三划分问题可多项式归约为唯一可达向量Petri网可达性问题

模和分析的工具已被广泛应用于多个领域ｕ’６ｊ．文 献［１］中给出了一种基于唯一可达向量网的分组密 码体制．文中提出了扩展的三划分问题，指出扩展的 三划分问题可多项式归约为唯一可达向量网系统可 达性问题，因此给出了求解唯一可达向量网系统可 达性问题的一个复杂度下界，对于唯一可达向量网 系统来说，其可达性问题是ＮＰ一难的【７｜．
摘要：为了对基于唯一可达向量Ｐｅ硒网（ＵＩｔＶ—ＰＮ）的密码体制进行密码分析工作，有必要对唯一可达向量网系 统的数学本质和各种性质进行深入的研究．定义了扩展的三划分问题，三划分问题是扩展的三划分问题的一种特 殊情况；给出了一个一般的多项式时间复杂度算法构造扩展的三划分问题的Ｐｅ撕网模型；证明扩展的三划分问题 有解当且仅当所构造的Ｐｅｔｒｉ网模型中某个标识可达；从而说明三划分问题可多项式归约为唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网 系统的可达性问题，从而给出了求解唯一可达向量网系统可达性问题的一个复杂度下界． 关键词：Ｐｅｔｒｉ网；三划分问题；归约；可达性问题；ＮＰ一难 中图分类号：ＴＰ３０１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—７１８０（２００８）１０—０１４４—０３
ｉｓ
ｔｏ
ｃａｓｅ
ｄｉｓｃｏｖｅｒ
ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
ｎａｔｕｒｅ
ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｕｎｉｑｕｅ Ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ Ｖｅｃｔｏｒ
ｏｎ
Ｎｅｔ（ＵＲＶ－
ＰＮ）ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｒｙｐｔａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｈｒｅｅ
［８］Ｍａｙｒ Ｅ Ｗ．Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ
ｐｅｔｒｉ
ｎｅｔ
ｒｅａｃｈａ—
ｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，１９８４，１３
（３）：４４１—４６０． ［９］Ｋｏｓａｒａｊｕ Ｓ Ｒ．Ｄｅｃｉｄａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ
Ｔｈｒｅｅ Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｔｉｍｅ Ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ
ｔｏ ｔｈｅ Ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ
Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ＵＲＶ－ＰＮｓ
ＹＵＥ Ｈａ０１，２
（１ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６５１０，Ｃｈｉｎａ；
Ｆｏｒ
ｉ十１ｔｏ ３ｍ ｄｏ
①‘Ｆ—Ｆ Ｕ｛（５，ｔａ）｝；将有向边（５，ｔａ）的权定为以ｉ； ②Ｆ—Ｆ Ｕ“ｔａ，Ｐ）｝；将有向边（乙，Ｐ）的权定为ｑ； ③Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｓ１，ｔ。）｝；将有向边（ｓ１，ｔ。）的权定为１； ④Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｔ。Ｐ１）｝；将有向边（ｔ。Ｐ１）的权定为１；
扩展的三划分问题可多项式归约为唯
口∈Ａ
ｍ是扩展的三划分问题的规模． ①可以用Ｃ１×ｍ的时间完成，其中Ｃ１ 为正整数常数；②中两个循环体内的每一句都可以 在常数时间Ｃ２内完成，因此②的时间耗费为
（１０×Ｃ２）×３ｍ＋（１０×Ｃ２）×研＝４０×Ｃ２×
ｍ：
输出：一个唯一可达向量网系统芝：＝（ｓ，Ｔ；Ｆ，Ｗ，
Ｍｏ） 算法步骤如下： 置三的库所集
引理１
输出Ｐｅｔｒｉ网三＝（Ｓ，Ｔ；Ｆ，Ｗ，Ｍ０），结束．
５
扩展的三划分问题（Ｅ３ＰＰ）可多项式归约 为唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网可达性问题
（Ｉ瓜Ｖ—ＰＮ—ＲＰ）
三划分问题是ＮＰ一完全问题． 下面的引理给出了扩展的三划分问题Ｐ同其 对应的Ｐｅｔｒｉ网三的可达性问题之间的关系．
引理３
扩展的三划分问题同三划分问题的唯一区别在 于前者没有限定集合Ａ中元素的大小．显然，三划 分问题是扩展的三划分问题的特例，扩展的三划分 问题是三划分问题的一般形式，三划分问题可以常 数时间归约为扩展的三划分问题，反之不一定，因此 扩展的三划分问题至少和三划分问题具有同样的
山东：山东科技大学．２００４． ［７］Ａｌｌａｎ Ｃｈｅｎｇ，Ｊａｖｉｅｒ Ｅｓｐａｒｚａ，Ｊｅｎｓ Ｐａｌｓｂｅｒｇ．Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ
ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ １一ｓａｆｅ ｎｅｔｓ［Ｊ］．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ Ｏｆ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｔｅｅｈ— ｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９３，７６１（３）：３２６—３３７．
“难度”． 引理２
４
扩展的三划分问题有解当且仅当标识
Ｍ＝（Ｂ，３，０，０，１，１，…，１）Ｔ在三是可达的，其中Ｍ 是如下的标识：Ｍ（Ｓ）＝Ｂ，Ｍ（Ｓ１）＝３，Ｍ（Ｐ）＝０， Ｍ（Ｐ１）＝０，其余库所在Ｍ下均有且仅有一个标 记．
证明 （省略）
扩展的三划分问题是ＮＰ一难的．
引理３说明可以用算法１把扩展的三划分问题
证明
Ｓ＝｛５，Ｓ１，ｐ，Ｐｌ，％１，Ｃａ２，…，Ｃａ３。，ＣＡｌ，ＣＡ２，…，‰｝；变
迁集Ｔ＝｛ｔ。，，ｔ。，，…屯，，“，，“，，…，ｔＡ｝；流关系Ｆ＝ ｊｍ ｍ
ｌ ｚ ｌ ｚ
③与④用常数时间为Ｃ３，⑤用时间为Ｃ。×优， ｃ。为一个正整数常数．因此算法１的时间复杂度为
ｏ（ｍ）． 定理１ ‘证明
Ｄ（空集）．
∈Ｌ２，则称Ｌ１可以多项式归约为Ｌ２，记为Ｌ１。Ｃ
１；
Ｆｏｒ
ｉ十１
ｔｏ
ｍ ｄｏ
①Ｆ—Ｆ Ｕ｛（户，ｔＡ）｝；将有向边（户，ｔＡ．）的权定为Ｂ； ②Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｔＡ，ｓ）｝；将有向边（ｔＡ，Ｓ）的权定为Ｂ； ③Ｆ—ＦＵ｛（夕１，ｔＡ）｝；将有向边（Ｐ１，ｔＡ．）的权定为３； ④Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｔＡ，Ｓ１）｝；将有向边（ｔＡ，Ｓ１）的权定为３； ⑤Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｔＡ，ＣＡ）｝；将有向边（ｔＡ：，吼：）的权定为
ＲＰ）就是在一般Ｐｅｔｒｉ网的可达性问题中将三限定 为唯一可达向量网系统而得到的问题． 一般Ｐｅｔｒｉ网的可达性问题是可决定的旧’９Ｊ，并
且已知这个问题的复杂度下界是指数空间级的ｕ ０｜，
对于唯一可达向量网系统来说，可达性问题的复杂 度可能要小于一般的Ｐｅｔｒｉ网，文中试图从另一个角 度出发，寻求确定唯一可达向量网系统可达性问题
２００６．
网三是一个唯一可达向量网系统．因此，扩展的三 划分问题可多项式归约为唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网三 的可达性问题．
由定理１和引理２易知有下面的推论： 推论１唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网的可达性问题 是ＮＰ一难的．
［３］Ｐｅｔｅｒｓｏｎ Ｊ
Ｌ．Ｐｅｔｒｉ
ｎｅｔ
ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｄｉｎｇ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ
收稿日期：２００８—０４—１６ 基金项目：国家自然科学基金项目（６０６７３０５３）
第１０期
岳昊：三划分问题可多项式归约为唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网可达性问题
１４５

复杂度的方法．
⑤Ｆ—Ｆ Ｕ｛（ｔ。Ｃ。）｝；将有向边（ｔ。Ｃａ）的权定为１；
ｒｅｐｅａｔ
３扩展的三划分问题（Ｅ３ＰＰ）
在提出扩展的三划分问题之前，先引入可计算 性和计算复杂性理论中几个相关的基本概念１１１ Ｊ．用 不确定的图灵机在多项式时间内可解的判定问题称 为ＮＰ类问题．设Ｌ１ Ｅ三ｆ，Ｌ２∈三于，是两个语言， 若存在一个映射ｆ：三ｆ一三ｆ使得 （１）用多项式时间计算函数厂的确定的图灵机 存在； （２）对于任意ｚ∈三ｆ：ｚ∈Ｌ１当且仅当ｆ（ｚ）
ｒｅｐｅａｔ
在库所ｓ中置Ｂ个标志，即Ｍ０（Ｓ）＝Ｂ．
在库所Ｓ】中置３个标志，即／ｗｄ ５１）＝３．
其余库所标志数置０，即ＶＰ∈（Ｓ一｛Ｓ，Ｓ１｝），Ｍｏ（Ｐ）＝
０．
Ｌ，．多项式归约是指可以用多项式时间算法实现所 需变换的归约．设有一个问题Ｑ，，使得对于任意问 题Ｑ∈ＮＰ，都有Ｑ。Ｃ Ｑ】，则称问题Ｑ】为ＮＰ一难． 若问题Ｑ．∈ＮＰ，且对于任意Ｑ∈ＮＰ，都有Ｑ ＣＣ Ｑ１，则称Ｑ１为ＮＰ一完全问题【１１ Ｊ．
２
Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆ
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ
ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｎａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｏｚｕｏ ４５４００３，Ｃｈｉｎａ） ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ
Ｐｅｔｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｈｒｅｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｇｏａｌ
ｐａｒｔｉｔｉｏｎ
ｔＯ
ｔｈｅ ＵＲＶ－ＰＮ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｔｉｍｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ
ｐｒｏｂｌｅｍ
ｔｏ
ｔｈｅ ｒｅａｅｈａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ＵＲＶ－ＰＮ ｉｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｓｏ ｔｈｅ ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ
ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ＵＲＶ－ＰＮ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ Ｋｅｙ
６结束语 文中提出了扩展的三划分问题，说明三划分问 题可常数时间归约为扩展的三划分问题；给出了一 个一般的多项式时间复杂度算法构造扩展的三划分 问题的Ｐｅｔｒｉ网模型；证明扩展的三划分问题有解当 且仅当所构造的Ｐｅｔｒｉ网模型中某个标识可达；从而 说明扩展的三划分问题可多项式归约为唯一可达向 量Ｐｅｔｒｉ网系统的可达性问题． 文中结论的意义在于指出扩展的三划分问题可 多项式归约为唯一可达向量网系统可达性问题，三 划分问题是扩展的三划分问题的一种特殊情况，对 扩展的三划分问题构造Ｐｅｔｒｉ网模型的方法也适用 于三划分问题，从而给出了求解唯一可达向量网系 统可达性问题的一个复杂度下界，对于唯一可达向 量网系统来说，其可达性问题是ＮＰ一难的．这样就为 基于唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网的密码体制的密码分析 作了一点初步的工作．
由算法１和引理３知，扩展的三划分问
一可达向量Ｐｅｔｒｉ网的可达性问题． 题可归约为Ｐｅｔｒｉ网三的可达性问题．由引理４知上
１４６
微电子学与计算机
２００８焦
面的归约过程是多项式归约，而算法１输出的Ｐｅｔｒｉ
［Ｃ］／／第八届中国密码学学术会议论文集．无锡，２００４． ［２］吴哲辉．Ｐｅｔｒｉ网导论［Ｍ］．北京：机械工业出版社，
［Ｍ］．Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ，ＮＪ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ—Ｈａｌｌ，１９８１． ［４］Ｍｕｒａｔａ Ｔ．Ｐｅ伍ｎｅｔｓ：ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ［Ｊ］．ＩＥＥＥ，１９８９，７７（４）：５４１—５７９． ［５］袁崇义．Ｐｅｔｒｉ网原理与应用［Ｍ］．北京：电子工业出版 社，２００５． ［６］吴振寰．一种基于Ｐｅｔｒｉ网的分组密码体制的实现［Ｄ］．
扩展的三划分问题的Ｐｅｔｒｉ网模型
算法１
归约为Ｐｅｔｒｉ网三的可达性问题，算法１详细描述了 归约的过程．下面的引理告诉这个过程实际上是多
项式归约． 引理４
由扩展的三划分问题构造对应的唯一
可达向量网系统．
输入：Ａ为一个含有３ｍ个正整数的有穷集合Ａ＝｛ａ，，
算法１的时问复杂度为Ｏ（优），其中
ｎ２，…，日３。｝，Ｂ为一个正整数，满足∑口＝ｍＢ．
ｏｆ
ｉｎ
ｖｅｃｔｏｒ
ａｄｄｉｔｉｏｎ ＡＣＭ
Ｓ眦．Ｓａｎ Ｆｒａｎｃｉｓｃｏ，１９８２：２６７—２８１．
［１０］Ｌｉｐｔｏｎ
Ｒ Ｊ．Ｔｈｅ
ｔｈｅ
１４ｔｈ Ａｍｕａｌ
ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ
ｐｒｏｂｌｅｍ ｒｅｑｕｉｒｅｓ
ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ
ｓｐａｃｅ，ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｐｏｒｔ ６２［Ｒ］．ＵＳＡ：Ｙａｌｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，
ｗｏｒｄｓ：Ｐｅｔｒｉ
ｂｅ ＮＰ－ｈａｒｄ．
ｎｅｔ；ｔｈｒｅｅ
ｐａｒｔｉｔｉｏｎ
ｐｒｏｂｌｅｍ；ｒｅｄｕｃｅ；ｒｅａｃｈａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ；ＮＰ－ｈａｒｄ
１
引言 Ｐｅｔｒｉ网是一种分布式系统模型，它作为系统建
２
唯一可达向量网系统的可达性问题
（ＵＲＶ—ＰＮ—ＲＰ）
唯一可达向量网系统的可达性问题（ＵＲＶ—ＰＮ—
２５卷第１０期 ２００８年１０月
ＭＩＣＲＯＥＬＥ（ｍｉ０ＮＩＣＳ＆００Ｍ［ＰＵＴＥＲ
微电子学与计算机
Ｖｄ．２５
Ｎｏ．１０
Ｏｃｔｏｂｅｒ ２００８
三划分问题可多项式归约为唯一可达向量Ｐｅｔｒｉ网可达性问题
岳 昊１，２ ｉ１山东科技大学信息学院，山东青岛２６６５１０；２河南理工大学计算机学院，河南焦作４５４００３）