一元二次方程根的分布课件

有两个大于1的根.
=m2 4(3 m) 0
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
法三：
x1
m
m2 4m 12 1
2
x2
m
m2 4m 12 1 2
m 6或m 2
解不等式组，得 m 2
m6
m2 4m 12 m2 4m 4
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.
其交点横坐标便是方程的解，由图知：
k 4时，无解；
y
k = 4或k 3时，有两解；
4 k 3时有四个解；
k 3时有三个解.
x
3
4
例4.若二次函数y x2 mx 1的图像与两端点为A(0,3), B(3, 0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围.
解：线段AB的方程为x y 3(0 x 3)
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
6、一个根比1大，另一个根比0小
设 f x x2 (k 3)x k,则
f (0) 0
f
(1)
0
k 1
0
x1
1
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
7、两根介于0，2之间
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0 （）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n 不是方程（1）
结论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)在区间上的
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
1
0
2
f(x)
等式组
m2 4(m 3) 0
f
(1)
0
m6
x1 x2
01
x
m
1
2
转化为韦达定理的
法二：
不等式组
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2
(x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
m
6
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
0
m 6或m 2
(2)
x1
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m 3 0
(3) x1x2 0 得 m 3 0 得：m 3.
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
法一：设 f (x) x2 mx (3 m) 由已知得：转助变于为图函像数，，解借不
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方 程解的情况： x2 2 x 3 k
解：将方程视为两曲线 y x2 2 x 3与y k相交，
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
f (x)
x1
x2
0
x
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0 得：m 6或m 2.
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
由题意得： x y
y
3(0 x2 mx
x
1
3)
有两组实数解
整理得 x2 (m 1)x 4 0在[0,3]上有两个不同的实根.
0
故
0
m 1 2
3
f (0) 4 0
解得3 m 10 . 3
f (3) 9 3(m 1) 4 0
故m的取值范围是(3, 10 ] 3
4、一个正根，一个负根
设f x x2 (k 3)x k，则
0
f
(0)
0
f (0) 0
k 0
0
x1
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
5、一个根比1大，一个根比1小
设 f x x2 (k 3)x k,则
f (1) 0 k 1
1
x1
反例：x1
3,
x2
1 2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
3、有两个根都大于1
设 f x x2 (k 3)x k，则
0
(k 3)2 4k 0
f
b
2a (1)
1 0
1
k
k 3
2 3
k
1
0
x
1x1
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
一元二次方程的 实根分布问题
复习.函数零点
一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 的实数x就做函数y=f(x)的零点.
由此得出以下三个结论等价：
方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
设 f x x2 (k 3)x k,则
0
0 b 2 2a f (0) 0
2 3
k
1
f (2) 0
0
x1
2
x2
练习：
1、若方程x2 (k 3)x k 0
的两根都小于1，求k的取 x1 x2 0
-
值范围？
1
2、若方程7x2 k 13x k 2 k 2 0的两 根分别在0，1和1，2内，求k的取值范围？
b2 4ac 0
（）在（m,
n）左侧
a
f
(m)
0
的根.
m
b
2a
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
数学-深思考
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0
0
x1 x2
0
x1 x2 0
(k 3)2 4k 0
k 0
k9
(k 3) 0
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
3、有两个根都大于1 解：设x2 (k 3)x k 0的两根为 x1, x2，则
0
x1
x2
1
x1 x2 2
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
(8)方程有两个不相等的正根
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
0
x1 x20Βιβλιοθήκη 也可b 2a0
f (0) 0
f (x)
x1
x2
0
x
(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f (0) 0
0
b 2a
k
f (k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
(3)x1 k x2(k为常数）
f (k) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1, k2为常数）
0
k1
b 2a
k2
f
(k1
)
0
f (k2 ) 0
(5)x1 k1 k2 x2(k1, k2为常数）
求满足下列条件的k的范围？
1、有两个正根
解：设x2 (k 3)x k 0的两根为 x1, x2，则
0
x1 x2
0
x1 x2 0
(k 3)2 4k 0
k 0
0 k 1
(k 3) 0
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
2、有两个负根 解：设x2 (k 3)x k 0的两根为 x1, x2，则
f (k1 ) 0
f
(k2
)
0
(6)x1，x2有且只有一个根在（k1, k2）内
0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0
b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f
(k2
)
0
k1
k2 2
b 2a
k2
(7)m x1 n p x2 q (m, n, p, q为常数）
实根分布问题一般考虑四个方面，即：
（1）开口方向
b2 4ac
（2）判别式 x b
（3）对称轴
2a
f (m)
（4）端点值
的符号。
设f ( x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）