2019年甘肃省高考一诊理科数学答案

2
2
……………7 分
设点
A( x1 ,
y1) ， B(x2 ,
y2 ) ，则 x1
+
x2
= − 8 2k 1 + 4k2
， x1x2
=4 1+ 4k2
，
又 y1 y2 = (kx1 + 2)(kx2 + 2) = k2 x1x2 + 2k(x1 + x2 ) + 2 . JJJG JJJG
若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内，则 OA⋅ OB < 0 ,
（ Ⅱ ） 设 直 线 l 的 方 程 为 y = kx + 2 代 入 椭 圆 C 的 方 程 x2 + y2 = 1 ， 整 理 得
4
(1 + 4k 2 )x2 + 8 2kx + 4 = 0 ，
k 的值应满足 Δ > 0 ，即 4k 2 -1 > 0 ，所以 k > 1 ，或 k < − 1 .①
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ
=
4cosθ sin2 θ
，即 ρsin2θ
= 4cosθ
，化为
y2
= 4x( y
≠ 0) .
………………………………………………5 分
第一次诊断理科数学答案 第 5 页（共 6 页）
⎧
（Ⅱ）过点
P（3,
2）与直线
C1
垂直的直线的参数方程为
⎪⎪ ⎨
x
=
3
−
2 t,
2 （ t 为参数），
BM //AE , BM ⊄ 平面 PAD , AE ⊂ 平面 PAD ,所以 BM // 平面 PAD .
………………………………6 分
（Ⅱ）以 D 为原点，以 DC, DP 分别为 y 轴 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
D − xyz ．
则 D(0, 0, 0) ， P(0, 0, 2) ， A( 3, −1, 0) ， B( 3,1, 0) ， C(0, 4, 0) ， M (0, 2,1) ，
（Ⅱ）因为 a + b =（1 a,b > 0) ，
所以 4 + 1 =（a + b)( 4 + 1) = 5 + 4b + a ≥ 5 + 2 4b ⋅ a = 9 ．
ab
ab
ab
ab
对于任意 x ∈ R ， f (x − m) − f (−x) ≤ 4 + 1 恒成立等价于：对任意 x ∈ R ， ab
2019 年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1. A 2. C 3.B 4.C 5.D 6. A 7. C 8.A 9.B 10.D 11. C 12. B 11.【解析】过 A,B 分别作准线的垂线交准线于 E,D.因为
y
+
z
=
0,
E
M
D
A
B
x
Cy
令 x = 3 ，可得 n = ( 3,0,3) ．
……………………………………8 分
设 m = (x1, y1, z1) 为平面 CBM 的一个法向量．
第一次诊断理科数学答案 第 3 页（共 6 页）
JJJG
由
⎧⎪ ⎨
m
⋅
JBJCJJG=
0,
即
⎧⎪− ⎨
3x1 + 3 y1 = 0,
对任意实数 x ，都有 f (x) − f ′(x) > 0 ，所以 g′(x) < 0 ，从而 g(x) 为 R 上的减函数.
g(1) =
f (1) e
=1 e2
，由
f (x) < ex−2 ，得
f (x) < 1 ex e2
，即 g(x) < g(1) .因为 g(x) 为 R 上的减
函数，所以 x > 1 ，所以使得 f (x) < ex−2 成立的 x 的取值范围是 (1, +∞) .故选 B．
⎪ ⎪⎩
y
=
2
+
2t 2
代入 y2 = 4x ，可得 t2 + 8 2t − 16 = 0 ，
所以 t1t2 = −16 ，
所以 PM ⋅ PN = t1t2 = 16 .
……………………10 分
23.（本题满分 10 分）
⎧⎪3 ⎪
−
3x,
x
<
1 2
（Ⅰ）
f
(x)
+
f
(2x
+ 1)
=|
x
−
2|
+
|
g(x) 在 (1，+∞) 上单调递增,故 g(x) > g(1) = 1 , 因此 k < x2 − x ln x 在 (1，+∞) 上恒成
2
2
立,必须
k
≤
1 2
.所以实数
k
的取值范围是
(−∞,
1 2
⎤ ⎥⎦
.
