难度较小、【解析】由题意可知11415910a d a d +=⎧⎨+=-⎩ ,解得135,5a d ==-,由等差数列得前n 项与公式得()()563405155165302n n n a a T n n n ++==-+-=- ,16530n T n=- ,12345135105754515T T T T T =>=>=>=>= ,6789154575105T T T T =<=<=<=<所以当n=5或n=6时,n T 取得最小值.12． 若直线1:l y x a =+与直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等得四段弧,则22a b +＝ ▲ . 【答案】18.【命题立意】本题旨在考查直线与圆得方程得应用,考查转化与化归,分析解决问题得能力.难度较大、【解析】设直线1:l y x a =+与圆相交于A,B 点,直线2:l y x b =+与圆相交于C,D 点.由题意可知AD BC ⊥ ,圆心到直线1:l y x a =+得距离为2,2d == ,解得1a =或1a =-;圆心到直线2:l y x b =+得距离为2,2d == ,解得1b =或1b =-∵a b ≠∴11a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或11b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,2218a b +=.13． 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0,k ∈R )有且只有三个零点,设此三个零点中得最大值为0x ,则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ . 【答案】12. 【命题立意】本题旨在考查三角函数得图象与性质,函数与方程,函数得零点及其应用.考查函数与方程思想,数形结合得数学思想,难度中等、【解析】设函数()sin f x x =得图象关于y 轴对称,直线y kx =过原点,所以函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0,k ∈R )有且只有三个零点,即函数()sin f x x = 与直线()0y kx k =>在[)0,+∞上有三个公共点,此三个交点中得横坐标最大值为0x 且在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内相切,其切点为()00,A x y ,03,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ .由于()/3cos ,,2f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ,所以000sin cos x x x =, 002200000020sin (1)sin 2sin 12sin cos cos cos x x x x x x x x x =+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭2200112cos 2sin 2x x ==+. 【方法技巧】1.对于易画出图象得函数,判断零点得个数或零点所在得区间时,可转化为判断函数图象与x 轴得交点问题.2.对于函数)()()(x g x h x f -=得零点问题,可采用数形结合得方法,将函数)(x f 得零点问题转化为函数)(x h ,)(x g 得图象得交点问题,作出两个函数得图象,从而判断零点所在得大致区间或零点个数、14． 已知14ab =,,(0,1)a b ∈,则1211a b +--得最小值为 ▲ .【答案】43+. 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法.考查推理论证得能力与计算能力.难度较大、【解析】由14ab =得14a b = ,2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当t =等号成立. 二、解答题:本大题共六小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分14分)在ABC ∆中,三个内角A ,B ,C 所对得边分别为a ,b ,c ,且满足cos cos 2cos a B +b AC c=.(1)求角C 得大小;(2)若ABC ∆得面积为,6a b +=,求边c 得长. 【答案】(1)3π;(2)【命题立意】本题旨在考查余弦定理,“边、角”互化思想.考查运算推理能力,难度较小、【解析】(1)由余弦定理知22222222cos cos 222a c b b c a c a B+b A a b c ac bc c+-+-=⋅+⋅==3分cos cos 1a B+b A c ∴=,1cos 2C ∴=, …………………………………5分又()0,C ∈π,3C π=、 ………………………7分(2)1sin 2ABCS ab C ==8ab ∴=, ………………………10分 又6a b +=,()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=, …………………13分c ∴= …………………………………14分 16． (本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中, E ,F 分别就是AB ,BC 得中点,A 1C 1 与B 1D 1交于点O 、 (1)求证:A 1,C 1,F ,E 四点共面;(2)若底面ABCD 就是菱形,且OD ⊥A 1E ,求证:OD ⊥平面A 1C 1FE 、【答案】(1)略;(2)略.【命题立意】本题旨在考查空间直线平行.线与平面垂直得判定,考查空间想象.推理论证能力.难度中等、【解析】(1)连接AC ,因为E ,F 分别就是AB ,BC 得中点,所以EF 就是△ABC 得中位线, 所以EF ∥AC . ………………………2分由直棱柱知AA 1=CC 1,所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形,所以AC ∥A 1C 1. ………………5分所以EF ∥A 1C 1,故A 1,C 1,F ,E 四点共面.……………7分 (2)连接BD ,因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ,11AC ⊂平面1111A B C D ,所以1DD ⊥11A C . ………………………9分 因为底面A 1B 1C 1D 1就是菱形,所以11A C 11B D ⊥. 又1DD 111=B D D ,所以11AC ⊥平面11BB D D . ………………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ,所以OD ⊥11A C . 