高数A习题课九

三、计算下列不定积分
1． ∫
2− 3 x dx 2+ 3 x
dx x x −1
2
2． ∫
x3 4+ x
2
dx
3． ∫
4.
∫
arctan x x (1 + x )
dx
1 + sin 2 x dx 5. ∫ 1 + cos 2 x
6.
1 ∫ 1 + 3cos 2 x dx
7.
9.
∫ sin
3
1 dx x cos5 x
1 （A） sin x − sin 2 x + C ； 2 1 （C） x 2 − x + C ； 2
）
1 （B） x − x 2 + C ； 2
（D） cos x − sin x + C 。
1 x
0
3.若 F ( x )= ∫
x
1 1+ t
2
0
dt + ∫
1 1+ t 2
dt ， x ≠ 0 ，则 F ( x )= （
2.设当x ≥ 1时，f ' ( x) =
1 , 且f (1) = 1, x + f 2 ( x)
2
令a n = f (n)，证明数列{a n } 收敛，且 lim an ≤
n →∞
π
4
+ 1.
五、证明题
1．设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，试证：存在 ξ∈(a ,b ) ，使得 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b − a )
( A).依赖于 s, t (C) .依赖于 s, t ,x (B).依赖于 x, t 不依赖于 s (D)依赖于 s, 不依赖于 t
7.设f ( x)连续, n ∫ xf 2 (2 x)dx = ∫ tf 2 (t )dt , 则 n 等于
0 0
1
2
( A).2 1 (C ). 4
(B).4 1 (D). 2
x 0
5.设g ( x) = ∫
t
f ( x 2 − t 2 )dt , 则g ′( x) =
( A).xf ( x 2 ) (C) .2 xf ( x 2 )
s t 0
(B).-xf(x 2 ) (D)-2 xf ( x 2 )
6.设f ( x)连续 , I = t ∫ f ( xt )dx (t > 0, s > 0), 则I 的值
值为 2，极大值为 6，求 f ( x ) 。
4．设 f ( x ) 在 ( 0,+∞ ) 上连续，且对任意的正数 a，b，积分 ∫
且 f (1) =1 ，求 f ( x ) 。
ab a
f ( x )dx 与 a 无关，
5.(1).已知 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x + tan 2 x, 0 < x < 1, 求 f ( x ).
x≤
π
13.I = ∫
0ห้องสมุดไป่ตู้
⎧sin x 2 f (t ) g ( x − t )dt , 其中f ( x) = x, g ( x) = ⎨ ⎩ 0 x>π 2
四、解答题
1.设S ( x) = ∫ cos t dt ,
0 x
(1)当n为正整数时，且nπ ≤ x ≤ (n + 1)π 时，证明2n ≤ S(x) ≤ 2(n + 1). S ( x) (2)求 lim . x →+ ∞ x
a b
2． 设 f ( x ) 在 [0, 1] 上可微， 且 f ′( x ) ≤ M ，f (0)= f (1)= 0 ， 试证：∫ f ( x )dx ≤
0
1
M 。 4
(2). 已知
∫ xf ( x)dx = arcsin x + c,
arcsin x 1− x
2
求∫
1 dx. f ( x)
(3). 设 f ( x) 的一个原函数为F ( x), F (0) = 1,当 x ≤ 1时, f ( x) F ( x) = , 求f ( x).
⎧ sin 2 x x ≤ 0 (4). 设 f ( x) = ⎨ , 求f ( x)的原函数F ( x)。 ⎩ln(2 x + 1) x > 0
二、解答题
1．求函数 f ( x )= max{1, x 2 } 在 ( −∞ , + ∞ ) 上满足 F (0)=1 的一个原函数。
⎧ 1, 0< x ≤1, 2．设 f ′(ln x )= ⎨ 且 f ( 0) = 0 ，求 f ( x ) ，进而求 ∫ f ′( x )dx 。 ⎩ x , 1< x < +∞ . 3．已知曲线 y = f ( x ) 在任意点处的切线斜率为 ax ( x −1)(a < 0) ， 且 f ( x ) 的极小
8.
∫
1 dx x(1 − x 4 )
1 ∫ sin 2 x + 2 sin x dx
1 2 1 − 2
10. ∫
[cos x (ln
π
1+ x + sin 2 x) + 1 − 4 x 2 ]dx 1− x
sin 3 x 2 11. ∫ dx 0 sin x + cos x
x
12.
∫π
−
π
4 4
sin 2 x dx 1 + e− x
）
（A） 0 ； （B）
π ； （C） arctan x ； （D） 2arctan x 。 2
x
4.设x → 0时, F ( x) = ∫ ( x 2 − t 2 ) f ′′(t )dt 的导数与x 2
0
是等价无穷小，则 f ′′(0) =
( A).0 (C ).∞ (B).1 1 (D). 2
习 题 课 九
一、选择题
1．设 f ( x) 连续，则 ∫ f ( t )dt 为（
a x
）
（A） f ( t ) 的一个原函数； （B） f ( t ) 的所有原函数； （C） f ( x ) 的一个原函数； （D） f ( x ) 的所有原函数。 2．若 f ′(sin 2 x )= cos 2 x ，则 f ( x )= （