………………………………12
分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡
19. （本题满分 12 分）
……………………………12 分
证明：（Ⅰ）取 PD 的中点 E ，连接 AE ， EM ，因为 M 为棱 PC 的中点，所以 EM //CD ，且 EM = 1 CD .又因为 AB//CD ，
2 AB = 2 , CD = 4 ,
所 以 EM //AB , EM =AB , 所 以 四 边 形 ABME 是 平 行 四 边 形 , 所 以
解：（Ⅰ）设等差数列{an} 的公差为 d ，则 d = a3 − a2 = 3 ，
第一次诊断理科数学答案 第 1 页（共 6 页）
因为 a2 + a4 = a1 + d + a1 + 3d = 14 ，所以 a1 = 1 ，
所以{an} 的通项公式为 an = 3n − 2 .
……………………………6 分
4 3a + a + 4
AE AC
即 p = 3a + a = 4a ，所以 p = 4a = 8 ，
4 3a + a + 4 4a + 4
a +1 3
选 C.
12.【解析】令 g(x) =
f (x) ex
，则
g ′( x)
=
f ′(x)ex − f (x)ex e2x
=
f ′(x) − ex
f (x) .
…………………7 分
令 h(x) = x −1− ln x ，则 h′(x) = 1 − l = x − l . 当 x ∈(1，+∞) 时，h′(x) > 0 , 函数 h(x) 在
xx
(1，+∞) 上单调递增,故 h(x) > h(1) = 0 , 从而当 x ∈(1，+∞) 时， g′(x) > g′(1) = 0 ,即函数
上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评
分；多答按所答第一题评分。
22.（本题满分 10 分）
解：（Ⅰ）直线 C1 的参数方程为
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x y
= =
3+t 2+
cos π ， 4 (其中 π
t sin 4
t
为参数），
消去参数可得 x − y −1 = 0 .
2x
− 1 |=
⎪ ⎨
x
⎪
+ 1,
1 2
≤
x≤
2，
⎪3x − 3, x > 2
⎪⎩
……………………2 分
当 x < 1 时，由 3 − 3x ≥ 6 ，解得 x ≤ −1 ；
2
当 1 ≤ x ≤ 2 时， x +1≥ 6 不成立；
2
当 x > 2 时，由 3x − 3≥ 6 ，解得 x ≥ 3 ．
所以不等式 f (x) + f (2x +1) ≥ 6 的解集为 (−∞, −1] ∪ [3, +∞) ． …………………5 分
……………………9 分
所以 x1x2 + y1 y2 = (k 2 +1)x1x2 + 2k(x1 + x2 ) + 2 < 0 ，
即 (k2
+
1)
⋅
1
+
4 4k
2
+
2k
(−
8 1+
2k 4k 2
)
+
2
<
0
,
解得 k < −
6 ,或k > 2
6 .
2
②
由①②得,k 的取值范围是 (−∞, − 6 )∪( 6 , +∞) .
=
254 或
S7
=
b1(1 − q7 ) 1− q
=
−2 ⎡⎣1 − (−2)7 1+ 2
⎤⎦
=
−86
.
…12 分
18.（本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）根据直方图数据，有 2 × (a + a + 2a + 0.2 + 0.2) = 1 ，
解得 a = 0.025 ．
……………………………2 分
（Ⅱ）根据直方图可知，样本中优质产品有120 × (0.100 × 2 + 0.025 × 2) = 30 ，列联表如
)2
=
54 256
； P(X
= 3)
=
C43
(
1 4
)3
(
3 4
)1
=
12 256
；
第一次诊断理科数学答案 第 2 页（共 6 页）
P(X
=
4)
=
C44
(
1 4
)4
(
3 4
)0
=
1 256
．
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
81
108
54
12
1
256
256
256
256
256
故数学期望 EX＝ 4 × 1 = 1 . 4
{ } （Ⅱ）设等比数列
பைடு நூலகம்
bn
的公比为 q ，由（1）得 ⎧⎨⎩bb24
= 4, = 16.