又OD ⊥A 1E ,11AC 11A E A =,11AC ⊂平面A 1C 1FE ,1A E ⊂平面A 1C 1FE ,所以OD ⊥平面A 1C 1FE 、 ………………………14分 17． (本小题满分14分)图1就是一段半圆柱形水渠得直观图,其横断面如图2所示,其中C 为半圆弧ACB 得中点,渠宽AB 为2米.(1)当渠中水深CD 为0、4米时,求水面得宽度;(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形得水渠,且使渠得底面与地面平行,则当改挖后得水渠底宽为多少时,所挖出得土量最少？(第16题图)1EOD 1B 1A FDCB【答案】(1)1、6米23. 【命题立意】本题旨在考查圆得方程,切线方程,利用导数求函数得最值,考查数学模型得实际应用,分析与解析问题得能力.难度中等、【解析】(1)以AB 所在得直线为x 轴,AB 得中垂线为y 轴,建立如图所示得直角坐标系xOy ,因为AB ＝2米,所以半圆得半径为1米,则半圆得方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤. ………………………3分 因为水深CD ＝0、4米,所以OD ＝0、6米,在Rt △ODM 中,22210.60.8DM OM OD =--=(米). ……………………5分 所以MN ＝2DM ＝1、6米,故沟中水面宽为1、6米. ……………………6分 (2)为使挖掉得土最少,等腰梯形得两腰必须与半圆相切,设切点为(cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<就是圆弧BC 上得一点,过P 作半圆得切线得如图所示得直角梯形OCFE ,得切线EF 得方程为cos sin 1x y θθ+=. ……………………8分 令y ＝0,得1(,0)cos E θ,令y ＝-1,得1sin (,1)cos F θθ+-.设直角梯形OCFE 得面积为S ,则11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ++=+⋅=+⨯=(02θπ-<<). ……………………10分 22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==,令0S '=,解得6θπ=-, 当26θππ-<<-时,0S '<,函数单调递减;当06θπ-<<时,0S '>,函数单调递增. ………………………12分所以6θπ=-时,面积S 取得最小值,3.M N P FE y x OD C B A此时1sin()36cos()6CFπ+-==π-,即当渠底宽为23米时,所挖得土最少.…………14分18．(本小题满分16分)如图,已知椭圆O:x24＋y2＝1得右焦点为F,点B,C分别就是椭圆O得上、下顶点,点P就是直线l:y＝－2上得一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆得右焦点F时,求△FBM得面积;(2)①记直线BM,BP得斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;②求PB PM⋅得取值范围.【答案】3①略②()9,+∞.【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆得位置关系,直线方程,平面向量得位置关系与线性运算,考查分析与解决问题得能力与运算能力等.难度中等、【解析】解:(1)由题意(0,1),(0,1)B C-,焦点(3,0)F,当直线PM过椭圆得右焦点F时,则直线PM113y+=-,即31y x=-,联立,221,431,xyy⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得831,7xy⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1xy=⎧⎨=-⎩(舍),即831()7M.……………2分连BF,则直线BF113y=,即330x y,而2BF a==,228312333377721(3)d===+. ……………………4分故1133222MBFS BF d=⋅⋅=⋅=. ……………………5分(2)解法一:①设(,2)P m -,且0m ≠,则直线PM 得斜率为1(2)10k m m---==--,则直线PM 得方程为11y x m=--, 联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=,解得22284(,)44m m M m m --++, ………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+,21(2)30k m m --==--, 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值. …………………10分② 由①知,(,3)PB m =-,2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++,所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++, ……………13分 令244m t +=>,故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+,因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增,所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=,即PB PM ⋅得取值范围为(9,)+∞……16分解法二:①设点()000(,)0M x y x ≠,则直线PM 得方程为0011y y x x +=-,令2y =-,得00(,2)1xP y --+、 ……………7分所以0101y k x -=,()020*******y k x x y +--==-+, 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--(定值)、 ………………10分 ②由①知,00(,3)1x PB y =+,0000(,2)1xPM x y y =+++, 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++. ………………13分令()010,2t y =+∈,则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++,因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减,所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=,即PB PM ⋅得取值范围为(9,)+∞.…16分【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆得位置关系得相关问题,其常规思路就是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数得关系建立方程,解决相关问题、 19． (本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足:112a =,113n n n a a p nq -+-=⋅-,*n ∈N ,,p q ∈R 、 (1)若0q =,且数列{}n a 为等比数列,求p 得值;(2)若1p =,且4a 为数列{}n a 得最小项,求q 得取值范围、 【答案】(1)0p =或1p =;(2)2734q ≤≤.【命题立意】本题旨在考查数列得递推关系式,累加法,等比数列得定义,数列求与,数列得增减性.考查函数与方程思想,以及转化与化归能力,难度中等、 【解析】(1)0q =,113n n n a a p -+-=⋅,∴2112a a p p =+=+,321342a a p p =+=+, 由数列{}n a 为等比数列,得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得0p =或1p =、……………3分当0p =时,1n n a a +=,∴12n a = 符合题意; ……………………4分当1p =时,113n n n a a -+-=, ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-,∴13n naa +=符合题意、 (6)分(2)法一:若1p =,113n n n a a nq -+-=-,∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦、 …………8分 ∵数列{}n a 得最小项为4a ,∴对*n ∀∈N ,有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立,即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立、 …………………10分当1n =时,有2612q --≥,∴136q ≥; 当2n =时,有2410q --≥,∴125q ≥;当3n =时,有186q --≥,∴3q ≥;当4n =时,有00≥,∴q ∈R ; …………………12分 当5n ≥时,2120n n -->,所以有1232712n q n n ----≤恒成立,令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥,则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--, 即数列{}n c 为递增数列,∴5274q c =≤、 …………………15分 综上所述,2734q ≤≤、 ……………………16分 法二:因为1p =,113n n n a a nq -+-=-,又4a 为数列{}n a 得最小项,所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤、 ……………………………………………………8分此时2110a a q -=-<,32320a a q -=-<,所以1234a a a a >>≥、 (10)分当4n ≥时,令1n n n b a a +=-,141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥, 所以1n n b b +>,所以4560b b b <<<≤,即4567a a a a <<<≤、 (14)分综上所述,当2734q ≤≤时,4a 为数列{}n a 得最小项, 即所求q 得取值范围为27[3,]4、 (16)分20.(本小题满分16分)已知函数()e (21)xf x x ax a =--+(a ∈R ),e 为自然对数得底数.(1) 当a ＝1时,求函数()f x 得单调区间;(2) ①若存在实数x ,满足()0f x <,求实数a 得取值范围;②若有且只有唯一整数0x ,满足0()0f x <,求实数a 得取值范围.【答案】(1)()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增、;(2)①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦.【命题立意】本题旨在考查导数及其应用,导数得运算与导数得几何意义,函数得单调性,考查分类讨论思维,分离参数构造函数求取值范围.难度中等、【解析】(1)当a ＝1时,()()e 211x f x x x =--+,()()e '211x f x x =+-,……1分由于'(0)0f =,当(0,)x ∈+∞时,e 1,211x x >+>,∴'()0f x >, 当(,0)x ∈-∞时,0<e 1,211x x <+<,∴'()0f x <,所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增、 ………………4分 (2)①由()0f x <得()()e211xx a x -<-.当1x =时,不等式显然不成立; 当1x >时,()e 211x x a x ->-;当1x <时,()e 211x x a x -<-、 ………………6分记()g x =()e 211x x x --,()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--,∴ ()g x 在区间()0-∞，与3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数.∴ 当1x >时,32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭,当1x <时,()01a g <=. …………………8分综上所述,所有a 得取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. …………………9分②由①知1a <时,0(,1)x ∈-∞,由0()0f x <,得0()g x a >,又()g x 在区间()0-∞，上单调递增,在()0,1上单调递减,且()01g a =>, ∴()1g a -≤,即e 32a ≥,∴e312a <≤、 …………………12分 当324e a >时,0(1,)x ∈+∞,由0()0f x <,得0()g x a <,又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减,在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴()()23g a g a<⎧⎪⎨⎪⎩≥,解得32e 532a <e ≤、 ……………………15分综上所述,所有a 得取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………16分数学II(附加题)21.【选做题】A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,四边形ABDC 内接于圆.BD ＝CD,过C 点得圆得切线与AB 得延长线交于E 点。