即 ⎧⎪⎨⎪⎩bb11qq3==41,6.
解得
⎧⎨b1 ⎩q
= 2, = 2.
或
⎧⎨b1 ⎩q
= −2, = −2.
……………………………8 分
所以
S7
=
b1(1 − q7 ) 1− q
=
2(1 − 1−
27 ) 2
20.（本题满分 12 分）
………………………………12 分
解：（Ⅰ）由题意得
⎧ ⎪( ⎪ ⎪⎪⎨a
3)2
+
( 1 )2 2
a2
b2
2 = b2 + c2,
= 1,
解得 a
=
2, b
=1，
⎪ ⎪
c
⎪a
=
3, 2
⎪⎩
所以椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 . 4
………………………………………5 分
x − 2 − m − −x − 2 ≤ 9 ，即 ⎡⎣ x − 2 − m − −x − 2 ⎤⎦max ≤ 9 ．
2
2
……………………12 分
第一次诊断理科数学答案 第 4 页（共 6 页）
21.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 f (x) = x2 − x ln x ，所以 f ′(x) = 2x − ln x −1 . f ′(1) =1,又 f (1) = 1 ,即切
线 斜 率 k = 1 ， 切 点 为 (1,1) ， 所 以 曲 线 y = f (x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.8 14. 9 10 50
15. 14 3
16.①②④
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分）
JJJG
JJJJG
JJJG
AB = (0, 2, 0) , BM = (− 3,1,1) , BC = (− 3,3, 0)
Pz
,
设 n = (x, y, z) 为平面 ABM 的一个法向量．
JJJG
由
⎧⎪n ⎨ ⎪⎩n
⋅ JAJBJJG= 0, ⋅ BM = 0,
即
⎧⎪2 y ⎨⎪⎩−
= 0, 3x +
令 y1 = 1 ，可得 m = ( 3,1, 2) ．
⎪⎩m ⋅ BM = 0, ⎪⎩− 3x1 + y1 + z1 = 0,
……10 分
cos < n, m >= m ⋅ n =
3 × 3 + 0×1+ 3× 2 = 3 6
m ⋅ n ( 3)2 + 32 ( 3)2 + 12 + 22 8
所以二面角 A − BM − C 的余弦值是 − 3 6 . 8
下表所示：
A 试验区
B 试验区
合计
优质产品
10
20
30
非优质产品
60
30
90
合计
70
50
120
……………………4 分 可得 K 2 = 120(10 × 30 − 20 × 60)2 ≈ 10.3 < 10.828 ．
70 × 50 × 30 × 90 所以，没有 99.9％的把握认为优质产品与 A，B 两个试验区有关系． …………12 分 （Ⅲ）由已知，从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是 1 ，
JJJG JJJG | AF |= 4,CB = 3BF ， 所 以 AE = 4, CB = 3 BF ,
且 BF = BD ，设 BF = BD = a ，则 BC = 3a ，
根据三角形的相似性可得 BD = CB ， AE AC
即 a = 3a ，解得 a = 2 ，所以 GF = CF ，
x− y =0.
……………………5 分
（Ⅱ） k + x − f (x) = k − x +ln x , k + x − f (x) < 0 在 (1，+∞) 上恒成立,
x2 x x2
x2 x
等价于 k < x2 − x ln x 在 (1，+∞) 上恒成立. 2
令 g(x) = x2 − x ln x ，则 g′(x) = x −1− ln x . 2
4 随机抽取 4 件中含有优质产品的件数 X 的可能取值为： 0,1, 2,3, 4. 且 X 服从二项分布
B(4， 1 )， 4
P(X
= 0)
=
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)4
=
81 256
； P(X
= 1) =
C41
(
1 4
)1
(
3 4
)3
=
108 256
；
P(X
=
2)
=
C42
(
1 4
)2
(
3 4